九年级上册数学教案

第二十一章 一元二次方程 21 1 一元二次方程 1 了解一元二次方程的概念 应用一元二次方程概念解决一些简单问题 2 掌握一元二次方程的一般形式 ax2 bx c 0 a 0 及有关概念 3 会进行简单的一元二次方程的试解 理解方程解的概念 重点 一元二次方程的概念及其一般形式 一元二次方程解的探索 难点 由实际问题列出一元二次方程 准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一 次项和系数及常数项 一 自学指导 10 分钟 问题 1 如图 有一块矩形铁皮 长 100 cm 宽 50 cm 在它的四角各切去一个同样的正方形 然后将四周突出部分折起 就能制作一个无盖方盒 如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2 那么铁皮各角应切去多大的正方形 分析 设切去的正方形的边长为 x cm 则盒底的长为 100 2x cm 宽为 50 2x cm 列方程 100 2x 50 2x 3600 化简整理 得 x2 75x 350 0 问题 2 要组织一次排球邀请赛 参赛的每两个队之间都要比赛一场 根据场地和时 间等条件 赛程计划安排 7 天 每天安排 4 场比赛 比赛组织者应邀请多少个队参赛 分析 全部比赛的场数为 4 7 28 设应邀请 x 个队参赛 每个队要与其他 x 1 个队各赛 1 场 所以全部比赛共 场 列方程 28 化简整理 得 x2 x 56 0 x x 1 2 x x 1 2 探究 1 方程 中未知数的个数各是多少 1 个 2 它们最高次数分别是几次 2 次 归纳 方程 的共同特点是 这些方程的两边都是 整式 只含有 一个 未知 数 一元 并且未知数的最高次数是 2 的方程 1 一元二次方程的定义 等号两边都是 整式 只含有 一 个未知数 一元 并且未知数的最高次数是 2 二次 的方程 叫做一元二次方程 2 一元二次方程的一般形式 一般地 任何一个关于 x 的一元二次方程 经过整理 都能化成如下形式 ax2 bx c 0 a 0 这种形式叫做一元二次方程的一般形式 其中 ax2 是二次项 a 是二次项系数 bx 是一次项 b 是一次项系数 c 是常数项 点拨精讲 二次项系数 一次项系数 常数项都要包含它前面的符号 二次项系数 a 0 是一个重要条件 不能漏掉 二 自学检测 学生自主完成 小组内展示 点评 教师巡视 6 分钟 1 判断下列方程 哪些是一元二次方程 1 x3 2x2 5 0 2 x2 1 3 5x2 2x x2 2x 1 4 3 5 4 2 x 1 2 3 x 1 5 x2 2x x2 1 6 ax2 bx c 0 解 2 3 4 点拨精讲 有些含字母系数的方程 尽管分母中含有字母 但只要分母中不含有未知 数 这样的方程仍然是整式方程 2 将方程 3x x 1 5 x 2 化成一元二次方程的一般形式 并写出其中的二次项系 数 一次项系数及常数项 解 去括号 得 3x2 3x 5x 10 移项 合并同类项 得 3x2 8x 10 0 其中二次项 系数是 3 一次项系数是 8 常数项是 10 点拨精讲 将一元二次方程化成一般形式时 通常要将首项化负为正 化分为整 一 小组合作 小组讨论交流解题思路 小组活动后 小组代表展示活动成果 8 分 钟 1 求证 关于 x 的方程 m2 8m 17 x2 2mx 1 0 无论 m 取何值 该方程都是一 元二次方程 证明 m2 8m 17 m 4 2 1 m 4 2 0 m 4 2 1 0 即 m 4 2 1 0 无论 m 取何值 该方程都是一元二次方程 点拨精讲 要证明无论 m 取何值 该方程都是一元二次方程 只要证明 m2 8m 17 0 即可 2 下面哪些数是方程 2x2 10 x 12 0 的根 4 3 2 1 0 1 2 3 4 解 将上面的这些数代入后 只有 2 和 3 满足等式 所以 x 2 或 x 3 是一元 二次方程 2x2 10 x 12 0 的两根 点拨精讲 要判定一个数是否是方程的根 只要把这个数代入等式 看等式两边是否 相等即可 二 跟踪练习 学生独立确定解题思路 小组内交流 上台展示并讲解思路 9 分钟 1 判断下列方程是否为一元二次方程 1 1 x2 0 2 2 x2 1 3y 3 2x2 3x 1 0 4 0 1 x2 2 x 5 x 3 2 x 3 2 6 9x2 5 4x 解 1 是 2 不是 3 是 4 不是 5 不是 6 是 2 若 x 2 是方程 ax2 4x 5 0 的一个根 求 a 的值 解 x 2 是方程 ax2 4x 5 0 的一个根 4a 8 5 0 解得 a 3 4 3 根据下列问题 列出关于 x 的方程 并将其化成一元二次方程的一般形式 1 4 个完全相同的正方形的面积之和是 25 求正方形的边长 x 2 一个长方形的长比宽多 2 面积是 100 求长方形的长 x 解 1 4x2 25 4x2 25 0 2 x x 2 100 x2 2x 100 0 学生总结本堂课的收获与困惑 2 分钟 1 一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程 2 一元二次方程的一般形式 ax2 bx c 0 a 0 特别强调 a 0 3 要会判断一个数是否是一元二次方程的根 学习至此 请使用本课时对应训练部分 10 分钟 21 2 解一元二次方程 21 2 1 配方法 1 1 使学生会用直接开平方法解一元二次方程 2 渗透转化思想 掌握一些转化的技能 重点 运用开平方法解形如 x m 2 n n 0 的方程 领会降次 转化的数学思想 难点 通过根据平方根的意义解形如 x2 n n 0 的方程 知识迁移到根据平方根的意 义解形如 