2012中考数学压轴题 二次函数动点问题（一）VIP

1 20122012 中考数学压轴题选讲 一 中考数学压轴题选讲 一 1 如图 抛物线经过 A 3 0 B 0 4 C 4 0 三点 1 求抛物线的解析式 2 已知 AD AB D 在线段 AC 上 有一动点 P 从点 A 沿线段 AC 以每秒 1 个单位长度的速度移动 同时另一个动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动 经过 t 秒的移动 线段 PQ 被 BD 垂直平分 求 t 的值 3 在 2 的情况下 抛物线的对称轴上是否存在一点 M 使 MQ MC 的值最小 若存在 请求出点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 注 抛物线 2 yaxbxc 的对称轴为 2 b x a 解 设抛物线的解析式为 2 0 yaxbxca 依题意得 c 4 且 9340 16440 ab ab 解得 1 3 1 3 a b 所以 所求的抛物线的解析式为 2 11 4 33 yxx 2 连接 DQ 在 Rt AOB 中 2222 345ABAOBO 所以 AD AB 5 AC AD CD 3 4 7 CD AC AD 7 5 2 因为 BD 垂直平分 PQ 所以 PD QD PQ BD 所以 PDB QDB 因为 AD AB 所以 ABD ADB ABD QDB 所以 DQ AB 所以 CQD CBA CDQ CAB 所以 CDQ CAB DQCD ABCA 即 210 577 DQ DQ 2 所以 AP AD DP AD DQ 5 10 7 25 7 2525 1 77 t 所以 t 的值是 25 7 3 答对称轴上存在一点 M 使 MQ MC 的值最小 理由 因为抛物线的对称轴为 1 22 b x a 所以 A 3 0 C 4 0 两点关于直线 1 2 x 对称连接 AQ 交直线 1 2 x 于点 M 则 MQ MC 的值最小过点 Q 作 QE x 轴 于 E 所以 QED BOA 90 DQ AB BAO QDE DQE ABO QEDQDE BOABAO 即 10 7 453 QEDE 所以 QE 8 7 DE 6 7 所以 OE OD DE 2 6 7 20 7 所以 Q 20 7 8 7 设直线 AQ 的解析式为 0 ykxmk 则 208 77 30 km km 由此得 8 41 24 41 k m 所以直线 AQ 的解析式为 824 4141 yx 联立 1 2 824 4141 x yx 由此得 1 2 824 4141 x yx 所以 M 128 241 则 在对称轴上存在点 M 128 241 使 MQ MC 的值最小 2 如图 9 在平面直角坐标系中 二次函数 0 2 acbxaxy的图象的顶点为 D 点 与 y 轴交于 C 点 与x轴交于 A B 两点 A 点在原点的左侧 B 点的坐标为 3 0 OB OC tan ACO 3 1 1 求这个二次函数的表达式 2 经过 C D 两点的直线 与x轴交于点 E 在该抛物线上是否存在这样的点 F 使以点 A C E F 为顶点的四边形为平行四边形 若存在 请求出点 F 的坐标 若不存在 请说明理由 3 3 如图 10 若点 G 2 y 是该抛物线上一点 点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点 当点 P 运动 到什么位置时 APG 的面积最大 求出此时 P 点的坐标和 APG 的最大面积 1 由已知得 C 0 3 A 1 0 1 分 将 A B C 三点的坐标代入得 3 039 0 c cba cba 解得 3 2 1 c b a 所以这个二次函数的表达式为 32 2 xxy 2 存在 F 点的坐标为 2 3 理由 易得 D 1 4 所以直线 CD 的解析式为 3 xy E 点的坐标为 3 0 由 A C E F 四点的坐标得 AE CF 2 AE CF 以 A C E F 为顶点的四边形为平行四边形 存在点 F 坐标为 2 3 3 过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q 易得 G 2 3 直线 AG 为1 xy 设 P x 32 2 xx 则 Q x x 1 PQ2 2 xx 3 2 2 1 2 xxSSS GPQAPQAPG 4 当 2 1 x时 APG 的面积最大 此时 P 点的坐标为 4 15 2 1 8 27 的最大值为 APG S 3 如图 已知抛物线与 x 轴交于 A 1 