2012届高考数学培优辅导复习 函数导数综合问题（二）试题2

用心 爱心 专心1 函数导数综合问题 二 函数导数综合问题 二 例 1 已知函数 2 lnf xxaxbx 0 x 实数a b为常数 若 1 1ab 求函数 f x的极值 若2ab 讨论函数 f x的单调性 例 2 已知函数 2 33 x f xxxe 定义域为 t 2 2t 设 ntfmf 2 试确定t的取值范围 使得函数 xf在 t 2 上为单调函数 求证 nm 求证 对于任意的2 t 总存在 2 0 tx 满足 0 2 0 2 1 3 x fx t e 并确定这 样的 0 x的个数 例 3 在直角坐标平面内 已知三点A B C共线 函数 f x满足 2 1 ln10OAf xfOBxOC 1 求函数 f x的表达式 2 若0 x 求证 2 2 x f x x 3 若不等式 222 1 23 2 xf xmbm 对任意 1 1x 及任意 1 1b 都成 立 求实数m的取值范围 基础大题自测 二 基础大题自测 二 1 如图 三棱柱A1B1C1 ABC的三视图中 主视图和左视图是全等的矩形 俯视图是等腰 直角三角形 已知点M是A1B1的中点 1 求证 B1C 平面AC1M 2 设AC与平面AC1M的夹角为 求 sin 用心 爱心 专心2 2 2 如图 甲 在直角梯形 ABED 中 AB DE AB BE AB CD 且 BC CD AB 2 F H G 分别为 AC AD DE 的中点 现将 ACD 沿 CD 折起 使平面 ACD 平面 CBED 如图 乙 1 求证 平面 FHG 平面 ABE 2 记 BCx V x表示三棱锥 B ACE 的 体积 求 V x的最大值 3 当 V x取得最大值时 求二面角 D AB C 的余弦值 函数导数综合问题 二 参考答案 函数导数综合问题 二 参考答案 例 1 解 解 函数 2 lnf xxxx 则 1 21fxx x 令 0fx 得1x 舍去 1 2 x 当 1 0 2 x 时 0fx 函数单调递减 当 1 2 x 时 0fx 函数单调递增 f x在 1 2 x 处取得极小值 3 ln2 4 由于2ab 则2ab 从而 2 2 lnf xxb xbx 则 D E B C H 乙 G F A H F D G E B C A 乙 用心 爱心 专心3 2 1 2 2 bxb x fxxb xx 令 0fx 得 1 2 b x 2 1x 当0 2 b 即0b 时 函数 f x的单调递减区间为 0 1 单调递增区间为 1 8 分 当01 2 b 即02b 时 列表如下 x 0 2 b 1 2 b 1 fx f x AAA 所以 函数 f x的单调递增区间为 0 2 b 1 单调递减区间为 1 2 b 当1 2 b 即2b 时 函数 f x的单调递增区间为 0 当1 2 b 即2b 时 列表如下 x 0 1 1 2 b 2 b fx f x AAA 所以函数 f x的单调递增区间为 0 1 2 b 单调递减区间为 1 2 b 综上 当0b 时 函数 f x的单调递减区间为 0 1 单调递增区间为 1 当02b 时 函数 f x的单调递增区间为 0 2 b 1 单调递减区间为 1 2 b 当2b 时 函数 f x的单调递增区间为 0 当2b 时 函数 f x的单调递增区间为 0 1 2 b 单调递减区间为 1 2 b 例 2 解解 因为 2 33 23 1 xxx fxxxexex xe 由 010fxxx 或 由 001fxx 所以 f x在 0 1 上递增 在 0 1 上递减 欲 xf在 t 2 上为单调函数 则20t 证证 因为 f x在 0 1 上递增 在 0 1 上递减 所以 f x在1x 处取得 极小值e 又 2 13 2 fe e 所以 f x在 2 上的最小值为 2 f 从而当2t 时 2 ff t 即mn 用心 爱心 专心4 证 因为 0 2 0 00 x fx xx e 所以 0 2 0 2 1 3 x fx t e 即为 22 00 2 1 3 xxt 令 22 2 1 3 g xxxt 从而问题转化为证明方程 22 2 1 3 g xxxt 0 在 2 t 上有解 并讨论解的个数 因为 2 22 2 6 1 2 4 33 gttt 2 21 1 1 2 1 33 g tt tttt 所以 当421tt 或时 2 0gg t 所以 0g x 在 2 t 上有解 且只有一 解 当14t 时 2 0 0gg t 且 但由于 2 2 0 1 0 3 gt 所以 0g x 在 2 t 上有解 且有两解 当1t 时 2 001g xxxxx 或 