2011届高考数学权威预测 37直线、圆的位置关系 新人教A版

用心 爱心 专心 1 直线 圆的位置关系直线 圆的位置关系 一 一 课标要求课标要求 1 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 2 探索并掌握两点间的距离公式 点到直线的距离公式 会求两条平行直线间的距离 3 能根据给定直线 圆的方程 判断直线与圆 圆与圆的位置关系 4 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 5 在平面解析几何初步的学习过程中 体会用代数方法处理几何问题的思想 二 二 命题走向命题走向 本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件 与距离有关的问题 直线与圆的位置关系 特别是弦长问题 此类问题难度属于中等 一般以选择题的形式出现 有时在解析几何 中也会出现大题 多考察其几何图形的性质或方程知识 预测 2011 年对本讲的考察是 1 一个选择题或一个填空题 解答题多与其它知识联合考察 2 热点问题是直线的位置关系 借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系 注 重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向 3 本讲的内容考察了学生的理解能力 逻辑思维能力 运算能力 三 三 要点精讲要点精讲 1 直线 l1与直线 l2的的平行与垂直 1 若 l1 l2均存在斜率且不重合 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1k2 1 2 若0 0 22221111 CyBxAlCyBxAl 若 A1 A2 B1 B2都不为零 l1 l2 2 1 2 1 2 1 C C B B A A l1 l2 A1A2 B1B2 0 l1与 l2相交 2 1 2 1 B B A A l1与 l2重合 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 注意 若 A2或 B2中含有字母 应注意讨论字母 0 与 0 的情况 两条直线的交点 两条 直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数 2 距离 1 两点间距离 若 y x B y x A 2211 则 2 12 2 12 yyxxAB 特别地 x AB轴 则 AB 21 xx y AB轴 则 AB 21 yy 2 平行线间距离 若0 0 2211 CByAxlCByAxl 用心 爱心 专心 2 则 22 21 BA CC d 注意点 x y 对应项系数应相等 3 点到直线的距离 0CByAx l y x P 则 P 到 l 的距离为 22 BA CByAx d 3 直线0 CByAx与圆 222 rbyax 的位置关系有三种 1 若 22 BA CBbAa d 0 交交rd 2 0 交交rd 3 0 交交rd 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 0 0 22 FEyDxyx CByAx 求解 通过解 的个数来判断 1 当方程组有 2 个公共解时 直线与圆有 2 个交点 直线与圆相交 2 当方程组有且只有 1 个公共解时 直线与圆只有 1 个交点 直线与圆相切 3 当方程组没有公共解时 直线与圆没有交点 直线与圆相离 即 将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程 设它的判别式为 圆心 C 到直线 l 的距离为 d 则直线与圆的位置关系满足以下关系 相切 d r 0 相交 d0 相离 d r 0 4 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1 O2 半径分别为 r1 r2 dOO 21 交交交交交交4 21 rrd 交交交交交交3 21 rrd 交交交交交交2 2121 rrdrr 交交交交交交1 21 rrd 交交交交交交 21 0rrd 用心 爱心 专心 3 外离 外切 相交 内切 内含 判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决 四 四 典例解析典例解析 