0 B 3 0 两点 与 y 轴交于点 C 0 3 求抛物线的解析式 设抛物线的顶点为 D 在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 P 使得 PDC 是等腰三角形 若存在 求 出符合条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 若点 M 是抛物线上一点 以 B C D M 为顶点的四边形是直角梯形 试求出点 M 的坐标 解析 抛物线与 y 轴交于点 C 0 3 设抛物线解析式为 根据题意 得 解得 0 3 2 abxaxy 0339 03 ba ba 2 1 b a 抛物线的解析式为32 2 xxy 存在 由得 D 点坐标为 1 4 对称轴为 x 1 32 2 xxy 若以 CD 为底边 则 PD PC 设 P 点坐标为 x y 根据勾股定理 得 即 y 4 x 2222 4 1 3 yxyx 又 P 点 x y 在抛物线上 即324 2 xxx013 2 xx 解得 应舍去 2 53 x1 2 53 2 53 x 即点 P 坐标为 2 55 4 xy 2 55 2 53 若以 CD 为一腰 因为点 P 在对称轴右侧的抛物线上 由抛物线对称性知 点 P 与点 C 关于直线 x 1 对称 此时点 P 坐标为 2 3 5 符合条件的点 P 坐标为或 2 3 2 55 2 53 由 B 3 0 C 0 3 D 1 4 根据勾股定理 得 CB CD BD BCD 90 2325220 222 BDCDCB 设对称轴交 x 轴于点 E 过 C 作 CM DE 交抛物线于点 M 垂足为 F 在 Rt DCF 中 CF DF 1 CDF 45 由抛物线对称性可知 CDM 2 45 90 点坐标 M 为 2 3 DM BC 四边形 BCDM 为直角梯形 由 BCD 90 及题意可知 以 BC 为一底时 顶点 M 在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况 以 CD 为一底或以 BD 为一底 且顶点 M 在抛物线上的直角梯形均不存在 综上所述 符合条件的点 M 的坐标为 2 3 4 已知 抛物线y ax2 bx c与x轴交于A B两点 与y轴交于点C 其中点B在x轴的正半轴上 点C 在y轴的正半轴上 线段OB OC的长 OB OC 是方程x2 10 x 16 0 的两个根 且抛物线的对称轴是直线 x 2 1 求A B C三点的坐标 2 求此抛物线的表达式 3 求 ABC 的面积 4 若点E是线段AB上的一个动点 与点A 点B不重合 过点E作EF AC交BC于点F 连接 CE 设AE的长为m CEF的面积为S 求S与m之间的函数关系式 并写出自变量m的取值范围 5 在 4 的基础上试说明S是否存在最大值 若存在 请求出S的最大值 并求出此时点E的坐标 判断此时 BCE的形状 若不存在 请说明理由 6 解 1 解方程x2 10 x 16 0 得x1 2 x2 8 点B在x轴的正半轴上 点C在y轴的正半轴上 且OB OC 点B的坐标为 2 0 点C的坐标为 0 8 又 抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线x 2 由抛物线的对称性可得点A的坐标为 6 0 A B C 三点的坐标分别是 A 6 0 B 2 0 C 0 8 2 点C 0 8 在抛物线y ax2 bx c的图象上 c 8 将A 6 0 B 2 0 代入表达式y ax2 bx 8 得 Error 解得Error 所求抛物线的表达式为y x2 x 8 2 3 8 3 3 AB 8 OC 8 S ABC 8 8 32 1 2 4 依题意 AE m 则BE 8 m OA 6 OC 8 AC 10 EF AC BEF BAC 即 EF EF AC BE AB EF 10 8 m 8 40 5m 4 过点F作FG AB 垂足为G 则 sin FEG sin CAB 4 5 FG 8 m FG EF 4 5 4 5 40 5m 4 S S BCE S BFE 8 m 8 8 m 8 m 1 2 1 2 8 m 8 8 m 8 m m m2 4m 1 2 1 2 1 2 7 自变量m的取值范围是 0 m 8 5 存在 理由 S m2 4m m 4 2 8 且 0 1 2 1 2 1 2 当m 4 时 S有最大值 S最大值 最大值 8 m 4 点E的坐标为 2 0 BCE 为等腰三角形 5 已知抛物线baxaxy 2 2 与x轴的一个交点为 A 1 0 与 y 轴的正半轴交于点 C 