312用二分法求方程的近似解教案（人教A版必修1）(2)

3 1 2 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 整体设计整体设计 教学分析教学分析 求方程的解是常见的数学问题 这之前我们学过解一元一次 一元二次方程 但有些方程 求精确解较难 本节从另一个角度来求方程的近似解 这是一种崭新的思维方式 在现实生 活中也有着广泛的应用 用二分法求方程近似解的特点是 运算量大 且重复相同的步骤 因此适合用计算器或计算机进行运算 在教学过程教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不 断进步 三维目标三维目标 1 让学生学会用二分法求方程的近似解 知道二分法是科学的数学方法 2 了解用二分法求方程的近似解特点 学会用计算器或计算机求方程的近似解 初步了解 算法思想 3 回忆解方程的历史 了解人类解方程的进步历程 激发学习的热情和学习的兴趣 重点难点重点难点 用二分法求方程的近似解 课时安排 1 课时 教学过程教学过程 导入新课导入新课 思路思路 1 情景导入 师 手拿一款手机 如果让你来猜这件商品的价格 你如何猜 生 1 先初步估算一个价格 如果高了再每隔 10 元降低报价 生 2 这样太慢了 先初步估算一个价格 如果高了每隔 100 元降低报价 如果低了 每 50 元上升 如果再高了 每隔 20 元降低报价 如果低了 每隔 10 元上升报价 生 3 先初步估算一个价格 如果高了 再报一个价格 如果低了 就报两个价格和的一 半 如果高了 再把报的低价与一半价相加再求其半 报出价格 如果低了 就把刚刚报 出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价 师 在现实生活中我们也常常利用这种方法 譬如 一天 我们华庄校区与锡南校区的线路 出了故障 相距大约 3 500 米 电工是怎样检测的呢 是按照生 1 那样每隔 10 米或者按照 生 2 那样每隔 100 米来检测 还是按照生 3 那样来检测呢 生 齐答 按照生 3 那样来检测 师 生 3 的回答 我们可以用一个动态过程来展示一下 展示多媒体课件 区间逼近法 思路思路 2 事例导入 有 12 个小球 质量均匀 只有一个球是比别的球重 你用天平称几次可以找出这个球 要 求次数越少越好 让同学们自由发言 找出最好的办法 解 解 第一次 两端各放六个球 低的那一端一定有重球 第二次 两端各放三个球 低的那一端一定有重球 第三次 两端各放一个球 如果平衡 剩下的就是重球 否则 低的就是重球 其实这就是一种二分法的思想 那什么叫二分法呢 推进新课推进新课 新知探究新知探究 提出问题提出问题 解方程 2x 16 0 解方程 x2 x 2 0 解方程 x3 2x2 x 2 0 解方程 x2 2 x2 3x 2 0 我们知道 函数 f x lnx 2x 6 在区间 2 3 内有零点 进一步的问题是 如何找出这个零 点的近似值 取中点 后 怎样判断所在零点的区间 什么叫二分法 试求函数 f x lnx 2x 6 在区间 2 3 内零点的近似值 总结用二分法求函数零点近似值的步骤 思考用二分法求函数零点近似值的特点 讨论结果 讨论结果 x 8 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x x x 1 x 2 2 2 如果能够将零点所在的范围尽量缩小 那么在一定精确度的要求下 我们可以得到零点 的近似值 为了方便 我们通过 取中点 的方法逐步缩小零点所在的范围 取中点 一般地 我 们把 x 称为区间 a b 的中点 2 ba 比如取区间 2 3 的中点 2 5 用计算器算得 f 2 5 0 因为 f 2 5 f 3 0 所以零点在区间 2 5 3 内 对于在区间 a b 上连续不断且 f a f b 0 的函数 y f x 通过不断地把函数的零点所 在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫二分 法 bisection 因为函数 f x lnx 2x 6 用计算器或计算机作出函数 f x lnx 2x 6 的对应值表 x123456789 f x 4 1 3061 09863 38635 60947 79189 945912 079414 1972 由表可知 f 2 0 则 f 2 f 3 0 这说明 f x 在区间内有零点 x0 取区间 2 3 的中 点 x1 2 5 用计算器算得 f 2 5 0 084 因为 f 2 5 f 3 0 所以 x0 2 5 3 同理 可得表 下表 与图象 如图 3 1 2 1 区间中点的值中点函数的近似值 2 3 2 5 0 