x m 2 n n 0 的方程 一 自学指导 10 分钟 问题 1 一桶某种油漆可刷的面积为 1500 dm2 小李用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的 正方体形状的盒子的全部外表面 你能算出盒子的棱长吗 设正方体的棱长为 x dm 则一个正方体的表面积为 6x2 dm2 根据一桶油漆可刷的 面积列出方程 10 6x2 1500 由此可得 x2 25 根据平方根的意义 得 x 5 即 x1 5 x2 5 可以验证 5 和 5 都是方程的根 但棱长不能为负值 所以正方体的棱长为 5 dm 探究 对照问题 1 解方程的过程 你认为应该怎样解方程 2x 1 2 5 及方程 x2 6x 9 4 方程 2x 1 2 5 左边是一个整式的平方 右边是一个非负数 根据平方根的意义 可 将方程变形为 2x 1 即将方程变为 2x 1 和 2x 1 两个一元一 555 次方程 从而得到方程 2x 1 2 5 的两个解为 x1 x2 1 5 2 1 5 2 在解上述方程的过程中 实质上是把一个一元二次方程 降次 转化为两个一元一次 方程 这样问题就容易解决了 方程 x2 6x 9 4 的左边是完全平方式 这个方程可以化成 x 3 2 4 进行降 次 得到 x 3 2 方程的根为 x1 1 x2 5 归纳 在解一元二次方程时通常通过 降次 把它转化为两个一元一次方程 如果方 程能化成 x2 p p 0 或 mx n 2 p p 0 的形式 那么可得 x 或 mx n pp 二 自学检测 学生自主完成 小组内展示 点评 教师巡视 6 分钟 解下列方程 1 2y2 8 2 2 x 8 2 50 3 2x 1 2 4 0 4 4x2 4x 1 0 解 1 2y2 8 2 2 x 8 2 50 y2 4 x 8 2 25 y 2 x 8 5 y1 2 y2 2 x 8 5 或 x 8 5 x1 13 x2 3 3 2x 1 2 4 0 4 4x2 4x 1 0 2x 1 2 450 每月销售这种篮球获利 y 元 1 求 y 与 x 之间的函数关系式 2 超市计划下月销售这种篮球获利 8000 元 又要吸引更多的顾客 那么这种篮球的 售价为多少元 解 1 y 10 x2 1400 x 40000 50 x0 时 抛物线的开 口向上 顶点是抛物线的最低点 a 越大 抛物线的开口越小 当 a0 时 开口向上 a0 即 m 2 只能取 m 2 这个最低点为抛物线的顶点 其坐标为 0 0 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 3 若函数有最大值 则抛物线开口向下 m 2 0 即 m0 时 y 随 x 的增大而减小 二 跟踪练习 学生独立确定解题思路 小组内交流 上台展示并讲解思路 5 分钟 1 二次函数 y ax2与 y ax2的图象之间有何关系 2 已知函数 y ax2经过点 1 3 1 求 a 的值 2 当 xx2 0 则 y1与 y2的关系是 y1 y2 2 4 二次函数 y ax2与一次函数 y ax a 0 在同一坐标系中的图象大致是 B 点拨精讲 1 二次函数 y ax2的图象的画法是列表 描点 连线 列表时一般取 5 7 个点 描点时可描出一侧的几个点 再根据对称性找出另一侧的几个点 连线将几个点用 平滑的曲线顺次连接起来 抛物线的两端要无限延伸 要 出头 2 抛物线 y ax2的开口大小与 a 有关 a 越大 开口越小 a 相等 则其形状相同 学生总结本堂课的收获与困惑 2 分钟 学习至此 请使用本课时对应训练部分 10 分钟 22 1 3 二次函数 y a x h 2 k 的图象和性质 1 1 会作函数 y ax2和 y ax2 k 的图象 能比较它们的异同 理解 a k 对二次函数 图象的影响 能正确说出两函数图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 2 了解抛物线 y ax2上下平移规律 重点 会作函数的图象 难点 能正确说出两函数图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 一 自学指导 10 分钟 自学 自学课本 P32 33 例 2 及两个思考 理解 y ax2 k 中 a k 对二次函数图 象的影响 完成填空 总结归纳 二次函数 y ax2的图象是一条抛物线 其对称轴是 y 轴 顶点是 0 0 开口方向由 a 的符号决定 当 a 0 时 开口向上 当 a0 时 在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小 在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大 抛物线有 最 低 点 函数 y 有最 小 值 当 a0 时 向 上 平移 当 k 0 时 向 下 平移 二 自学检测 学生自主完成 小组内展示 点评 教师巡视 7 分钟 1 在抛物线 y x2 2 上的一个点是 C A 4 4 B 1 4 C 2 2 D 0 4 2 抛物线 y x2 16 与 x 轴交于 B C 两点 顶点为 A 则 ABC 的面积为 64 点拨精讲 与 x 轴的交点的横坐标即当 y 等于 0 时 x 的值 即可求出两个交点的坐 标 3 画出二次函数 y x2 1 y x2 y x2 1 的图象 观察图象有哪些异同 点拨精讲 可从开口方向 对称轴 形状大小 顶点 位置去找 一 小组合作 小组讨论交流解题思路 小组活动后 小组代表展示活动成果 5 分 钟 探究 1 抛物线 y ax2与 y ax2 c 有什么关系 解 1 抛物线 y ax2 c 的形状与 y ax2的形状完全相同 