2011高考数学课下练兵 数学归纳法[理]VIP

用心 爱心 专心 1 第六章第六章 第七节第七节 数学归纳法数学归纳法 理理 课下练兵场课下练兵场 命命 题题 报报 告告 难度及题号难度及题号 知识点知识点 容易题容易题 题号题号 中等题中等题 题号题号 稍难题稍难题 题号题号 证明等式问题证明等式问题 1 15 5 证明不等式证明不等式2 2 3 3 1111 归纳 猜想与证明归纳 猜想与证明 7 7 6 6 1010 1212 整除与几何问题整除与几何问题4 4 8 8 9 9 一 选择题一 选择题 1 1 用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明等式 n n 1 1 n n 2 2 n n n n 2 2n n 1 3 2 1 3 2n n 1 1 从 从k k 到到k k 1 1 左端需增乘的代数式为左端需增乘的代数式为 A A 2 2k k 1 1 B B 2 22 2k k 1 1 C C D D 2 2k k 1 1 k k 1 1 2 2k k 3 3 k k 1 1 解析 当解析 当n n 1 1 时 显然成立 当时 显然成立 当n n k k时 左边 时 左边 k k 1 1 k k 2 2 k k k k 当 当 n n k k 1 1 时 左边 时 左边 k k 1 1 1 1 k k 1 1 2 2 k k 1 1 k k k k 1 1 k k 1 1 k k 2 2 k k 3 3 k k k k k k 1 1 k k k k 1 1 k k 1 1 k k 1 1 k k 2 2 k k k k k k 1 1 k k 2 2 k k k k 2 2 2 2k k 1 1 2 2k k 1 1 2 2k k 2 2 k k 1 1 答案 答案 B B 2 2 用数学归纳法证明 用数学归纳法证明 1 1 n n n n N N n n 1 1 时 由时 由n n k k k k 1 1 不等不等 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2n n 1 1 式成立 推证式成立 推证n n k k 1 1 时 左边应增加的项数是时 左边应增加的项数是 A A 2 2k k 1 1 B B 2 2k k 1 1 C C 2 2k k D D 2 2k k 1 1 解析 增加的项数为解析 增加的项数为 2 2k k 1 1 1 1 2 2k k 1 1 2 2k k 1 1 2 2k k 2 2k k 答案 答案 C C 3 3 对于不等式 对于不等式 n n 1 1 n n N N 某同学的证明过程如下 某同学的证明过程如下 n n2 2 n n 1 1 当当n n 1 1 时 时 1 1 1 1 不等式成立 不等式成立 1 12 2 1 1 2 2 假设当假设当n n k k k k N N 时 不等式成立 时 不等式成立 即即 k k 1 1 k k2 2 k k 则当则当n n k k 1 1 时 时 用心 爱心 专心 2 k k 1 1 1 1 k k 1 1 2 2 k k 1 1 k k2 2 3 3k k 2 2 k k2 2 3 3k k 2 2 k k 2 2 k k 2 2 2 2 当当n n k k 1 1 时 不等式成立 时 不等式成立 则上述证法则上述证法 A A 过程全部正确 过程全部正确 B B n n 1 1 验得不正确验得不正确 C C 归纳假设不正确 归纳假设不正确 D D 从 从n n k k到到n n k k 1 1 的推理不正确的推理不正确 解析 用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设 解析 用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设 答案 答案 D D 4 4 下列代数式 下列代数式 其中其中k k N N 能被能被 9 9 整除的是整除的是 A A 6 6 6 76 7k k B B 2 2 7 7k k 1 1 C C 2 22 2 7 7k k 1 1 D D 3 23 2 7 7k k 解析 解析 1 1 当当k k 1 1 时 显然只有时 显然只有 3 23 2 7 7k k 能被能被 9 9 整除 整除 2 2 假设当假设当k k n n n n N N 时 命题成立 即时 命题成立 即 3 23 2 7 7n n 能被能被 9 9 整除 那么整除 那么 3 23 2 7 7n n 1 1 21 221 2 7 7n n 36 36 这就是说 这就是说 k k n n 1 1 时命题也成立 时命题也成立 由由 1 2 1 2 可知 命题对任何可知 命题对任何k k N N 都成立 都成立 答案 答案 D D 5 5 已知 已知 1 1 2 32 3 3 33 32 2 4 34 33 3 n n 3 3n n 1 1 3 3n n nana b b c c对一切对一切n n N N 都成立 则都成立 则 a a b b c c的值为的值为 A A a a b b c c B B a a b b c c 1 1 2 2 1 1 4 4 1 1 4 4 C C a a 0 0 b b c c D D 不存在这样的 不存在这样的a a b b c c 1 1 4 4 解析 解析 等式对一切等式对一切n n N