所以 0g x 在 2 t 上有且只有 一解 当4t 时 2 6023g xxxxx 或 所以 0g x 在 2 4 上也有且只有一解 综上所述 对于任意的2 t 总存在 2 0 tx 满足 0 2 0 2 1 3 x fx t e 且当421tt 或时 有唯一的 0 x适合题意 当14t 时 有两个 0 x适合题意 例 3 解 1 三点ABC 共线且 2 ln 1 OAf xfx OBxOC 2 1 ln 1 1 1 2 1 ln 1 f xfxf xfx 由 1 1 fx x 得 1 1 2 f 故 ln 1 f xx 2 证明 记 2 2 x g xf x x 则 2 ln 1 2 x g xx x 0 x 时 2 22 14 0 1 2 1 2 x g x xxxx g x在 0 上是单调增函数 故 0 0g xg 即 2 2 x f x x 成立 3 记 22 1 2 xxf x 则 22 1 ln 1 2 xxx 由 22 2 1 1 11 xxx x xx xx 又 1 1 x 知0 x 时 x 取的最大值 且 0 0 故原命题可化为对任意 1 1 b 都有 2 230mbm 恒成立 记 2 23h bmbm 知11b 时 0h b 恒成立 用心 爱心 专心5 2 2 1 0230 3 1 0 230 hmm m h mm 或3m 基础大题自测 基础大题自测 2 2 参考答案 参考答案 1 解 由三视图可知三棱柱A1B1C1 ABC为直三棱柱 侧梭长为 2 底面是等腰直角三角 形 AC BC 1 2 分 如图建立空间直角坐标系C xyz 则C 0 0 0 C1 0 0 2 A 1 0 0 B1 0 1 2 A1 1 0 2 M为A1B1中点 2 2 1 2 1 M 4 分 1 0 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 0 11 MCAMCB 11 MCAMCB 6 分 1 CB 面AC1M 又 B1C 面AC1M B1C 面AC1M 8 分 2 设平面AC1M的一个法向量为 zyxn 2 2 1 0 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 1 yxz zyxzyxAMn yxzyxMCn 则令 1 2 2 n 10 分 0 0 1 AC又则 3 2 cos sin ACn ACn ACn 12 分 2 2 解 解 1 证明 由图 甲 结合已知条件知四边形 CBED 为正方形 如图 乙 F H G 分别为 AC AD DE 的中点 FH CD HG AE 1 分 CD BE FH BE BE 面ABE FH 面ABE FH面ABE 3 分 同理可得 HG面ABE 又 FHHGH 平面 FHG 平面 ABE 4 分 2 平面 ACD 平面 CBED 且 AC CD AC 平面 CBED 5 分 V x A BCE V 1 3 BCE SAC 用心 爱心 专心6 BCx 2ACx 02x V x 22 111 2 2 326 xxxx 1 42 12 x xx 7 分 解法 1 3 4264 42 327 xxx x xx V x 16416 122781 当且仅当42xx 即 4 3 x 时取 V x的最大值为 16 81 9 分 解法 2 2 1 43 6 Vxxx 令 0Vx 得0 x 不合舍去 或 4 3 x 当 4 3 x 时 0Vx 当 4 0 3 x 时 0Vx 当 4 3 x 时 V x有最大值 max 4 3 V xV 16 81 3 解法 1 以点 C 为坐标原点 CB 为 x 轴建立空间直角坐标系 如右图示 由 2 知当 V x取得最大值时 4 3 x 即 BC 4 3 这时 AC 2 3 B 4 0 0 3 4 0 0 3 D 2 0 0 3 A 10 分 平面 ACB 的法向量 4 0 0 3 CD 设平面 ABD 的法向量为 ma b c 42 0 33 AB 4 4 0 3 3 BD 11 分 由mAB mBD 得 44 0 33 ab 42 0 33 ac 令1c 得 1 1 1 2 2 m 12 分 设二面角 D AB C 为 则 2 6 3 cos 6 411 1 344 m CD mCD 14 分 解法 2 由 2 知当 V x取得最大值时 4 3 x 即 BC 4 3 这时 AC 2 3 从而 22 2 5 3 ABACBC 过点 C 作 CM AB 于 M 连结 MD CDAC CDBC ACBCC CD 面ABC CM 面ABC CMCD AB 面MCD z y