直接写出抛物线的对称轴 及抛物线与x轴的另一个交点 B 的坐标 当点 C 在以 AB 为直径的 P 上时 求抛物线的解析式 坐标平面内是否存在点M 使得以点 M 和 中抛物线上的三点 A B C 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请求出点M的坐标 若不存在 请说明理由 解 对称轴是直线 1 x 点 B 的坐标是 3 0 说明 每写对 1 个给 1 分 直线 两字没写不扣分 如图 连接 PC 点 A B 的坐标分别是 A 1 0 B 3 0 AB 4 ABPC24 2 1 2 1 在 Rt POC 中 OP PA OA 2 1 1 POPCOC312 2222 b 3 当01 yx时 aa032 a 3 3 xxy3 3 32 3 3 2 存在 理由 如图 连接 AC BC 设点 M 的坐标为 yxM 当以 AC 或 BC 为对角线时 点 M 在 x 轴上方 此时 CM AB 且 CM AB 8 由 知 AB 4 x 4 3 OCy x 4 点 M 的坐标为 3 4 3 4 或M 当以 AB 为对角线时 点 M 在 x 轴下方 过 M 作 MN AB 于 N 则 MNB AOC 90 四边形 AMBC 是平行四边形 AC MB 且 AC MB CAO MBN AOC BNM BN AO 1 MN CO 3 OB 3 0N 3 1 2 点 M 的坐标为 2 3 M 综上所述 坐标平面内存在点M 使得以点 A B C M 为顶点的四边形是平行四边形 其坐标为 123 4 3 4 3 2 3 MMM 说明 求点 M 的坐标时 用解直角三角形的方法或用先求直线解析 式 然后求交点 M 的坐标的方法均可 请参照给分 20122012 中考数学压轴题选讲 一 中考数学压轴题选讲 一 1 如图 抛物线经过 A 3 0 B 0 4 C 4 0 三点 1 求抛物线的解析式 9 2 已知 AD AB D 在线段 AC 上 有一动点 P 从点 A 沿线段 AC 以每秒 1 个单位长度的速度移动 同时另一个动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动 经过 t 秒的移动 线段 PQ 被 BD 垂直平分 求 t 的值 3 在 2 的情况下 抛物线的对称轴上是否存在一点 M 使 MQ MC 的值最小 若存在 请求出点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 注 抛物线 2 yaxbxc 的对称轴为 2 b x a 2 如图 9 在平面直角坐标系中 二次函数 0 2 acbxaxy的图象的顶点为 D 点 与 y 轴交于 C 点 与x轴交于 A B 两点 A 点在原点的左侧 B 点的坐标为 3 0 OB OC tan ACO 3 1 10 1 求这个二次函数的表达式 2 经过 C D 两点的直线 与x轴交于点 E 在该抛物线上是否存在这样的点 F 使以点 A C E F 为顶点的四边形为平行四边形 若存在 请求出点 F 的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 10 若点 G 2 y 是该抛物线上一点 点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点 当点 P 运动 到什么位置时 APG 的面积最大 求出此时 P 点的坐标和 APG 的最大面积 3 如图 已知抛物线与 x 轴交于 A 1 0 B 3 0 两点 与 y 轴交于点 C 0 3 求抛物线的解析式 11 设抛物线的顶点为 D 在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 P 使得 PDC 是等腰三角形 若存在 求 出符合条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 若点 M 是抛物线上一点 以 B C D M 为顶点的四边形是直角梯形 试求出点 M 的坐标 4 已知 抛物线y ax2 bx c与x轴交于A B两点 与y轴交于点C 其中点B在x轴的正半轴上 点C 在y轴的正半轴上 线段OB OC的长 OB OC 是方程x2 10 x 16 0 的两个根 且抛物线的对称轴是直线 x 2 12 1 求A B C三点的坐标 2 求此抛物线的表达式 3 求 ABC 的面积 4 若点E是线段AB上的一个动点 与点A 点B不重合 过点E作EF AC交BC于点F 连接 CE 设AE的长为m CEF的面积为S