N 均成立 均成立 n n 1 2 31 2 3 时等式成立 即 时等式成立 即 Error 整理得整理得Error 解得 解得a a b b c c 1 1 2 2 1 1 4 4 答案 答案 A A 6 6 在数列 在数列 a an n 中 中 a a1 1 且 且S Sn n n n 2 2n n 1 1 a an n 通过求 通过求a a2 2 a a3 3 a a4 4 猜想 猜想a an n的表达式的表达式 1 1 3 3 A A B B C C D D 1 1 n n 1 1 n n 1 1 1 1 2 2n n 2 2n n 1 1 1 1 2 2n n 1 1 2 2n n 1 1 1 1 2 2n n 1 1 2 2n n 2 2 用心 爱心 专心 3 解析 由解析 由a a1 1 S Sn n n n 2 2n n 1 1 a an n 1 1 3 3 得得S S2 2 2 2 22 2 2 1 1 a a2 2 即 即a a1 1 a a2 2 6 6a a2 2 a a2 2 S S3 3 3 2 33 2 3 1 1 a a3 3 1 1 1 15 5 1 1 3 3 5 5 即即 a a3 3 1515a a3 3 a a3 3 a a4 4 1 1 3 3 1 1 1 15 5 1 1 3 35 5 1 1 5 5 7 7 1 1 7 7 9 9 答案 答案 C C 二 填空题二 填空题 7 7 猜想 猜想 1 1 1 11 1 4 4 1 1 2 12 1 4 4 9 9 1 1 2 2 3 3 第 第n n个式子为个式子为 答案 答案 1 1 4 4 9 9 1 1 n n 1 1n n2 2 1 1 n n 1 1 1 1 2 2 3 3 n n 8 8 如图 第 如图 第n n个图形是由正个图形是由正n n 2 2 边形边形 扩展扩展 而来而来 n n 1 2 31 2 3 则第 则第 n n 2 2 n n 3 3 n n N N 个图形中共有个图形中共有 个顶点 个顶点 解析 当解析 当n n 1 1 时 顶点共有时 顶点共有 12 3 4 12 3 4 个个 n n 2 2 时 顶点共有时 顶点共有 20 4 5 20 4 5 个个 n n 3 3 时 顶点共有时 顶点共有 30 5 6 30 5 6 个个 n n 4 4 时 顶点共有时 顶点共有 42 6 7 42 6 7 个个 故第故第n n个图形共有顶点个图形共有顶点 n n 2 2 n n 3 3 个 个 第第n n 2 2 个图形共有顶点个图形共有顶点n n n n 1 1 个 个 答案 答案 n n n n 1 1 9 9 设平面内有 设平面内有n n条直线条直线 n n 3 3 其中有且仅有两条直线互相平行 任意三条直线不过同一 其中有且仅有两条直线互相平行 任意三条直线不过同一 点 若用点 若用f f n n 表示这表示这n n条直线交点的个数 则条直线交点的个数 则f f 4 4 当 当n n 4 4 时 时 f f n n 用用n n表示表示 解析 解析 f f 2 2 0 0 f f 3 3 2 2 f f 4 4 5 5 f f 5 5 9 9 每增加一条直线 交点增加的个数等于原来直线的条数 每增加一条直线 交点增加的个数等于原来直线的条数 f f 3 3 f f 2 2 2 2 f f 4 4 f f 3 3 3 3 f f 5 5 f f 4 4 4 4 用心 爱心 专心 4 f f n n f f n n 1 1 n n 1 1 累加 得累加 得 f f n n f f 2 2 2 2 3 3 4 4 n n 1 1 n n 2 2 2 2 n n 1 1 2 2 f f n n n n 1 1 n n 2 2 1 1 2 2 答案 答案 5 5 n n 1 1 n n 2 2 1 1 2 2 三 解答题三 解答题 1010 已知点 已知点P Pn n a an n b bn n 满足满足a an n 1 1 a an n b bn n 1 1 b bn n 1 1 n n N N 且点且点P P1 1的坐标为的坐标为 b bn n 1 1 4 4a a2 2n n 1 1 1 1 1 1 求过点求过点P P1 1 P P2 2的直线的直线l l的方程 的方程 2 2 试用数学归纳法证明 对于试用数学归纳法证明 对于n n N N 点 点P Pn n都在都在 1 1 中的直线中的直线l l上 上 解 解 1 1 由由P P1 1的坐标为的坐标为 1 1 1 1 知知 a a1 1 1 1 b b1 1 1 1 b b2 2 b b1 1 1 1 4 4a a2 2 1 1 1 1 3 3 a a2 2 a a1 1 b b2 2 1 1 3 3 点点P P2 2的坐标为的坐标为 1 1 3 3 1 1 3 3 直线直线l l的方程为的方程为 2 2x x y y 1 1 2 2 当当n n 1 1 时 时 2 2a a1 1 b b1 1 2 12 1 1 1 1 1 成立 成立 假设假设n n k k k k N N k k 1 1 时 时 2 2a ak k b bk k 1 1 成立 成立 则则 2 2a ak k 1 1 b bk k 1 1 2 2a ak k b bk k 1 1 b bk k 1 1 2 2a ak k 1 1 b bk k 1 1 4 4a a2 2k k 1 1 b bk k 1 1 2 2a ak