直接、间接证明与数学归纳法

教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center 第 1 页 共 8 页 姓名姓名学生姓名学生姓名填写时间填写时间 学科学科数学年级年级教材版本教材版本人教版 阶段阶段第 第 周 周 观察期 观察期 维护期维护期 课题课题 名称名称 直接 间接证明与数学归纳直接 间接证明与数学归纳 法法 课时计划课时计划 第 第 课时 课时 共 共 课时 课时 上课时间上课时间 教学教学 目标目标 分析法和综合法在证明方法中都占有重要地位 是解决数学问题的重要思想方法 当所证 命题的结论与所给条件间联系不明确 常常采用分析法证明 当所证的命题与相应定义 定 理 公理有直接联系时 常常采用综合法证明 在解决问题时 常常把分析法和综合法结合 起来使用 教学教学 重点重点 反证法解题的实质是否定结论导出矛盾 从而说明原结论正确 在否定结论时 其反面要找 对 找全 教学教学 难点难点 它适合证明 存在性问题 唯一性问题 带有 至少有一个 或 至多有一个 等字样的 数学问题 教学教学 过程过程 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 知识要点梳理知识要点梳理 直接证明直接证明 1 综合法 综合法 1 定义 一般地 从命题的已知条件出发 利用公理 已知的定义及定理等 经过一系列的推理 论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 2 综合法的的基本思路 执因索果 综合法又叫 顺推证法 或 由因导果法 它是从已知条件和某些学过的定义 公理 公式 定理等出发 通过推导得出结论 3 综合法的思维框图 用表示已知条件 为定义 定理 公理等 表示所要 证明的结论 则综合法可用框图表示为 已知 逐步推导结论成立的必要条件 结论 2 分析法 分析法 1 定义 一般地 从需要证明的命题出发 分析使这个命题成立的充分条件 逐步寻找使命题成 立的充分条件 直至所寻求的充分条件显然成立 已知条件 定理 定义 公理等 或由 已知证明成立 从而确定所证的命题成立的一种证明方法 叫做分析法 2 分析法的基本思路 执果索因 分析法又叫 逆推证法 或 执果索因法 它是从要证明的结论出发 分析使之成立 的条件 即寻求使每一步成立的充分条件 直到最后 把要证明的结论归结为判定一个明显 成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center 第 2 页 共 8 页 3 分析法的思维框图 用表示已知条件和已有的定义 公理 公式 定理等 所要证明的 结论 则用分析法证明可用框图表示为 结论 逐步寻找使结论成立的充分条件 已知 4 分析法的格式 要证 只需证 只需证 因为 成立 所以原不 等式得证 间接证明间接证明 反证法反证法 1 定义 一般地 首先假设要证明的命题结论不正确 即结论的反面成立 然后利用公理 已知 的定义 定理 命题的条件逐步分析 得到和命题的条件或公理 定理 定义及明显成立的 事实等矛盾的结论 以此说明假设的结论不成立 从而证明了原命题成立 这样的证明方法 叫做反证法 2 反证法的特点 反证法是间接证明的一种基本方法 它是先假设要证的命题不成立 即结论的反面成立 在已知条件和 假设 这个新条件下 通过逻辑推理 得出与定义 公理 定理 已知条件 临时假设等相矛盾的结论 从而判定结论的反面不能成立 即证明了命题的结论一定是正确 的 3 反证法的基本思路 假设 矛盾 肯定 分清命题的条件和结论 做出与命题结论相矛盾的假设 由假设出发 结合已知条件 应用演绎推理方法 推出矛盾的结果 断定产生矛盾结果的原因 在于开始所做的假定不真 于是原结论成立 从而 间接地证明原命 题为真 4 用反证法证明命题 若则 它的全部过程和逻辑根据可以表示为 5 反证法的优点 对原结论否定的假定的提出 相当于增加了一个已知条件 数学归纳法数学归纳法 1 1 证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下 1 证明当取第一个值 0 n时结论正确 n 2 假设当 N 0 n 时结论正确 证明当 1 时结论也正确 nkkknk 教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center 第 3 页 共 8 页 完成这两个步骤后 就可以断定命题对从 0 n开始的所有正整数都正确 n 这种证明方法叫做数学归纳法 2 2 数学归纳法作为一种证明方法 其基本思想是递推 递归 思想 使用要点可概括为 两 个步骤一结论 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 规律方法指导规律方法指导 1 1 用反证法证明数学命题的一般步骤 用反证法证明数学命题的一般步骤 反设 假设命题的结论不成立 即假定原命题的反面为真 归谬 从反设和已知条件出发 经过一系列正确的逻辑推理 得出矛盾结果 存真 由矛盾结果 断定反设不真 从而肯定原结论成立 