只是位置不同 2 抛物线 y ax2向上平移 c 个单位得到抛物线 y ax2 c 抛物线 y ax2向下平移 c 个单位得到抛物线 y ax2 c 探究 2 已知抛物线 y ax2 c 向下平移 2 个单位后 所得抛物线为 y 2x2 4 试 求 a c 的值 解 根据题意 得解得 a 2 c 2 4 a 2 c 6 二 跟踪练习 学生独立确定解题思路 小组内交流 上台展示并讲解思路 13 分 钟 1 函数 y ax2 a 与 y ax a a 0 在同一坐标系中的图象可能是 D 2 二次函数的图象如图所示 则它的解析式为 B A y x2 4 B y x2 3 3 4 C y 2 x 2 3 2 D y x2 2 3 2 3 二次函数 y x2 4 图象的对称轴是 y 轴 顶点坐标是 0 4 当 x0 时 在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小 在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大 抛物线有最 低点 函数 y 有最小值 当 a0 抛物线 y ax2向右平移 h 个单位 即为抛物线 y a x h 2 h 0 二 自学检测 学生自主完成 小组内展示 点评 教师巡视 7 分钟 1 教材 P35 练习题 2 抛物线 y x 1 2的开口向下 顶点坐标是 1 0 对称轴是 x 1 通过向左 1 2 平移 1 个单位后 得到抛物线 y x2 1 2 一 小组合作 小组讨论交流解题思路 小组活动后 小组代表展示活动成果 8 分 钟 探究 1 在直角坐标系中画出函数 y x 3 2的图象 1 2 1 指出函数图象的对称轴和顶点坐标 2 根据图象回答 当 x 取何值时 y 随 x 的增大而减小 当 x 取何值时 y 随 x 的增 大而增大 当 x 取何值时 y 取最大值或最小值 3 怎样平移函数 y x2的图象得到函数 y x 3 2的图象 1 2 1 2 解 1 对称轴是直线 x 3 顶点坐标 3 0 2 当 x 3 时 y 随 x 的的增大而增大 当 x 3 时 y 有最小值 3 将函数 y x2的 1 2 图象沿 x 轴向左平移 3 个单位得到函数 y x 3 2的图象 1 2 点拨精讲 二次函数的增减性以对称轴为分界 画图象取点时以顶点为分界对称取 点 探究 2 已知直线 y x 1 与 x 轴交于点 A 抛物线 y 2x2平移后的顶点与点 A 重 合 1 求平移后的抛物线 l 的解析式 2 若点 B x1 y1 C x2 y2 在抛物线 l 上 且 x1 x2 试比较 y1 y2的大小 1 2 解 1 y x 1 令 y 0 则 x 1 A 1 0 即抛物线 l 的顶点坐标为 1 0 又抛物线 l 是由抛物线 y 2x2平移得到的 抛物线 l 的解析式为 y 2 x 1 2 2 由 1 可知 抛物线 l 的对称轴为 x 1 a 2 1 时 y 随 x 的增 大而减小 又 x1y2 1 2 二 跟踪练习 学生独立确定解题思路 小组内交流 上台展示并讲解思路 10 分 钟 1 不画图象 回答下列问题 1 函数 y 3 x 1 2的图象可以看成是由函数 y 3x2的图象作怎样的平移得到的 2 说出函数 y 3 x 1 2的图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 3 函数有哪些性质 4 若将函数 y 3 x 1 2的图象向左平移 3 个单位得到哪个函数图象 点拨精讲 性质从增减性 最值来说 2 与抛物线 y 2 x 5 2顶点相同 形状也相同 而开口方向相反的抛物线所对应 的函数关系式是 y 2 x 5 2 3 对于函数 y 3 x 1 2 当 x 1 时 函数 y 随 x 的增大而减小 当 x 1 时 函数取得最大值 最大值 y 0 4 二次函数 y ax2 bx c 的图象向左平移 2 个单位长度得到 y x2 2x 1 的图象 则 b 6 c 9 点拨精讲 比较函数值的大小 往往可根据函数的性质 结合函数图象 能使解题过 程简洁明了 学生总结本堂课的收获与困惑 2 分钟 学习至此 请使用本课时对应训练部分 10 分钟 22 1 3 二次函数 y a x h 2 k 的图象和性质 3 1 进一步熟悉作函数图象的主要步骤 会作函数 y a x h 2 k 的图象 2 能正确说出 y a x h 2 k 的图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 3 掌握抛物线 y a x h 2 k 的平移规律 重点 熟悉作函数图象的主要步骤 会作函数 y a x h 2 k 的图象 难点 能正确说出 y a x h 2 k 的图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 掌握抛物 线 y a x h 2 k 的平移规律 一 自学指导 10 分钟 自学 自学课本 P35 36 例 3 例 4 掌握 y a x h 2 k 与 y ax2之间的关系 理解并掌握 y a x h 2 k 的相关性质 完成填空 总结归纳 一般地 抛物线 y a x h 2 k 与 y ax2的形状相同 位置不同 把抛物 线 y ax2向上 下 向左 右 平移 可以得到抛物线 y a x h 2 k 平移的方向 距离要根 据 h k 的值来决定 当 h 0 时 表明将抛物线向右平移 h 个单位 当 k0 时 开口向上 当 a3 时 函数值 y 随自变量 x 的值的增大而减小 一 小组讨论 小组讨论交流解题思路 小组活动后 小组代表展示活动成果 13 分钟 探究 1 填写下表 解析式开口方向对称轴顶点坐标 y 2x2向下y 轴 0 0 