2012年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷含答案）

1 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 广东卷 含答案 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 广东卷 含答案 本试卷共 4 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 合题目要求的 1 设 为虚数单位 则复数i 34i i A B C D 43i 43i 43i 43i 2 设集合 则 1 2 3 4 5 6U 1 3 5M U C M A B C D 2 4 6 1 3 5 1 2 4U 3 若向量 则 1 2 3 4 ABBC AC A B C D 4 6 4 6 2 2 2 2 4 下列函数为偶函数的是 A B C D sinyx 3 yx x ye 2 ln1yx 5 已知变量满足约束条件则的最小值为 x y 1 1 10 xy xy x 2zxy A B C D315 6 6 在中 若 则ABC 60A 45B 3 2BC AC A B C D 4 32 33 3 2 7 某几何体的三视图如图 1 所示 它的体积为 A B C D 72 48 30 24 8 在平面直角坐标系中 直线与圆相交xOy3450 xy 22 4xy 于 两点 则弦的长等于 ABAB A B C D 3 32 331 9 执行如图 2 所示的程序框图 若输入的值为 6 则输出的值为 ns A B C D 10516151 10 对任意两个非零的平面向量 定义 若平面向量满足 a b 0ab 2 与的夹角 且和都在集合中 则 a b 0 4 2 n nZ a b A B C D 5 2 3 21 1 2 选择题参考答案 选择题参考答案 1 51 5 BAADCBAADC 6 106 10 BCBCDBCBCD 第第 1010 解析 解析 由定义知 由定义知 2 cos2 1cos 2 cos 1 cos2 2 cos 2 n nb an bb ba bb ba ba nb an aa ab aa ab ab 代入得 将 因为 取 n 取 1 即可得答案 2 4 3 2 1 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 考生小题 考生作答作答 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 2020分分 一 必做题 一 必做题 1111 1313 题 题 11 函数的定义域为 x x y 1 12 若等比数列满足 则 n a 2 1 42 aa 5 2 31 aaa 13 由整数组成的一组数据其平均数和中位数都是 2 且标准差等于 1 则这组数据位 4321 xxxx 从小到大排列 二 选做题 二 选做题 1414 1515 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题 在平面直角坐标系中中 曲线和曲线的xoy 1 C 2 C 参数方程分别为 为参数 和 为参数 则曲线和曲线 sin5 cos5 y x 2 0 2 2 2 2 1 t y t x t 1 C 的交点坐标为 2 C 15 几何证明选讲选做题 3 如图 3 直线 PB 与圆相切与点 B D 是弦 AC 上的点 若 则 AB ODBAPBA ADm ACn 填空题答案 1212 注意 写成集合形式也给分 注意 写成集合形式也给分 0 0 1 0 01 xxx 13 13 4 1 14 14 1 1 1 1 3 3 3 3 15 15 参数方程极坐标 参数方程极坐标 1 2 2 1 几何证明选做题 几何证明选做题 mn 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数 且 64 cos x AxfRx 2 3 f 1 求的值 A 2 设 求的值 2 0 17 30 3 4 4 f 5 8 3 2 4 f cos 解 分 分 分 42 32 2 2 4 cos 1 634 1 cos 3 A AA Af 图 3 O A B C PD 4 2 分 分 分 分 由于 分 分 分 分 12 85 13 5 3 17 15 5 4 17 8 11sinsincoscos cos 10 5 3 5 4 1cos1sin 9 17 8 17 15 1sin1cos 2 0 8 5 4 cos 5 8 cos2 6 3 2 4 4 1 cos 2 3 2 4 7 17 15 sin 6 17 30 sin2 5 2 cos 2 6 3 4 4 4 1 cos 2 3 4 4 22 22 f f 17 本小题满分 13 分 某学校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示 其中成绩分组区间是 60 50 70 60 80 70 90 80 100 90 1 求图中 a 的值 2 根据频率分布直方图 估计这 100 名学生语文成绩的平均分 5 3 若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数 x y 之比如下表所示 求数学成绩在之外的人数 90 50 分数段 60 50 70 60 80 70 90 80 x y1 12 13 44 5 解 1 分 分 3005 0 21 02 0 03 0 04 0 10 a aa 2 50 60 段语文成绩的人数为 3 5 分 人5100 100005 0 10 60 70 段语文成绩的人数为 4 分 人40100 10004 0 10 70 80 段语文成绩的人数为 人30100 10003 0 10 80 90 段语文成绩的人数为 分人520100 10002 0 10 90 100 段语文成绩的人数为 5 55100 100005 