经典例题透析经典例题透析 类型一 综合法类型一 综合法 1 如图 设在四面体中 是的中 点 求证 垂直于所在的平面 解析 解析 连 因为是斜边上的中线 所以 又因为 而是 的公共边 所以 于是 而 因此 由此可知垂直于所在的平面 教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center 第 4 页 共 8 页 变式 1 求证 由此可联想到公式 转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式 左边 类型二 分析法类型二 分析法 2 求证 法一 法一 分析法分析法 要证成立 只需证明 两边平方得 所以只需证明 两边平方得 即 恒成立 原不等式得证 教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center 第 5 页 共 8 页 法二 法二 综合法综合法 变式变式 1 求证 答案答案 均为正数 要证成立 只需证明 两边展开得即 所以只需证明即 恒成立 成立 类型三 反证法类型三 反证法 3 设二次函数中的 均为奇数 求证 方程无整数根 证明 证明 假设方程有整数根 则成立 所以 因为为奇数 所以也为奇数 且与都必须为奇数 因为已知 为奇数 又为奇数 所以为偶数 这与为奇数矛盾 所以假设不成立 原命题成立 教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center 第 6 页 共 8 页 变式变式 1 若都为实数 且 求证 中至少有一个大于 0 答案答案 假设都不大于 0 则 所以 又 因为 所以 所以 这与矛盾 所以假设不成立 原命题成立 类型四 数学归纳法类型四 数学归纳法 例例 1 用数学归纳法证明 教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center 第 7 页 共 8 页 变式训练变式训练 1 1 用数学归纳法证明 1 3 5 2n 1 2 n 点评 点评 利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时 要注意三句话 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 例例 2 已知数列根 4321 1323 1 107 1 74 1 41 1 SSSS nn 算 算算 算算 算算 算算 算 算 算 算 算算 算算 算 据计算结果 猜想的表达式 并用数学归纳法进行证明 n S 基础达标练习 基础达标练习 1 若命题 A n n N 在 n k k N 时命题成立 则有 n k 1 时命题成立 现知命题对 n n0 n0 N 时命题成立 则有 A 命题对所有正整数都成立 B 命题对小于 n0的正整数不成立 对大于或等于 n0的正整数都成立 C 命题对小于 n0的正整数成立与否不能确定 对大于或等于 n0的正整数都成立 D 以上说法都不正确 2 在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n n 3 条时 第一步验证 n 等于 1 2 A 1 B 2 C 3 D 0 3 用数学归纳法证明 1 22 1 32 1 n 1 2 1 2 1 n 2 假设n k时 不等式成立 则当n k 1 时 应推证的目标不等式是 1 要证明可选择的方法有以下几种 其中最合理的是 A 综合法 B 分析法 C 反证法 D 归纳法 教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center 第 8 页 共 8 页 2 设 则的大小关系是 A B C D 3 已知函数 则 是大小关系为 A B C D 4 至少有一个负实根的充要条件是 A B C D 或 5 如果都是正数 且 求证 6 已知都是正数 且 求证 7 用反证法证明 如果 那么 教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center 第 9 页 共 8 页 能力提升 能力提升 1 用数学归纳法证明 1 1 时 第一步应验证不等式 1 2 1 3 1 2n 1 A 1 2 B 1 2 C 1 3 D 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 4 2 2011 江西 观察下列各式 55 3125 56 15625 57 78125 则 52011的末四位数字为 A 3125 B 5625 C 0625 D 8125 3 利用数学归纳法证明 n 2 n N N 1 n 1 1 n 2 1 3n 5 6 教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center 第 10 页 共 8 页 8 已知 a b 是正实数 求证 综合探究 综合探究 9 求证 正弦函数没有比小的正周期 本节课教学计划完成情况本节课教学计划完成情况 照常完成 照常