y x2 1 1 2 向上y 轴 0 1 y 5 x 2 2向下x 2 2 0 y 3 x 1 2 4向上x 1 1 4 点拨精讲 解这类型题要将不同形式的解析式统一为 y a x h 2 k 的形式 便于解 答 探究 2 已知 y a x h 2 k 是由抛物线 y x2向上平移 2 个单位长度 再向右平 1 2 移 1 个单位长度得到的抛物线 1 求出 a h k 的值 2 在同一坐标系中 画出 y a x h 2 k 与 y x2的图象 3 观察 y a x h 2 k 的图象 当 x 取何值时 y 随 1 2 x 的增大而增大 当 x 取何值时 y 随 x 的增大而减小 并求出函数的最值 4 观察 y a x h 2 k 的图象 你能说出对于一切 x 的值 函数 y 的取值范围吗 解 1 抛物线 y x2向上平移 2 个单位长度 再向右平移 1 个单位长度得到的抛 1 2 物线是 y x 1 2 2 a h 1 k 2 1 2 1 2 2 函数 y x 1 2 2 与 y x2的图象如图 1 2 1 2 3 观察 y x 1 2 2 的图象可知 当 x1 时 y 1 2 随 x 的增大而减小 4 由 y x 1 2 2 的图象可知 对于一切 x 的值 y 2 1 2 二 跟踪练习 学生独立确定解题思路 小组内交流 上台展示并讲解思路 5 分钟 1 将抛物线 y 2x2向右平移 3 个单位 再向上平移 2 个单位 得到的抛物线解析 式是 y 2 x 3 2 2 点拨精讲 抛物线的移动 主要看顶点位置的移动 2 若直线 y 2x m 经过第一 三 四象限 则抛物线 y x m 2 1 的顶点必在第 二象限 点拨精讲 此题为二次函数简单的综合题 要注意它们的图象与性质的区别 3 把 y 2x2 1 的图象向右平移 1 个单位 再向下平移 2 个单位 得到的新抛物线的 解析式是 y 2 x 1 2 3 4 已知 A 1 y1 B y2 C 2 y3 在函数 y a x 1 2 k a 0 的图象上 则 2 y1 y2 y3的大小关系是 y2 y30 时 开口向上 此时二次函数有最小值 当 x h 时 y 随 x 的增大而增大 当 x h 时 y 随 x 的增大而减小 当 a 0 时 开口向下 此时二次函数有最大值 当 xh 时 y 随 x 的增大而减小 用配方法将 y ax2 bx c 化成 y a x h 2 k 的形式 则 h k 则 b 2a 4ac b2 4a 二次函数的图象的顶点坐标是 对称轴是 x 当 x 时 二次函 b 2a 4ac b2 4a b 2a b 2a 数 y ax2 bx c 有最大 最小 值 当 a0 时 函数 y 有最小 值 二 自学检测 学生自主完成 小组内展示 点评 教师巡视 5 分钟 1 求二次函数 y x2 2x 1 顶点的坐标 对称轴 最值 画出其函数图象 点拨精讲 先将此函数解析式化成顶点式 再解其他问题 在画函数图象时 要在顶 点的两边对称取点 画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征 一 小组合作 小组讨论交流解题思路 小组活动后 小组代表展示活动成果 13 分钟 探究 1 将下列二次函数写成顶点式 y a x h 2 k 的形式 并写出其开口方向 顶 点坐标 对称轴 1 y x2 3x 21 2 y 3x2 18x 22 1 4 解 1 y x2 3x 21 1 4 x2 12x 21 1 4 x2 12x 36 36 21 1 4 x 6 2 12 1 4 此抛物线的开口向上 顶点坐标为 6 12 对称轴是 x 6 2 y 3x2 18x 22 3 x2 6x 22 3 x2 6x 9 9 22 3 x 3 2 5 此抛物线的开口向下 顶点坐标为 3 5 对称轴是 x 3 点拨精讲 第 2 小题注意 h 值的符号 配方法是数学的一个重要方法 需多加练习 熟练掌握 抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解 探究 2 用总长为 60 m 的篱笆围成的矩形场地 矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而 变化 l 是多少时 场地的面积 S 最大 1 S 与 l 有何函数关系 2 举一例说明 S 随 l 的变化而变化 3 怎样求 S 的最大值呢 解 S l 30 l l2 30l 0 l 30 l2 30l l 15 2 225 画出此函数的图象 如图 l 15 时 场地的面积 S 最大 S 的最大值为 225 点拨精讲 二次函数在几何方面的应用特别广泛 要注意自变量的取值范围的确定 同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分 二 跟踪练习 学生独立确定解题思路 小组内交流 上台展示并讲解思路 5 分钟 1 y 2x2 8x 7 的开口方向是向下 对称轴是 x 2 顶点坐标是 2 1 当 x 2 时 函数 y 有最大值 其值为 y 1 2 已知二次函数 y ax2 2x c a 0 有最大值 且 ac 4 则二次函数的顶点在第四 象限 3 抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴交点的坐标是 0 c 当 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴只有一个交点 即抛物线的顶点 交点坐标是 0 当 b2 4ac 0 时 抛物线与 b 2a x 轴有两个交点 交点坐标是 0 当 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴没有交 