k 1 1 2 2a ak k 1 1 2 2a ak k 当当n n k k 1 1 时 命题也成立 时 命题也成立 由由 知 对知 对n n N N 都有 都有 2 2a an n b bn n 1 1 即点即点P Pn n在直线在直线l l上 上 1111 数列 数列 a an n 满足满足a a1 1 1 1 a a2 2 2 2 a an n 2 2 1 1 coscos2 2 a an n n n 2 2 sinsin2 2 n n 1 2 31 2 3 n n 2 2 用心 爱心 专心 5 1 1 求求a a3 3 a a4 4并求数列并求数列 a an n 的通项公式 的通项公式 2 2 设设b bn n S Sn n b b1 1 b b2 2 b bn n 证明 当证明 当n n 6 6 时 时 a a2 2n n 1 1 a a2 2n n S Sn n 2 2 1 1 n n 解 解 1 1 因为因为a a1 1 1 1 a a2 2 2 2 所以所以a a3 3 1 1 coscos2 2 a a1 1 sinsin2 2 a a1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a a4 4 1 1 coscos2 2 a a2 2 sinsin2 2 2 2a a2 2 4 4 一般地 当一般地 当n n 2 2k k 1 1 k k N N 时 时 a a2 2k k 1 1 1 1 coscos2 2 2 2k k 1 1 2 2 a a2 2k k 1 1 sinsin2 2 a a2 2k k 1 1 1 1 即 即a a2 2k k 1 1 a a2 2k k 1 1 1 1 2 2k k 1 1 2 2 所以数列所以数列 a a2 2k k 1 1 是首项为 是首项为 1 1 公差为 公差为 1 1 的等差数列 的等差数列 因此因此a a2 2k k 1 1 k k 当当n n 2 2k k k k N N 时 时 a a2 2k k 2 2 1 1 coscos2 2 a a2 2k k sinsin2 2 2 2a a2 2k k 2 2k k 2 2 2 2k k 2 2 所以数列所以数列 a a2 2k k 是首项为是首项为 2 2 公比为 公比为 2 2 的等比数列 的等比数列 因此因此a a2 2k k 2 2k k 故数列故数列 a an n 的通项公式为的通项公式为 a an n Error 2 2 由由 1 1 知 知 b bn n a a2 2n n 1 1 a a2 2n n n n 2 2n n 所以所以S Sn n 1 1 2 2 2 2 2 22 2 3 3 2 23 3 n n 2 2n n S Sn n 1 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2 2 23 3 3 3 2 24 4 n n 2 2n n 1 1 得 得 S Sn n 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 22 2 1 1 2 23 3 1 1 2 2n n n n 2 2n n 1 1 1 1 2 2 1 1 f f 1 1 2 2 n n 1 1 1 1 2 2 n n 2 2n n 1 1 1 1 2 2n n n n 2 2n n 1 1 所以所以S Sn n 2 2 2 2 1 1 2 2n n 1 1 n n 2 2n n n n 2 2 2 2n n 要证明当要证明当n n 6 6 时 时 S Sn n 2 2 成立 只需证明当成立 只需证明当n n 6 6 时 时 1 1 成立 成立 1 1 n n n n n n 2 2 2 2n n 1 1 当当n n 6 6 时 时 1 1 成立 成立 6 6 6 6 2 2 2 26 6 4 48 8 6 64 4 3 3 4 4 用心 爱心 专心 6 2 2 假设当假设当n n k k k k 6 6 时不等式成立 即时不等式成立 即 1 1 k k k k 2 2 2 2k k 则当则当n n k k 1 1 时 时 1 1 k k 1 1 k k 3 3 2 2k k 1 1 k k k k 2 2 2 2k k k k 1 1 k k 3 3 2 2k k k k 2 2 k k 1 1 k k 3 3 k k 2 2 2 2k k 由由 1 1 2 2 所述 当所述 当n n 6 6 时 时 1 1 n n n n 2 2 2 2n n 即当即当n n 6 6 时 时 S Sn n 2 2 1 1 n n 1212 设数列 设数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n 且方程 且方程x x2 2 a an nx x a an n 0 0 有一根为有一根为S Sn n 1 1 n n 1 2 31 2 3 1 1 求求a a1 1 a a2 2 2 2 猜想数列猜想数列 S Sn n 的通项公式 并给出严格的证明 的通项公式 并给出严格的证明 解 解 1 1 当当n n 1 1 时 时 x x2 2 a a1 1x x a a1 1 0 0 有一根为有一根为S S1 1 1 1 a a1 1 1 1 于是于是 a a1 1 1 1 2 2 a a1 1 a a1 1 1 1 a a1 1 0 0