084 2 5 3 2 750 512 2 5 2 75 2 6250 215 2 5 2 625 2 56250 066 2 5 2 5625 2 53 1 2 5 0 009 2 53 1 2 5 2 5625 2 5468750 029 2 53 1 2 5 2 546875 2 53906250 010 2 53 1 2 5 2 5390625 2 535156250 001 图 3 1 2 1 由于 2 3 2 5 3 2 5 2 75 所以零点所在的范围确实越来越小了 如果重复上述步骤 那 么零点所在的范围会越来越小 见上表 这样 在一定的精确度下 我们可以在有限次重复 相同步骤后 将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值 特别地 可以将 区间端点作为函数零点的近似值 例如 当精确度为 0 01 时 由于 2 5390625 2 53 1 2 5 0 0078125 0 01 所以 我们可以将 x 2 53 1 2 5 作为函数 f x lnx 2x 6 零点的近似值 给定精度 用二分法求函数 f x 的零点近似值的步骤如下 1 确定区间 a b 验证 f a f b 0 给定精度 2 求区间 a b 的中点 c 3 计算 f c a 若 f c 0 则 c 就是函数的零点 b 若 f a f c 0 则令 b c 此时零点 x0 a c c 若 f c f b 0 则令 a c 此时零点 x0 c b 4 判断是否达到精度 即若 a b 则得到零点值 a 或 b 否则重复步骤 2 4 由函数的零点与相应方程的关系 我们可用二分法来求方程的近似解 由于计算量较大 而且是重复相同的步骤 因此 我们可以通过设计一定的计算程序 借助计算器或计算机 完成计算 应用示例应用示例 思路思路 1 例例 1 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x 3x 7 的近似解 精确度为 0 1 活动 活动 师生共同探讨交流 引出借助函数 f x 2x 3x 7 的图象 能够缩小根所在区间 并根据 f 1 0 可得出根所在区间 1 2 引发学生思考 如何进一步有效缩小根所在的区间 共同探讨各种方法 引导学生探寻出通过不断对分区间 有助于问题的解决 用图例演示根所在区间不断被缩小的过程 加深学生对上述方法的理解 引发学生思考在有效缩小根所在区间时 到什么时候才能达到所要求的精确度 学生简述上述求方程近似解的过程 解 解 原方程即 2x 3x 7 0 令 f x 2x 3x 7 用计算器或计算机做出函数 f x 2x 3x 7 的对应值 表与图象 3 1 2 2 x012345678 f x 6 2310214075142273 图 3 1 2 2 观察图表可知 f 1 f 2 0 说明这个函数在区间 1 2 内有零点 x0 取区间 1 2 的中点 x 1 5 用计算器算得 f 1 5 0 33 因为 f 1 f 1 5 0 所以 x0 1 1 5 再取区间 1 1 5 的中点 x 1 25 用计算器算得 f 1 25 0 87 因为 f 1 25 f 1 5 0 所以 x0 1 25 1 5 同理 可得 x0 1 375 1 5 x0 1 375 1 4375 由于 1 375 1 437 5 0 0625 0 1 所以 原方程的近似解可取为 1 4375 例例 2 利用计算器 求方程 x2 2x 1 0 的一个近似解 精确度 0 1 活动 活动 教师帮助学生分析 画出函数 f x x2 2x 1 的图象 如图 3 1 2 3 所示 从图象上可以发现 方程 x2 2x 1 0 的一 个根 x1在区间 2 3 内 另一个根 x2在区间 1 0 内 根据图象 我们发现 f 2 10 这表明此函数图象在区间 2 3 上穿过 x 轴一次 即方程 f x 0 在区间 2 3 上有唯一解 图 3 1 2 3 计算得 f 0 发现 x1 2 2 5 如图 3 1 2 3 这样可以进一步缩小 x1所在的区 2 32 4 1 间 解 解 设 f x x2 2x 1 先画出函数图象的简图 如图 3 1 2 3 因为 f 2 10 所以在区间 2 3 内 方程 x2 2x 1 0 有一解 记为 x1 取 2 与 3 的平均数 2 5 因为 f 2 5 0 25 0 所以 2 x1 2 5 再取 2 与 2 5 的平均数 2 25 因为 f 2 25 0 437 5 0 所以 2 25 x1 2 5 如此继续下去 得 f 2 0 x1 2 3 f 2 0 x1 2 2 5 f 2 25 0 x1 2 25 2 5 f 2 375 0 x1 2 375 2 5 f 2 375 0 x1 2 375 2 