b b2 4ac 2a 点 若抛物线与 x 轴的两个交点坐标为 x1 0 x2 0 则 y ax2 bx c a x x1 x x2 点拨精讲 与 y 轴的交点坐标即当 x 0 时求 y 的值 与 x 轴交点即当 y 0 时得到一 个一元二次方程 而此一元二次方程有无解 两个相等的解和两个不相等的解三种情况 所以二次函数与 x 轴的交点情况也分三种 注意利用抛物线的对称性 已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标时 可先用交点式 y a x x1 x x2 x1 x2为两交点的横坐标 学生总结本堂课的收获与困惑 2 分钟 学习至此 请使用本课时对应训练部分 10 分钟 22 1 4 二次函数 y ax2 bx c 的图象和性质 2 能熟练根据已知点坐标的情况 用适当的方法求二次函数的解析式 重难点 能熟练根据已知点坐标的情况 用适当的方法求二次函数的解析式 一 自学指导 10 分钟 自学 自学课本 P39 40 自学 探究 归纳 掌握用待定系数法求二次函数的解析式 的方法 完成填空 总结归纳 若知道函数图象上的任意三点 则可设函数关系式为 y ax2 bx c 利用 待定系数法求出解析式 若知道函数图象上的顶点 则可设函数的关系式为 y a x h 2 k 把另一点坐标代入式中 可求出解析式 若知道抛物线与 x 轴的两个交点 x1 0 x2 0 可设函数的关系式为 y a x x1 x x2 把另一点坐标代入式中 可求出解析 式 二 自学检测 学生自主完成 小组内展示 点评 教师巡视 7 分钟 1 二次函数 y 4x2 mx 2 当 x 2 时 y 随 x 的增大而增大 则当 x 1 时 y 的值为 22 点拨精讲 可根据顶点公式用含 m 的代数式表示对称轴 从而求出 m 的值 2 抛物线 y x2 6x 2 的顶点坐标是 3 11 3 二次函数 y ax2 bx c 的图象大致如图所示 下列判断错误的是 D A a0 C c 0 D ac 0 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 4 如图 抛物线 y ax2 bx c a 0 的对称轴是直线 x 1 且经过点 P 3 0 则 a b c 的值为 A A 0 B 1 C 1 D 2 点拨精讲 根据二次函数图象的对称性得知图象与 x 轴的另一交点坐标为 1 0 将此点代入解析式 即可求出 a b c 的值 5 如图是二次函数 y ax2 3x a2 1 的图象 a 的值是 1 点拨精讲 可根据图象经过原点求出 a 的值 再考虑开口方向 一 小组合作 小组讨论交流解题思路 小组活动后 小组代表展示活动成果 13 分钟 探究 1 已知二次函数的图象经过点 A 3 0 B 2 3 C 0 3 求函数的关系 式和对称轴 解 设函数解析式为 y ax2 bx c 因为二次函数的图象经过点 A 3 0 B 2 3 C 0 3 则有 9a 3b c 0 4a 2b c 3 c 3 解得 a 1 b 2 c 3 函数的解析式为 y x2 2x 3 其对称轴为 x 1 探究 2 已知一抛物线与 x 轴的交点是 A 3 0 B 1 0 且经过点 C 2 9 试求 该抛物线的解析式及顶点坐标 解 设解析式为 y a x 3 x 1 则有 a 2 3 2 1 9 a 3 此函数的解析式为 y 3x2 6x 9 其顶点坐标为 1 12 点拨精讲 因为已知点为抛物线与 x 轴的交点 解析式可设为交点式 再把第三点代 入即可得一元一次方程 较之一般式得出的三元一次方程组简单 而顶点可根据顶点公式 求出 二 跟踪练习 学生独立确定解题思路 小组内交流 上台展示并讲解思路 5 分钟 1 已知一个二次函数的图象的顶点是 2 4 且过点 0 4 求这个二次函数的 解析式及与 x 轴 交点的坐标 2 若二次函数 y ax2 bx c 的图象过点 1 0 且关于直线 x 对称 那么它的图 1 2 象还必定经过原点 3 如图 已知二次函数 y x2 bx c 的图象经过 A 2 0 B 0 6 两点 1 2 1 求这个二次函数的解析式 2 设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C 连接 BA BC 求 ABC 的面积 点拨精讲 二次函数解析式的三种形式 1 一般式 y ax2 bx c 2 顶点式 y a x h 2 k 3 交点式 y a x x1 x x2 利用待定系数法求二次函数的解析式 需要根据已知 点的情况设适当形式的解析式 可使解题过程变得更简单 学生总结本堂课的收获与困惑 2 分钟 学习至此 请使用本课时的对应训练部分 10 分钟 22 2 二次函数与一元二次方程 1 1 理解二次函数与一元二次方程的关系 2 会判断抛物线与 x 轴的交点个数 3 掌握方程与函数间的转化 重点 理解二次函数与一元二次方程的关系 会判断抛物线与 x 轴的交点个数 难点 掌握方程与函数间的转化 一 自学指导 10 分钟 自学 自学课本 P43 45 自学 思考 与 例题 理解二次函数与一元二次方程的 关系 会判断抛物线与 x 轴的交点情况 会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近 似解 完成填空 总结归纳 抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴有公共点 公共点的横坐标是 x0 那么当 x x0时 函数的值是 0 因此 x x0就是方程 ax2 bx c 0 的一个根 二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种 当 