2012届高考数学培优辅导复习 数列不等式综合问题（一）试题3

用心 爱心 专心1 数列不等式综合问题 一 数列不等式综合问题 一 例 1 已知各项均为正数的数列的前项和为 且 n an n S 2 2 nnn aaS 1 求证 2 求证 22 1 4 nn n aa S 1 12 1 22 nn n SS SSS 例 2 在数列中 n a 1 1a 11 302 nnnn a aaan 1 求证 数列为等差数列 并求的通项 1 n a n a 2 若对任意的整数恒成立 求实数的取值范围 1 1 n n a a 2n 用心 爱心 专心2 3 设数列 的前项和为 求证 nn ba n bn n T 2 31 1 3 n Tn 例 3 对 不等式组所表示的平面区域为 内的整点 横nN 0 0 2 x y ynxn n D n D 坐标与纵坐标均为整数的点 按其到原点的距离从近到远排成点列 112233 nn x yxyxyxy 1 求 n x n y 2 数列满足 且时 n a 11 ax 2n 111 2 1 2 2 2 1 2 n nn yyy ya 证明 当时 2 n 1 222 1 1 nn aa nnn 3 在 2 的条件下 试比较与 4 的大小关系 1 1 1 1 1 1 1 1 321n aaaa 用心 爱心 专心3 基础大题自测 三 基础大题自测 三 1 1 某校设计了一个实验学科的考查方案 考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题 按照题 目要求独立完成全部实验操作 规定 至少正确完成其中 2 题的便可通过 已知 6 道备选题中 考生甲有 4 题能正确完成 2 题不能完成 考生乙每题正确完成的概率都是 且每题确完成 3 2 与否互不影响 1 分别写出甲 乙两考生正确完成题数的概率分布列 并计算其数学期望 2 试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力 2 2 某项选拔共有三轮考核 每轮设有一问题 能正确回答问题者进入下一轮考核 否则即 被淘汰 已知某选手能正确回答第一 二 三轮的问题的概率分别为且各轮问题能 4 3 2 5 5 5 否正确回答互不影响 用心 爱心 专心4 1 求该选手被淘汰的概率 2 该选手在选择中回答问题的个数记为 求随机变量的分布列与数学期望 3 3 某项计算机考试按科目 科目依次进行 只有当科目成绩合格时 才可继续参加ABA 科目 的考试 已知每个科目只允许有一次补考机会 两个科目均合格方可获得证书 现某B 人参加这项考试 科目每次考试成绩合格的概率为 科目每次考试成绩合格的概率为A 3 4 B 假设各次考试合格与否均互不影响 2 3 1 求他不需要补考就可获得证书的概率 2 在这次考试过程中 假设他不放弃所有的考试机会 记他参加考试的次数为 求随即 变量的分布列和数学期望 函数导数综合问题 一 参考答案 函数导数综合问题 一 参考答案 例 1 解解 1 在条件中 令 得 1 n 111 2 1 22aSaa 0 1 a1 1 a 又由条件有 上述两式相减 nnn Saa2 2 11 2 1 2 nnn Saa 注意到得 nnn SSa 11 0 1 11 nnnn aaaa 0 n a0 1 nn aa 1 1 nn aa 所以 nnan 1 11 1 2 n n n S 所以 42 1 2 1 2 1 2 1 2 22 nn n aannnn S 2 因为 所以 1 1 nnnn 2 1 2 1 2 nnnn 所以 2 1 2 32 2 21 21 nn SSS n 2 1 2 3 2 2 n 2 1 22 3 1 2 n Snn 222 1 22 2 2 1 21 n n Snnn SSS 用心 爱心 专心5 例 2 解解 2 1 由得 11 302 nnnn a aaan 1 11 32 nn n aa 又 数列是首项为 1 公差为 3 的等差数列 1 1 1 a 1 n a 即 1 1 3 1 32 n nn a 1 32 n a n 2 对任意的整数恒成立 即恒成立 1 1 n n a a 2n 31 32 n n 对任意的整数恒成立 31 32 3 1 nn n 2n 设 则 31 32 2 3 1 n nn cn n 22 1 22 34 31 3 1 343234 1 3 31 32 3232 n n cnnnnnnnn cnnnnnnn 当时 为递增数列 2n n c 2 28 3 n cc 所以的取值范围为 28 3 3 由 得 nn ba 1222 3231 3232 323231 nn bann nnnn 所以 12nn Tbbb 23 nn 2 31 1 3 n 例 3 解解 1 作出平面区域 略 2 分 n D 由解得 4 分 1 2 x ynxn 1 nn xyn 2 当时 5 分 2 n 2 22 11 1 2 1 n an n 222 11 1 2 1 n a n n 6 分 1 222 11 1 1 2 n a nn 1 222 1 1 nn aa nnn 3 由 2 得 当时 且 7 分 2 n 2 2 1 1 1 n n an an 1 1a 2 4a 当时 8 分 1n 1 1 124 a 当时 2 n 用心 爱心 专心6 123 331212 1 12312341 222 1 222222 1111 1 1 1 1 11111111 123111 2 1 234 1 23 111 2 12 11 1 22 3 1 n nn n nn n aaaa aaaaaaaa a aaaaa aaaa n a nn nn 11111 2231 1 2 24 nn n 综上述 123 1111 1 1 1 1 4 n aaaa 基础大题自测 一 参考答案基础大题自测 一 参考答案 1 1 解 解 设考生甲 乙正确完成实验操作的题数分别为 则的可能取值为 1 2 3 1 分 4 12 42 3 6 1 1 5 C C P C 21 42 3 6 3 2 5 C C P C 30 42 3 6 1 3 5 C C P C 分 考生甲正确完成题数的概率分布列为 5 分 131 1232 555 E 6 分 又 其分布列为 0 1 2 3 9 2 3 3 B 3 3 21 33 kk k PkC k 分 2 3 2 3 npE 10 分 2 222 1312 21 22 23 5555 D 212 3 333 Dnpq 12 分DD 31 20 8 55 P 128 20 74 2727 P 13 分 22PP 从做对题数的数学期望考察 两人水平相当 从做对题数的方差考察 甲较稳定 123 P 5 1 5 3 5 1 用心 爱心 专心7 从至少完成 2 题的概率考察 甲获得通过的可能性大 因此可以判断甲的实验操作能力较 强 14 分 说明 只回答数学期望与方差以及结论 也给 4 分 2 2 解 解 记 该选手能正确回答第 轮的问题 的事件为 则i 12 3 i A i 1 4 5 P A 2 3 5 P A 3 2 5 P A 该选手被淘汰的概率 112223 PP AA AA A A 112123 P AP A P AP A P A P A 142433101 555555125 2 的可能值为 12 3 1 1 1 5 PP A 1212 428 2 5525 PP A AP A P A 1212 4312 3 5525 PP A AP A P A 的分布列为 123 P 1 5 8 25 12 25 181257 123 5252525 E 解法二 记 该选手能正确回答第 轮的问题 的事件为 i 12 3 i A i 则 1 4 5 P A 2 3 5 P A 3 2 5 P A 该选手被淘汰的概率 123123 1 1 PP A A AP A P A P A 3 3 解 解 解 设该人参加科目 A 考试合格和补考为时间 参加科目 B 考试合格和补 12 AA 考合格为时间相互独立 121 ABB 事件 212 ABB 1 设该人不需要补考就可获得证书为事件 C 则 C 11 AB 1111 321 432 p cP A BP