437 5 因为 2 375 与 2 437 5 精确到 0 1 的近似值都为 2 4 所以此方程的近似解为 x1 2 4 点评 点评 利用同样的方法 还可以求出方程的另一个近似解 思路思路 2 例例 1 利用计算器 求方程 lgx 3 x 的近似解 精确度 0 1 活动 活动 学生先思考或讨论后再回答 教师点拨 提示并及时评价学生 分别画出 y lgx 和 y 3 x 的图象 如图 3124 所示 在两个函数图象的交点处 函数值相等 因此 这个点的横坐标就是方程 lgx 3 x 的解 由函数 y lgx 与 y 3 x 的图象可以发现 方 程 lgx 3 x 有唯一解 记为 x1 并且这个解在区间 2 3 内 图 3 1 2 4 解 解 设 f x lgx x 3 设 x1为函数的零点即方程 lgx 3 x 的解 用计算器计算 得 f 2 0 x1 2 3 f 2 5 0 x1 2 5 3 f 2 5 0 x1 2 5 2 75 f 2 5 0 x1 2 5 2 625 f 2 562 5 0 x1 2 562 5 2 625 因为 2 562 5 与 2 625 精确到 0 1 的近似值都为 2 6 所以原方程的近似解为 x1 2 6 例例 2 求方程 lnx 2x 3 0 在区间 1 2 内的根 精确度 0 1 解 解 设 f x lnx 2x 3 则原方程的根为函数 f x 的零点 设 x1为函数的零点即方程 lnx 2x 3 0 的解 如图 3 1 2 5 因为 f 1 1 f 2 0 306 852 819 所以 f 1 f 2 0 f 1 812 5 0 030 292 892 0 所以 x1 1 75 1 812 5 由于 1 812 5 1 75 0 062 5 0 1 所以区间 1 75 1 812 5 内的每一个实数都可以作为方程 lnx 2x 3 0 在区间 1 2 内的根 点评 点评 先设出方程对应的函数 画出函数的图象 初步确定解所在的区间 再用二分法求 方程近似解 二分法 即逐渐逼近的方法 计算量较大 而且是重复相同的步骤 借助计算器或计算机完成计算比较容易 知能训练知能训练 1 根据下表中的数据 可以断定方程 ex x 2 0 的一个根所在的区间为 x 10123 ex0 3712 277 3920 0 x 212345 A 1 0 B 0 1 C 1 2 D 2 3 2 用二分法判断方程 2x x2的根的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 1 C 设 f x ex x 2 f 1 0 即 f 1 f 2 0 f 1 5 2 875 0 所以 f x x3 3x 5 在区间 1 1 5 上有一个零点 又因为 f x 是 上的减函数 所以 f x x3 3x 5 在区间 1 1 5 上有且只有一个零点 2 作出函数图象 图 3 1 2 8 2 因为 f 3 0 所以 f x 2x ln x 2 3 在区间 3 4 上有一 个零点 又因为 f x 2x ln x 2 3 在 2 上是增函数 所以 f x 在 3 4 上有且仅有一个零点 3 作出函数图象 图 3 1 2 8 3 因为 f 0 0 所以 f x ex 1 4x 4 在区间 0 1 上有一个 零点 又因为 f x ex 1 4x 4 在 上是增函数 所以 f x 在 0 1 上有且仅有一个零点 4 作出函数图象 图 3 1 2 8 4 因为 f 4 0 f 2 0 f 2 0 所以 f x 3 x 2 x 3 x 4 x 在 4 3 3 2 2 3 上各有一个零点 图 3 1 2 8 课本第 91 页练习 1 由题设可知 f 0 1 40 于是 f 0 f 1 0 所以函数 f x 在区间 0 1 内有一个零点 x0 下面用二分法求函数 f x x3 1 1x2 0 9x 1 4 在区间 0 1 内的零点 取区间 0 1 的中点 x1 0 5 用计算器可算得 f 0 5 0 55 因为 f 0 5 f 1 0 所以 x0 0 5 1 再取区间 0 5 1 的中点 x2 0 75 用计算器可算得 f 0 75 0 32 因为 f 0 5 f 0 75 0 所以 x0 0 5 0 75 同理 可得 x0 0 625 0 75 x0 0 625 0 687 5 x0 0 656 25 0 687 5 由于 0 687 5 0 656 25 0 031 25 0 1 所以原方程的近似解可取为 0 656 25 2 原方程可化为 x lgx 3 0 令 f x x lgx 3 用计算器可算得 f 2 0 70 f 3 0 48 于是 f 2 f 3 0 所以这个方程在区间 2 3 内有一个解 x0 下面用二分法求方程 x 3 lgx 在区间 2 3 