0 10 人 分873 5 7 100 595208530754065555 x 3 依题意 50 60 段数学成绩的人数 50 60 段语文成绩的人数为 5 人 9 分 60 70 段数学成绩的的人数为 50 60 段语文成绩的人数的一半 10 分人2040 2 1 70 80 段数学成绩的的人数为 11 分人4030 3 4 80 90 段数学成绩的的人数为 12 分人2520 4 5 6 90 100 段数学成绩的的人数为 13 分人102540205100 18 本小题满分 13 分 如图 5 所示 在四棱锥 P ABCD 中 AB平面 PAD ABCD PD AD E 是 PB 的中点 F 是 DC 上的点且 DF AB PH 为PAD 中 AD 边上的高 2 1 1 证明 PH平面 ABCD 2 若 PH 1 AD FC 1 求三棱锥 E BCF 的体积 2 3 证明 EF平面 PAB 解 1 ABCDPH PAD PADAB PAD 平面所以 平面 面又 中的高为 AADAB ABPH PH ADPH PH 4 分 2 过 B 点做 BG GCDBG 垂足为 连接 HB 取 HB 中点 M 连接 EM 则 EM 是的中位线BPH ABCD 1 平面知 由 PH ABCD平面 EM BCF平面 即 EM 为三棱锥底面上的高 BCF E 6 分 BGFC 2 1 S BCF 2 2 21 2 1 8 分 3 取 AB 中点 N PA 中点 Q 连接 EN FN EQ DQ 2 1 2 1 PH 12 2 2 1 2 2 3 1 3 1 EMSV BCFBCFE 7 NFNEN FNAB NADF AB 2 1 DF EN PABEN PAD PADAB PAD 是距形四边形 又 的中位线是又 平面 平面 平面 ENAB PA PAAB PA CDCDAB 13 分 19 本小题满分 14 分 设数列的前项和 数列的前项和为 满足 n an n s n sn n T 2 2 nn TSn nN 1 求的值 1 a 2 求数列的通项公式 n a 解 1 3 分 2 11 12 aa 5 分1 1 a 2 6 分 得 7 分122 naS nn 在向后类推一次 8 分1 1 22 11 naS nn 得 9 分222 1 nnn aaa NEFAB NNENF NFAB NADF ABEF NEFEF NEFAB 平面 是距形四边形 平面又 平面 2 2nST nn 2 11 1 2 nST nn 8 10 分22 1 nn aa 12 分 2 22 1 nn aa 13 分的数列公比为是以首项为2 32 2 1 aan 1 232 n n a 14 分223 1 n n a 20 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系中 已知椭圆的左焦点为 且点在xOy 22 1 22 1 0 xy Cab ab 1 1 0 F 0 1 P 上 1 C 1 求椭圆的方程 1 C 2 设直线 与椭圆和抛物线相切 求直线 的方程 l 1 C 2 2 4Cyx l 解 1 依题意 c 1 1 分 则 2 分1 22 ba 设椭圆方程为 3 分 1 1 2 2 2 2 b y b x 将点坐标代入 解得 4 分 1 0 P 1 2 b 所以 2111 22 ba 故椭圆方程为 5 分 1 2 2 2 y x 2 设所求切线的方程为 6 分mkxy 1 2 2 2 y x mkxy 消除 y 7 分 22 12 4 4 222 1 mkkm 化简得 8 分 122 22 km 同理 联立直线方程和抛物线的方程得 0 22 4 12 222 mkmxxk 9 xy mkxy 4 2 消除 y 得 0 42 222 mxkmxk 9 分04 42 222 2 mkkm 化简得 10 分 1 km 将 代入 解得 012 24 kk 解得 1 1 2 1 1 22 kkkk或者舍去 故 12 分 11 11 mkmk时 当时 当 故切线方程为 14 分11 xyxy或者 21 本小题满分 14 分 设 集合 01a 0AxR x 2 23 1 60AxRxa xa DAB 1 求集合 用区间表示 D 2 求函数在内的极值点 32 23 1 6f xxa xax D 解 1 集合 B 解集 令06 1 32 2 axax aa624 1 3 2 3 13 3 aa 1 当时 即 B 的解集为 0 时1 3 1 a Rxx 此时 0 xRxABAD 2 当 3 3 1 0舍去时 解得 aa 此时 集合 B 的二次不等式为 0242 2 xx 此时 B 的解集为 0 1 2 x 1 xRx且 故 1 1 0 BAD 10 3 当即时 0 舍去 3 3 1 0 aa 此时方程的两个根分别为 4 3 31 3 13 1 aaa x 2 x 4 3 31 3 13aaa 很明显 0 3 1 0 12 xxa时 故此时的 4 3 31 3 13 4 3 31 3 13 0 0 21 aaaaaa xx BAD 综上所述 当 D 3 1 0时a 4 3 31 3 13 4 3 31 3 13 0 aaaaaa 当时 3 1 a 1 1 0 BAD 当 时1 3 1 a 0 xRxD 2 极值点 即导函数的值为 0 的点 0 x f 即06 1 66 2 axaxxf0 1 2 axax 0 1 xax 此时方程的两个根为 1 2 1 x ax 当 D 3 1 0时a 0 21 xx 4 3 31 3 13 4 3 31 3 13 0 aaaaaa D 即 11 ax aa a aa aaa aaa ax 1 2 1 0 3 8 3 1 0 3 8 3 31 3 3 4 3 31 33 将分子做差比较 故当 3 32 aaaax 值点为 时 可以取到极值 极 1 1 x 4 3 31 3 1 3 1 4 3 31 3 13aaaaaa 分子做差比较 所以1 1 x 又 1 2 x1 4 3 31 3 13 aaa 4 31 3 31 3aaa 分子做差比较法 0 31