题型 1 直线间的位置关系 例 1 全国全国 文文 15 已知圆 O 5 22 yx和点 A 1 2 则过 A 且与圆 O 相切的直线 与两坐标轴围成的三角形的面积等于 解析 由题意可直接求出切线方程为 y 2 2 1 x 1 即 x 2y 5 0 从而求出在两坐标轴上的 截距分别是 5 和 2 5 所以所求面积为 4 25 5 2 5 2 1 答案 25 4 总结点评 本题主要考查直线的方程 直线与圆的位置关系等知识 数形结合与分类讨论 的思想方法 以及定性地分析问题和解决问题的能力 2 已知两条直线 12 330 4610 laxylxy 若 12 ll 则a 解析 1 答案 1 2 2 2 点评 1 三点共线问题借助斜率来解决 只需保证 ACAB kk 2 对直线平行关 系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况 例 2 已知两条直线2yax 和 2 1yax 互相垂直 则a等于 A 2 B 1 C 0 D 1 2 2007 安徽理 7 用心 爱心 专心 4 若曲线 4 yx 的一条切线l与直线480 xy 垂直 则l的方程为 A 430 xy B 450 xy C 430 xy D 430 xy 解析 1 答案为 D 2 与直线480 xy 垂直的直线l为40 xym 即 4 yx 在某一点的导数为 4 而 3 4yx 所以 4 yx 在 1 1 处导数为 4 此点的切线为 430 xy 故选 A 点评 直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系 同时兼顾到斜率为零和 不存在两种情况 题型 2 距离问题 例 3 将直线20 xy 沿x轴向左平移 1 个单位 所得直线与圆 22 240 xyxy 相切 则实数 的值为 A 3 或 7 B 2 或 8 C 0 或 10 D 1 或 11 思路点拨 本题考查了平移公式 直线与圆的位置关系 只要正确理解平移公式和直线与 圆相切的充要条件就可解决 正确解答 由题意可知 直线20 xy 沿x轴向左平移 1 个单位后的直线l为 2 1 0 xy 已知圆的圆心为 1 2 O 半径为5 解法 1 直线与圆相切 则圆心到直线的距离等于圆的半径 因而有 2 1 1 2 5 5 得3 或 7 解法 2 设切点为 C x y 则切点满足2 1 0 xy 即2 1 yx 代入圆方 程整理得 22 5 24 4 0 xx 由直线与圆相切可知 方程只有一个解 因而有0 得3 或 7 解法 3 由直线与圆相切 可知COl 因而斜率相乘得 1 即 2 21 1 y x 又因为 C x y在圆上 满足方程 22 240 xyxy 解得切点为 1 1 或 2 3 又 C x y在 直线2 1 0 xy 上 解得3 或 7 2 湖北文 湖北文 14 过原点 O 作圆 x2 y2 6x 8y 20 0 的两条切线 设切点分别为P Q 则线段PQ的长为 解析 可得圆方程是 22 3 4 5xy 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理 用心 爱心 专心 5 得4PQ 例 4 圆 向量与三角函数圆 向量与三角函数 设 A B 为圆 22 1xy 上两点 O 为坐标原点 A O B 不共线 求证 OAOBOAOB 与垂直 当 3 44 45 xOAxOBOA OB A且时 求sin 的值 解 由 22 1 1OAOBOAOB 得 则 22 1OAOB 22 0OAOB 0OAOBOAOB A 则OAOBOAOB 与垂直 由 cos sin 444 xOAOA 得 又 cos sin xOBOB 由 33 coscossinsin 5445 OA OB A得 即 3 cos 45 4 0sin 444245 sinsin sincos cossin 444444 23242 252510 点评 该题全面综合了解析几何 平面几何 代数的相关知识 充分体现了 注重学科 知识的内在联系 题目的设计新颖脱俗 能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能 力 比较深刻地考查了解析法的原理和应用 以及分类讨论的思想 方程的思想 该题对思维 的目的性 逻辑性 周密性 灵活性都进行了不同程度的考查 对运算 化简能力要求也较高 有较好的区分度 题型 3 直线与圆的位置关系 例 5 2009 