的近似解 取区间 2 3 的中点 x1 2 5 用计算器可算得 f 2 5 0 10 因为 f 2 5 f 3 0 所以 x0 2 5 3 再取区间 2 5 3 的中点 x2 2 75 用计算器可算得 f 2 75 0 19 因为 f 2 5 f 2 75 0 所以 x0 2 5 2 75 同理 可得 x0 2 5 2 625 x0 2 562 5 2 625 x0 2 562 5 2 593 75 x0 2 578 125 2 593 75 x0 2 585 937 5 2 59 375 由于 2 585 937 5 2 593 75 0 007 812 5 0 01 所以原方程的近似解可取为 2 593 75 课本第 92 页习题 3 1 A 组组 1 A C 点评 点评 需了解二分法求函数的近似零点的条件 2 由 x f x 的对应值表可得 f 2 f 3 0 f 3 f 4 0 f 4 f 5 0 又根据 如果函数 y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且 f a f b 0 那么函数 y f x 在区间 a b 内有零点 可知函数 f x 分别在区间 2 3 3 4 4 5 内有 零点 3 原方程即 x 1 x 2 x 3 1 0 令 f x x 1 x 2 x 3 1 可算得 f 1 1 f 0 5 于是 f 1 f 0 0 所以这个方程在区间 1 0 内有一个解 下面用二分法求方程 x 1 x 2 x 3 1 在区间 1 0 内的近似解 取区间 1 0 的中点 x1 0 5 用计算器可算得 f 0 5 3 375 因为 f 1 f 0 5 0 所以 x0 1 0 5 再取 1 0 5 的中点 x2 0 75 用计算器可算得 f 0 75 1 58 因为 f 1 f 0 75 0 所以 x0 1 0 75 同理 可得 x0 1 0 875 x0 0 937 5 0 875 由于 0 875 0 937 5 0 062 5 0 1 所以原方程的近似解可取为 0 937 5 4 原方程即 0 8x 1 lnx 0 令 f x 0 8x 1 lnx f 0 没有意义 用计算器算得 f 0 5 0 59 f 1 0 2 于是 f 0 5 f 1 0 所以这个方程在区间 0 5 1 内有一个解 下面用二分法求方程 0 8x 1 lnx 在区间 0 1 内的近似解 取区间 0 5 1 的中点 x1 0 75 用计算器可算得 f 0 75 0 13 因为 f 0 75 f 1 0 所以 x0 0 75 1 再取 0 75 1 的中点 x2 0 875 用计算器可算得 f 0 875 0 04 因为 f 0 875 f 0 75 0 所以 x0 0 75 0 875 同理 可得 x0 0 812 5 0 875 x0 0 812 5 0 843 75 由于 0 812 5 0 843 75 0 031 25 0 1 所以原方程的近似解可取为 0 843 75 5 由题设有 f 2 0 310 于是 f 2 f 3 0 所以函数 f x 在区间 2 3 内有一个零点 下面用二分法求函数 f x lnx在区间 2 3 内的近似解 x 2 取区间 2 3 的中点 x1 2 5 用计算器可算得 f 2 5 0 12 因为 f 2 f 2 5 0 所以 x0 2 2 5 再取 2 2 5 的中点 x2 2 25 用计算器可算得 f 2 25 0 08 因为 f 2 25 f 2 5 0 所以 x0 2 25 2 5 同理 可得 x0 2 25 2 375 x0 2 312 5 2 375 x0 2 343 75 2 375 x0 2 343 75 2 359 375 x0 2 343 75 2 351 562 5 x0 2 343 75 2 347 656 25 由于 2 343 75 2 347 656 25 0 003 906 25 0 01 所以原方程的近似解可取为 2 347 656 25 B 组组 1 将系数代入求根公式 x 得 x a acbb 2 4 2 22 1 24 3 3 22 4 173 所以方程的两个解分别为 x1 x2 4 173 4 173 下面用二分法求方程的近似解 取区间 1 775 1 8 和 0 3 0 275 令 f x 2x2 3x 1 在区间 1 775 1 8 内用计算器可算得 f 1 775 0 023 75 f 1 8 0 08 于是 f 1 775 f 1 8 0 所以这个方程在区间 1 775 1 8 内有一个解 由于 1 8 1 775 0 025 0 1 所以原方程在区间 1 775 1 8 内的近似解可取为 1 8 同理 可得方程在区间 0 3 0 275 内的近似解可取为 0 275 所