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有两个交 点 当 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有一个交点 当 b2 4ac0 即 4k 1 2 4 2 2k2 1 0 解得 k 9 8 点拨精讲 根据交点的个数来确定判别式的范围是解题关键 要熟悉它们之间的对应 关系 二 跟踪练习 学生独立确定解题思路 小组内交流 上台展示并讲解思路 12 分 钟 1 抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴的公共点是 2 0 4 0 抛物线的对称轴是 x 1 点拨精讲 根据对称性来求 2 画出函数 y x2 2x 3 的图象 利用图象回答 1 方程 x2 2x 3 0 的解是什么 2 x 取什么值时 函数值大于 0 3 x 取什么值时 函数值小于 0 点拨精讲 x2 2x 3 0 的解 即求二次函数 y x2 2x 3 中函数值 y 0 时自变量 x 的值 3 用函数的图象求下列方程的解 1 x2 3x 1 0 2 x2 6x 9 0 3 x2 x 2 0 4 2 x x2 0 点拨精讲 3 分钟 本节课所学知识 1 二次函数 y ax2 bx c a 0 与一元二次方 程之间的关系 当 y 为某一确定值 m 时 相应的自变量 x 的值就是方程 ax2 bx c m 的 根 2 若抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交点为 x0 0 则 x0是方程 ax2 bx c 0 的根 3 有下列对应关系 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图 象与 x 轴的位置关系 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根的情况 b2 4ac 的值 有两个公共点有两个不相等的实数根b2 4ac 0 只有一个公共点有两个相等的实数根b2 4ac 0 无公共点无实数根b2 4ac 0 学生总结本堂课的收获与困惑 2 分钟 学习至此 请使用本课时对应训练部分 10 分钟 22 2 二次函数与一元二次方程 2 1 会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解 2 熟练掌握函数与方程的综合应用 3 能利用函数知识解决一些简单的实际问题 重点 根据函数图象观察方程的解和不等式的解集 难点 观察抛物线与直线相交后的函数值 自变量的变化情况 一 自学指导 10 分钟 自学 自学课本 P46 理解二次函数与一元二次方程的关系 会判断抛物线与 x 轴的交 点情况 会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解 完成填空 总结归纳 抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴的交点坐标实质上是抛物线与直线 y 0 组成 的方程组的解 抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴的交点坐标实质上是的解 x 0 y ax2 bx c 抛物线 y ax2 bx c 与直线的交点坐标实质上是的解 y kx b y ax2 bx c 二 自学检测 学生自主完成 小组内展示 点评 教师巡视 7 分钟 1 若二次函数 y k 3 x2 2x 1 的图象与 x 轴有交点 则 k 的取值范围为 D A k 4 B k 4 C k 4 且 k 3 D k 4 且 k 3 2 已知二次函数 y x2 2ax b c 2 其中 a b c 是 ABC 的边长 则此二次函 数图象与 x 轴的交点情况是 A A 无交点 B 有一个交点 C 有两个交点 D 交点个数无法确定 3 若二次函数 y x2 mx m 3 的图象与 x 轴交于 A B 两点 则 A B 两点的距 离的最小值是 C A 2 B 0 3 C 2 D 无法确定 2 一 小组合作 小组讨论交流解题思路 小组活动后 小组代表展示活动成果 13 分钟 探究 1 将抛物线 y x2 2x 4 向右平移 2 个单位 又向上平移 3 个单位 最后绕顶 点旋转 180 1 求变换后新抛物线对应的函数解析式 2 若这个新抛物线的顶点坐标恰为 x 的整式方程 x2 4m n x 3m2 2n 0 的两根 求 m n 的值 解 1 y x2 2x 4 x 1 2 5 由题意可得平移旋转后的抛物线解析式为 y x 1 2 2 x2 2x 3 2 该抛物线顶点坐标为 1 2 设方程两根分别为 x1 x2 则有 x1 x2 4m n 1 x1 x2 3m2 2n 2 即 4m n 1 3m2 2n 2 解得或 m1 2 3 n1 5 3 m2 2 n2 7 点拨精讲 熟练运用二次函数平移规律解决问题 二次函数与一元二次方程的转化 以及运用一元二次方程根与系数的关系也是解决问题的常用之法 探究 2 如图是抛物线 y ax2 bx c 的一部分 其对称轴为直线 x 1 若其与 x 轴 一交点为 3 0 则由图象可知 不等式 ax2 bx c 0 的解集是 x 3 或 x 1 二 跟踪练习 学生独立确定解题思路 小组内交流 上台展示并讲解思路 8 分钟 1 若二次函数 y ax2 x c 的图象在 x 轴的下方 则 a c 满足关系为 A A a 0 且 4ac 1 B a 0 且 4ac 1 C a 0 且 4ac 1 D a 0 且 4ac 1 2 若二次函数 y x2 2x k 的部分图象如图 关于 x 的一元二次方程 