江苏卷江苏卷 18 本小题满分 16 分 用心 爱心 专心 6 在平面直角坐标系xoy中 已知圆 22 1 3 1 4Cxy 和圆 22 2 4 5 4Cxy 1 若直线l过点 4 0 A 且被圆 1 C截得的弦长为2 3 求 直线l的方程 2 设 P 为平面上的点 满足 存在过点 P 的无穷多对互相垂 直的直线 1 l和 2 l 它们分别与圆 1 C和圆 2 C相交 且直线 1 l被圆 1 C截得的弦长与直线 2 l被圆 2 C截得的弦长相等 试求所有满 足条件的点 P 的坐标 解解 1 设直线l的方程为 4 yk x 即40kxyk 由垂径定理 得 圆心 1 C到直线l的距离 22 2 3 4 1 2 d 结合点到直线距离公式 得 2 31 4 1 1 kk k 化简得 2 7 2470 0 24 kkkor k 求直线l的方程为 0y 或 7 4 24 yx 即0y 或724280 xy 2 设点 P 坐标为 m n 直线 1 l 2 l的方程分别为 1 ynk xmynxm k 即 11 0 0kxynkmxynm kk 因为直线 1 l被圆 1 C截得的弦长与直线 2 l被圆 2 C截得的弦长相等 两圆半径相等 由垂径定理 得 圆心 1 C到直线 1 l与 2 C直线 2 l的距离相等 故有 2 2 41 5 31 1 1 1 nm knkm kk k k 化简得 2 3 8 5mn kmnmnkmn 或 关于k的方程有无穷多解 有 20 30 mn mn m n 8 0 或 m n 5 0 解之得 点 P 坐标为 3 13 2 2 或 51 22 例 6 已知圆 M x cos 2 y sin 2 1 直线 l y kx 下面四个命题 A 对任意实数 k 与 直线 l 和圆 M 相切 B 对任意实数 k 与 直线 l 和圆 M 有公共点 C 对任意实数 必存在实数 k 使得直线 l 与和圆 M 相切 D 对任意实数 k 必存在实数 使得直线 l 与和圆 M 相切 用心 爱心 专心 7 其中真命题的代号是 写出所有真命题的代号 解析 圆心坐标为 cos sin d 2 22 kcossin 1k sin 1k1k sin 1 故选 B D 点评 该题复合了三角参数的形式 考察了分类讨论的思想 题型 4 直线与圆综合问题 例 7 江西理 江西理 16 设直线系 cos 2 sin1 02 M xy 对于下列四个命题 A M中所有直线均经过一个定点 B 存在定点P不在M中的任一条直线上 C 对于任意整数 3 n n 存在正n边形 其所有边均在M中的直线上 D M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 写出所有真命题的代号 解析 因为cos 2 sin1xy 所以点 0 2 P到M中每条直线的距离 22 1 1 cossin d 即M为圆C 22 2 1xy 的全体切线组成的集合 从而M中存在两条平行直线 所以 A 错误 又因为 0 2 点不存在任何直线上 所以 B 正确 对任意3n 存在正n边形使其内切圆为圆C 故C正确 M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF 故 D 错误 故命题中正确的序号是 B C 答案 B C 例 8 江西理 江西理 16 设直线系 cos 2 sin1 02 M xy 对于下列四个命题 A M中所有直线均经过一个定点 B 存在定点P不在M中的任一条直线上 C 对于任意整数 3 n n 存在正n边形 其所有边均在M中的直线上 用心 爱心 专心 8 D M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 写出所有真命题的代号 解析 因为cos 2 sin1xy 所以点 0 2 P到M中每条直线的距离 22 1 1 cossin d 即M为圆C 22 2 1xy 的全体切线组成的集合 从而M中存在两条平行直线 所以 A 错误 又因为 0 2 点不存在任何直线上 所以 B 正确 对任意3n 存在正n边形使其内切圆为圆C 故C正确 M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF 故 D 错误 故命题中正确的序号是 B C 答案 B C 例 9 江西理 江西理 16 设直线系 cos 2 sin1 02 M xy 对于下列四个命题 A M中所有直线均经过一个定点 B 