江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 数论初步—数的整除性

1 江苏省金湖县实验中学高中数学江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导奥赛辅导 数论初步数论初步 数的整除性数的整除性 整数的整除性 定义 设 a b 为二整数 且 b 如果有一整数 c 使 a bc 则称 b 是 a 的约数 a 是 b 的倍数 又称 b 整除 a 记作 b a 显然 能整除任意整数 任意整数都能整除 性质 设 a b c 均为非零整数 则 若 c b b a 则 c a 若 b a 则 bc ac 若 c a c b 则对任意整数 m n 有 c ma nb 若 b ac 且 a b 1 则 b c 证明 因为 a b 1 则存在两个整数 s t 使得 as bt 1 asc btc c b ac b asc b asc btc b c 若 a b 1 且 a c b c 则 ab c 证明 a c 则 c as s Z 又 b c 则 c bt t Z 又 a b 1 s bt t Z 于是 c abt 即 ab c 若 b ac 而 b 为质数 则 b a 或 b c a b an bn n N a b an bn n 为奇数 整除的判别法 设整数 N 121n1 aaaa 2 a12 N 5 a1 5 N 3 a1 a2 an 3 N 9 a1 a2 an 9 N 4 4 N 12a a 25 25 N 12a a 8 8 N 123 aaa 125 125 N 123 aaa 7 7 N 41nn aaa 123 aaa 11 11 N 41nn aaa 123 aaa 2 11 a2n 1 a2n 1 a1 a2n a2n 2 a2 11 N 13 13 N 41nn aaa 123 aaa 推论 三个连续的整数的积能被 整除 例题 1 设一个五位数 其中 d b 3 试问 a c 为何值时 这个五位数被 11 整除 dacba 解 11 dacba 11 a c d b a 即 11 c 3 c 8 1 a 9 且 a Z 2 设 72 试求 a b 的值 b673a 解 72 8 9 且 8 9 1 8 且 9 b673ab673a 8 b 6b73 且 9 a 6 7 3 6 即 9 22 a a 5 3 设 n 为自然数 A 3237n 632n 855n 235n 求证 1985 A 证明 1985 397 5 A 3237n 632n 855n 235n 3237 632 u 855 235 v u v Z 5 521 u 5 124 v 5 A 又 A 3237n 855n 623n 235n 3237 855 s 623 235 t s t Z 397 6 s 397 t 397 A 又 397 5 1 397 5 A 即 1985 A 4 证明 没有 x y 存在 使等式 x2 y2 1995 x y Z 成立 证 假设有整数 x y 存在 使 x2 y2 1995 成立 x2 y2被 除余数为 或 x2 y2被 除余数为 或 又 1995 被 除余数为 得出矛盾 假设不成立 3 故没有整数 x y 存在 使 x2 y2 1995 成立 费马小定理 若 p 是素数 m p 1 则 p mp 1 1 5 试证 999 9 能被 13 整除 12 个 证明 10 1 9 100 1 99 1012 1 999 9 12 个 又 10 13 1 13 1013 1 1 即 13 1012 1 13 999 9 12 个 6 请确定最小的正整数 A 其末位数是 6 若将未位的 6 移至首位 其余数字不变 其值变 为原数的 4 倍 解 设该数为 A 其中 a1 6 12n1nn aaaa 令 x 22n1nn aaaa 则 A x 10 66x 于是 4A 6 10n 1 xx6 即有 4 10 x 24 6 10n 1 x x 13 410 2 1n 2 13 1 x 是整数 13 10n 1 4 n 1 2 时 10n 1 4 10 显然不满足条件 n 3 时 10n 1 4 96 不满足条件 n 4 时 10n 1 4 996 不满足条件 n 5 时 10n 1 4 9996 不满足条件 n 6 时 10n 1 4 99996 满足条件 x 15384 13 999962 即 A 153846 7 一个正整数 如果用 进制表示为 如果用 进制表示为 请用 10 进制表示这个数 abccba 解 由题意知 0 a c 4 0 b 4 设这个正整数为 n 则 n a 72 b 7 c n c 52 b 5 aabccba 49a 7b c 25c 5b a 48a 2b 24c 0 b 12 c 2a 12 b 4 又 0 b 4 b 0 c 2a 当 a 1 c 2 时 n 51 当 a 2 c 4 时 n 102 练习 1 证明 设 N 19881988 19861986 则 1987 N 2 设 n 是自然数 求证 n5 n 可被 30 整除 3 请确定最小的正整数 A 其末位数为 2 若将末位数 2 移至首位