x2 2x k 0 的一个解 x1 3 则另一个解 x2 1 点拨精讲 可根据抛物线的对称性求解 3 二次函数 y x2 8x 15 的图象与 x 轴交于 A B 两点 点 C 在该函数的图象上运 动 若 S ABC 2 求点 C 的坐标 学生总结本堂课的收获与困惑 2 分钟 学习至此 请使用本课时对应训练部分 10 分钟 22 3 实际问题与二次函数 1 1 经历探索实际问题中两个变量的变化过程 使学生理解用抛物线知识解决最值问题 的思路 2 初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题 重难点 用抛物线知识解决实际问题 一 自学指导 10 分钟 自学 自学课本 P49 50 自学 探究 1 能根据几何图形及相互关系建立二次函数 关系式 体会二次函数这一模型的意义 总结归纳 图象是抛物线的 可设其解析式为 y ax2 bx c 或 y a x h 2 k 再寻 找条件 利用二次函数的知识解决问题 实际问题中没有坐标系 应建立适当的坐标系 再根据图象和二次函数的知识解决实际问题 二 自学检测 学生自主完成 小组内展示 点评 教师巡视 7 分钟 1 用长 16 m 的绳子围成如图所示的矩形框 使矩形框的面积最大 那么这个矩形框 的最大面积是 m2 32 3 2 如图 点 C 是线段 AB 上的一个动点 AB 1 分别以 AC 和 CB 为一边作正方形 用 S 表示这两个正方形的面积之和 下列判断正确的是 A A 当 C 是 AB 的中点时 S 最小 B 当 C 是 AB 的中点时 S 最大 C 当 C 为 AB 的三等分点时 S 最小 D 当 C 是 AB 的三等分点时 S 最大 第 2 题图 第 3 题图 3 如图 某水渠的横断面是等腰梯形 底角为 120 两腰与下底的和为 4 cm 当水 渠深 x 为时 横断面面积最大 最大面积是 2 3 3 4 3 3 点拨精讲 先列出函数的解析式 再根据其增减性确定最值 一 小组合作 小组讨论交流解题思路 小组活动后 小组代表展示活动成果 13 分钟 探究 1 某窗户如图所示 它的上半部是半圆 下半部是矩形 制造窗框的材料总长 为 15 m 图中所有线条长度之和 当 x 等于多少时 窗户通过的光线最多 此时 窗户的 面积是多少 结果精确到 0 01 m 解 由题意可知 4y 2 x 6x 15 化简得 y 设窗户的面积为 S 1 2 15 6x x 4 m2 则 S x2 2x 3x2 x a 30 当 x h 时 函数 y 有最小值 其值为 y k 若 a 0 当 x h 时 函数 y 有最大值 其值为 y k 点拨精讲 遇到一般式 可先化成顶点式 再求最值 自变量有取值范围的还要考虑 在范围内的最值 二 自学检测 学生自主完成 小组内展示 点评 教师巡视 7 分钟 1 已知二次函数 y x2 4x m 的最小值是 2 那么 m 的值是 6 2 边长为 10 cm 的正方形铁片 中间剪去一个边长是 x cm 的小正方形 剩下的四方 框铁片的面积 y cm2 与 x cm 之间的函数关系是 y x2 100 0 x 10 3 服装店将进价为 100 元的服装按 x 元出售 每天可销售 200 x 件 若想获得最大 利润 则 x 应定为 150 元 一 小组合作 小组讨论交流解题思路 小组活动后 小组代表展示活动成果 8 分 钟 探究 某经销店代销一种材料 当每吨售价为 260 元时 月销售量为 45 吨 该经销店 为提高经营利润 准备采取降价的方式进行促销 经市场调查发现 当每吨售价每下降 10 元时 月销售量就会增加 7 5 吨 每售出 1 吨建筑材料共需支付厂家及其他费用 100 元 设每吨材料售价为 x 元 该经销店的月利润为 y 元 1 当每吨售价是 240 元时 计算此时的月销售量 2 求出 y 与 x 的函数关系式 不要求写出 x 的取值范围 3 该经销店要获得最大月利润 售价应定为每吨多少元 4 王强说 当月利润最大时 月销售额也最大 你认为对吗 请说明理由 解 1 45 7 5 60 吨 260 240 10 2 y x 100 45 7 5 260 x 10 化简 得 y x2 315x 24000 3 4 3 y x2 315x 24000 x 210 2 9075 3 4 3 4 此经销店要获得最大月利润 材料的售价应定为每吨 210 元 4 我认为 王强说得不对 理由 当月利润最大时 x 为 210 元 而月销售额 W x 45 7 5 260 x 10 x 160 2 19200 当 x 为 160 元时 月销售额 W 最大 当 x 为 210 元时 月销售 3 4 额 W 不是最大 王强说得不对 点拨精讲 要分清每一吨的利润 销售量与售价的关系 分清最大利润与最大销售额 之间的区别 二 跟踪练习 学生独立确定解题思路 小组内交流 上台展示并讲解思路 10 分 钟 1 若抛物线 y x2 bx c 的最高点为 1 3 则 b c 2 某商品的进价为每件 40 元 售价为每件 50 元 每个月可卖出 210 件 如果每件商 品的售价每上涨 1 元 则每个月少卖 10 件 每件售价不能高于 65 元 设每件商品的售价 上涨 x 元 x 为正整数 每个月的销售利润为 y 元 1 求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围 2 每件商品的售价定为多少元时 每个月可获得最大利润 最大的月利润是多少元 3 每件商品的售价定为多少元时 每个月的利润恰好是 2200 元 根据以上的结论 请你直接写出售价在什么范围时 每个月的利润不低于 2200 元 3 某旅社有 100 张床位 每床每晚收费 10 元时 床位可全部租出 若每床每晚收费 提高 2 