存在定点P不在M中的任一条直线上 C 对于任意整数 3 n n 存在正n边形 其所有边均在M中的直线上 D M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 写出所有真命题的代号 解析 因为cos 2 sin1xy 所以点 0 2 P到M中每条直线的距离 22 1 1 cossin d 即M为圆C 22 2 1xy 的全体切线组成的集合 从而M中存在两条平行直线 所以 A 错误 又因为 0 2 点不存在任何直线上 所以 B 正确 对任意3n 存在正n边形使其内切圆为圆C 故C正确 M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF 故 D 错误 故命题中正确的序号是 B C 用心 爱心 专心 9 答案 B C 例 10 已知函数 f x x2 1 x 1 的图像为 C1 曲线 C2与 C1关于直线 y x 对称 1 求曲线 C2的方程 y g x 2 设函数 y g x 的定义域为 M x1 x2 M 且 x1 x2 求证 g x1 g x2 x1 x2 3 设 A B 为曲线 C2上任意不同两点 证明直线 AB 与直线 y x 必相交 解析 1 曲线 C1和 C2关于直线 y x 对称 则 g x 为 f x 的反函数 y x2 1 x2 y 1 又 x 1 x 1 y 则曲线 C2的方程为 g x 1 x x 0 2 设 x1 x2 M 且 x1 x2 则 x1 x2 0 又 x1 0 x2 0 g x1 g x2 1 1 x 1 2 x 11 21 21 xx xx 2 21 xx x1 x2 3 设 A x1 y1 B x2 y2 为曲线 C2上任意不同两点 x1 x2 M 且 x1 x2 由 2 知 kAB 21 21 xx yy 21 21 xx xgxg 1 直线 AB 的斜率 kAB 1 又直线 y x 的斜率为 1 直线 AB 与直线 y x 必相交 点评 曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入 手来处理 最终转化为点的坐标之间的对应关系 题型 6 轨迹问题 例 11 已知动圆过定点 0 2 p 且与直线 2 p x 相切 其中0p I 求动圆圆心C的轨迹的方程 II 设 A B 是轨迹C上异于原点O的两个不同点 直 线OA和OB的倾斜角分别为 和 当 变化且 为定值 0 时 证明直 线AB恒过定点 并求出该定点的坐标 解析 I 如图 设M为动圆圆心 0 2 p 为记为F 过点M作直线 2 p x 的垂 线 垂足为N 由题意知 MFMN 即动点M到定点F与定直线 2 p x 的距离相等 由抛物线的定义知 点M的轨迹为抛物线 其中 0 2 p F 为焦点 2 p x 为准线 所以 轨迹方程为 2 2 0 ypx P y A x o B 0 2 p F M N 2 p x 用心 爱心 专心 10 II 如图 设 1122 A x yB xy 由题意得 12 xx 否则 且 12 0 x x 所以直线AB的斜率存在 设其方程为ykxb 显然 22 12 12 22 yy xx pp 将 ykxb 与 2 2 0 ypx P 联立消去x 得 2 220kypypb 由韦达定理知 1212 22 ppb yyyy kk 1 当 2 时 即 2 时 tantan1 所以 12 1212 12 1 0 yy x xy y xx 22 12 12 2 0 4 y y y y p 所以 2 12 4y yp 由 知 2 2 4 pb p k 所以 因此直线AB的方程可表示为 2ykxPk 即 2 0k xPy 所以直线AB恒过定点 2 0p 2 当 2 时 由 得tantan tantan 1tantan 12 2 12 2 4 p yy y yp 将 式代入上式整理化简可得 2 tan 2 p bpk 所以 2 2 tan p bpk 此时 直线AB的方程可表示为ykx 2 2 tan p pk 即 2 2 0 tan p k xpy 所以直线AB恒过定点 2 2 tan p p 所以由 1 2 知 当 2 时 直线AB恒过定点 2 0p 当 2 时直线AB恒 过定点 2 2 tan p p 点评 该题是圆与圆锥曲线交汇题目 考察了轨迹问题 属于难度较大的综合题目 例 12 如图 圆 1 O与圆 2 O的半径都是 1 12 4O O 过动点P分别作圆 2 O 