元 则减少 10 张床位的租出 若每床每晚收费再提高 2 元 则再减少 10 张床位租 出 以每次提高 2 元的这种方法变化下去 为了投资少而获利大 每床位每晚应提高多少 元 点拨精讲 在根据实际问题建立函数模型时 要考虑自变量的取值范围 3 分钟 学生总结本堂课的收获与困惑 2 分钟 学习至此 请使用本课时的对应训练部分 10 分钟 22 3 实际问题与二次函数 3 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 并能利用二次函数 的知识解决实际问题 重难点 用抛物线知识解决实际问题 一 自学指导 10 分钟 自学 自学课本 P51 自学 探究 3 学会根据实际问题 建立适当的坐标系和二次 函数关系 完成填空 总结归纳 建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤 根据题意建立适当的平面 直角坐标系 把已知条件转化为点的坐标 合理设出函数关系式 利用待定系数法 求出函数关系式 根据求得的关系式进一步分析 判断 并进行有关的计算 二 自学检测 学生自主完成 小组内展示 点评 教师巡视 7 分钟 1 一个运动员打高尔夫球 如果球的飞行高度 y m 与水平距离 x m 之间的函数表达 式为 y x 30 2 10 则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为 A 1 90 A 10 m B 20 m C 30 m D 40 m 2 某工厂大门是一个抛物线形水泥建筑物 大门的地面宽度为 8 米 两侧距地面 3 米 高处各有一盏壁灯 两壁灯之间的水平距离为 6 米 如图所示 则厂门的高 水泥建筑物厚 度不计 精确到 0 1 米 为 B A 6 8 米 B 6 9 米 C 7 0 米 D 7 1 米 一 小组合作 小组讨论交流解题思路 小组活动后 小组代表展示活动成果 10 分钟 探究 小红家门前有一座抛物线形拱桥 如图 当水面在 l 时 拱顶离水面 2 m 水面 宽 4 m 水面下降 1 m 时 水面宽度增加多少 解 由题意建立如图的直角坐标系 设抛物线的解析式为 y ax2 抛物线经过点 A 2 2 2 4a a 1 2 即抛物线的解析式为 y x2 当水面下降 1 m 时 点 B 的纵坐标为 3 将 y 3 代 1 2 入二次函数解析式 y x2 得 3 x2 x 此时水面宽度为 2 x 2 1 2 1 266 m 即水面下降 1 m 时 水面宽度增加了 2 4 m 6 点拨精讲 用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系 抛 物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便 二 跟踪练习 学生独立确定解题思路 小组内交流 上台展示并讲解思路 11 分钟 1 有一座抛物线形拱桥 正常水位时桥下水面宽度为 20 m 拱顶距离水面 4 m 1 在如图所示的直角坐标系中 求出该抛物线的解析式 2 在正常水位的基础上 当水位上升 h m 时 桥下水面的宽度为 d m 求出将 d 表示 为 h 的函数解析式 3 设正常水位时桥下的水深为 2 m 为保证过往船只顺利航行 桥下水面的宽度不得 小于 18 m 求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行 点拨精讲 以桥面所在直线为 x 轴 以桥拱的对称轴所在直线为 y 轴建立坐标系 设 抛物线的解析式为 y ax2 则点 B 的坐标为 10 4 即可求出解析式 2 杂技团进行杂技表演 演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处 其身体 看成一点 的路线是抛物线 y x2 3x 1 的一部分 如图 3 5 1 求演员弹跳离地面的最大高度 2 已知人梯高 BC 3 4 米 在一次表演中 人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 米 问这 次表演是否成功 请说明理由 学生总结本堂课的收获与困惑 2 分钟 学习至此 请使用本课时对应训练部分 10 分钟 第二十三章 旋转 23 1 图形的旋转 1 1 了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念 2 了解旋转对应点的概念及应用它们解决一些实际问题 重点 旋转及对应点的有关概念及其应用 难点 从生活中抽象出数学概念 2 分钟 请同学们完成下面各题 1 将如图所示的四边形 ABCD 平移 使点 B 的对应点为点 D 作出平移后的图形 第 1 小题图 第 2 小题图 2 如图 已知 ABC 和直线 l 请你画出 ABC 关于 l 的对称图形 A B C 3 圆是轴对称图形吗 等腰三角形呢 你还能指出其他的吗 答 1 是 2 是 3 等腰梯形 长方形 正多边形等 点拨精讲 1 平移的有关概念及性质 2 如何画一个图形关于一条直线 对称轴 的对 称图形并口述它有哪些性质 3 什么叫轴对称图形 一 自学指导 10 分钟 观察 让学生看转动的钟表和风车等 1 上面情景中的转动现象 有什么共同的特征 指针 风车叶片分别绕中间点旋转 2 钟表的指针 秋千在转动过程中 其形状 大小 位置是否发生变化呢 形状 大 小不变 位置发生变化 问题 1 从 3 时到 5 时 时针转动了多少度 60 2 风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时 风车旋转了多少度 60 3 以上现象有什么共同特点 物体绕固定点旋转 思考 在数学中如何定义旋转