圆 2 O的切线 PM PN M N 分别为切点 使得2PMPN 试建立适当的坐标系 并求动点P的轨迹方程 N M P 用心 爱心 专心 11 解析 以 12 O O的中点O为原点 12 O O所在直线为 x轴 建立如图所示的平面直角坐标 系 则 1 2 0 O 2 2 0 O 由已知2PMPN 得 22 2PMPN 因为两圆半径均为 1 所以 22 12 12 1 POPO 设 P x y 则 2222 2 12 2 1 xyxy 即 22 6 33xy 或 22 1230 xyx 点评 本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力 题型 7 课标创新题 例 13 已知实数 x y 满足1 1 2 22 yx 求 x y z 1 的最大值与最小值 解析 x y1 表示过点 A 0 1 和圆 1 1 2 22 yx 上的动点 x y 的直线的斜率 如下图 当且仅当直线与圆相切时 直线的斜率分别 取得最大值和最小值 设切线方程为1 kxy 即01 ykx 则 1 1 22 2 k k 解得 3 74 k 因此 3 74 3 74 minmax zz 点评 直线知识是解析几何的基础知识 灵活运用直线知识解题具有构思巧妙 直观性 强等特点 对启迪思维大有裨益 下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用 例 14 设双曲线xy 1的两支分别为CC 12 正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上 若 P 11 在C2上 Q R 在C1上 求顶点 Q R 的坐标 分析 正三角形 PQR 中 有PQPRQR 则以 P 11 为圆心 PR为半 用心 爱心 专心 12 径的圆与双曲线交于 R Q 两点 根据两曲线方程可求出交点 Q R 坐标 解析 设以 P 为圆心 PRr r 0为半径的圆的方程为 xyr 11 22 2 由 xyr xy 11 1 22 2 得 xrx 22 1110 其中 可令 tx x 1 进行换元解之 设 Q R 两点的坐标分别为 xyxy 1122 则 xxr x x 12 2 12 11 1 即 xxxxx xr 12 2 12 2 12 2 2 4114 同理可得 yyr 12 2 2 2 114 且因为 PQR 是正三角形 则 2 22 rQRPQ 即 rxxyyr 2 12 2 12 2 2 2 2114 得r224 代入方程 xrx 22 1110 即xx 2 410 由方程组 xx xy 2 410 1 得 x y 1 1 23 23 或 x y 2 2 23 23 所以 所求 Q R 的坐标分别为 23232323 点评 圆是最简单的二次曲线 它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用 对一 些数学问题 若能作一个辅助圆 可以沟通题设与结论之间的关系 从而使问题得解 起到 铺路搭桥的作用 五 五 思维总结思维总结 1 关于直线对称问题 1 关于 l Ax By C 0 对称问题 不论点 直线与曲线关于 l 对称问题总可以 转化为点关于 l 对称问题 因为对称是由平分与垂直两部分组成 如求 P x0 y0 关于 l Ax By C 0 对称点 Q x1 y1 有 10 10 xx yy B A 1 与 A 2 10 xx B 2 10 yy C 0 2 解出 x1 与 y1 若求 C1 曲线 f x y 0 包括直线 关于 l Ax By C1 0 对称的曲线 C2 由上面的 1 2 中求出 x0 g1 x1 y1 与 y0 g2 x1 y1 用心 爱心 专心 13 然后代入 C1 f g1 x1 y1 g2 x2 y2 0 就得到关于 l 对称的曲线 C2 方程 f g1 x y g2 x y 0 3 若 l Ax By C 0 中的 x y 项系数 A 1 B 1 就可以用直接代入 解之 尤其是选择填空题 如曲线 C1 y2 4 x 2 关于 l x y 4 0 对称的曲线 l2 的方程为 x 4 2 4 y 4 2 即 y 用 x 4 代 x 用 y 4 代 这样就比较简单 了 4 解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决 点与圆位置关系 P x0 y0 和圆 C x a 2 y b 2