广东省历年中考数学压轴题

1 广东省历年中考数学压轴题 广东省历年中考数学压轴题 1 姓名 姓名 1 2010 年 阅读下列材料 210321 3 1 21 321432 3 1 32 432543 3 1 43 由以上三个等式相加 可得 20543 3 1 433221 读完以上材料 请你计算下各题 1 写出过程 1110433221 2 1 433221nn 3 987543432321 2 2009 年 9 分 小明用下面的方法求出方程的解 请你仿照他的方032 x 法求出下面两个方程的解 并把你的解答过程填写在下面的表格 方 程换元法得新方程解新方程检验求原方程的解 032 x 令tx 则032 t 2 3 t0 2 3 t 2 3 x 所以 4 9 x 032 xx 042 xx 2 3 2010 年 9 分 某学校组织 340 名师生进行长途考察活动 带有行礼 170 件 计划租用甲 乙两种型号的汽车共有 10 辆 经了解 甲车每辆最多能载 40 人和 16 件行李 乙车每辆最多能载 30 人和 20 件行李 请你帮助学校设计所有可行的租车方案 如果甲车的租金为每辆 2000 元 乙车的租金为每辆 1800 元 问哪种可行 方案使租车费用最省 3 A2 A A1 B B1 B2 B3 B4B5 B6 B7 A3 A4 A5 A6 A7 O 广东省历年中考数学压轴题 广东省历年中考数学压轴题 2 姓名 姓名 4 2007 年 9 分 已知等边的边长为 以 AB 边上的高为边 按逆OAB a 1 OA 时针方向作等边 与相交于点 11B OA 11B AOB 2 A 1 求线段的长 2 OA 2 若再以为边按逆时针方向作等边 与相交于点 按 2 OA 22B OA 22B A 1 OB 3 A 此作法进行下去 得到 如图 求 33B OA 44B OA nnB OA 的周长 66B OA 4 C D A O B E 5 2005 年 9 分 如图 已知半圆 O 的直径 AB 4 将一个三角板的直角顶点固 定在圆心 O 上 当三角板绕点 O 转动时 三角板的两条直角边与半圆圆周分 别交于 C D 两点 连接 AD BC 交于点 E 1 求证 ACE BDE 2 求证 BD DE 恒成立 3 设 求的面积与的函数关系式 并写出自变量的取值xBD AEC yxx 范围 5 广东省历年中考数学压轴题 广东省历年中考数学压轴题 3 姓名 姓名 6 2006 年 9 分 如图 在 ABCD 中 点 E F 分别在 0 60 DAB CD AB 的延长线上 且 AE AD CF CB 1 求证 四边形 AFCE 是平行四边形 2 若去掉巳知条件的 上述的结论还成立吗 若成立 请写 0 60 DAB 出证明过程 若不成立 请说明理由 O E D C A B F 6 F H B E C G A D 7 2007 年 9 分 如图 正方形 ABCD 的边长为 两动点 E F 分别从顶点a3 B C 同时开始以相同速度沿 BC CD 运动 与相对应的在运BCF EGH 动过程中始終保持 对应边 EG BC B E C G 在一直线EGH BCF 上 1 若 BE 求 DH 的长 a 2 当 E 点在 BC 边上的什么位置时 的面积取得最小值 并求该三角DHE 形面积的最小值 7 N B M C A D 广东省历年中考数学压轴题 广东省历年中考数学压轴题 4 姓名 姓名 8 2009 年 9 分 正方形 ABCD 的边长为 4 M N 分别是 BC CD 上的两个动 点 当 M 点在 BC 上运动时 保持 AM 和 MN 垂直 1 证明 Rt ABM Rt MCN 2 设 BM x 梯形 ABCN 的面积为 y 求 y 与 x 之 间的函数关系式 当 M 点 运动到什么位置时 四边形 ABCN 面积最大 并求出最大面积 3 当 M 点运动到什么位置时 Rt ABM Rt AMN 求此时 x 的值 8 9 2010 年 如图 1 2 所示 矩形 ABCD 的边长 AB 6 BC 4 点 F 在 DC 上 DF 2 动点 M N 分别从点 D B 同时出发 沿射线 DA 线段 BA 向点 A 的方向运动 点 M 可运动到 DA 的延长线上 当动点 N 运动到 点 A 时 M N 两点同时停止运动 连结 FM MN FN 当 F N M 不在 同一条直线时 可得FMN 过FMN 三边的中点作 PQW 设动点 M N 的速度都是 1 个单位 秒 M N 运动的时间为x秒 试解答下列问题 1 说明FMN QWP 2 设 0 x 4 即 M 从 D 到 A 运动的时间段 试问x为何值时 PQW 为 直角三角形 当x在何范围时 PQW 不为直角三角形 3 问当x为何值时 线段 MN 最短 求此时 MN 的值 B N Q Q W P M D F C A N B 图 1 W P M D F C A 图 2 9 广东省历年中考数学压轴题 广东省历年中考数学压轴题 5 姓名 姓名 10 2008 年 9 分 1 如图 1 点 O 是线段 AD 的中点 分别以 AO 和 DO 为边 在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD 连结 AC 和 BD 相交于点 E 连结 BC 求 AEB 的大小 2 如图 2 固定不动 保持的形状和大小不变 将绕着OAB OCD OCD 点 O 旋转 和不能重叠 求 AEB 的大小 OAB OCD E CB O D A B A O D C E 图 1图 2 10 D C A B Po y x x x 11 2006 年 9 分 如图所示 在平面直角坐标系中 四边形是等腰梯形 OABC BC OA 点为轴上的一个动点 点7 OA4 AB 0 60 COAPx 不与点 点重合 连结 过点作交于点 POACPPPDABD 1 求点的坐标 B 2 当点运动什么位置时 为等腰三角形 求这时点的坐标 POCP P 3 当点运动到什么位置时 使得且 求这时点的POABCPD 8 5 AB BD P 坐标 11 E F B N C A M D 广东省历年中考数学压轴题 广东省历年中考数学压轴题 6 姓名 姓名 12 2005 年 9 分 如图 等腰梯形 ABCD 中 AD BC M N 分别是 AD BC 的中点 E F 分别是 BM CM 的中点 1 求证 四边形 MENF 是菱形 2 若四边形 MENF 是正方形 请探索等腰梯形 ABCD 的高和底边 BC 的数量 关系 并证明你的结论 12 13 2007 年 9 分 如图 图 是一个小朋友玩 滚铁环 的游戏 铁环是 圆形的 铁环向前滚动时 铁环钩保持与铁环相切 将这个游戏抽象为数学 问题 如图 已知铁环的半径为 5 个单位 每个单位为 5cm 设铁环中心 为 O 铁环钩与铁环相切点为 M 铁环与地面接触点为 A MOA 且 sin 5 3 1 求点 M 离地面 AC 的高度 BM 单位 厘米 2 设人站立点 C 与点 A 的水平距离 AC 等于 11 个单位 求铁环钩 MF 的长 度 单位 厘米 ABC M F O 图 图 13 广东省历年中考数学压轴题 广东省历年中考数学压轴题 7 姓名 姓名 14 2009 年 9 分 1 如图 1 圆内接 ABC 中 AB BC CA OD OE 为 O 的半径 OD BC 于点 F OE AC 于点 G 求证 阴影部分四边形 OFCG 的面积 是 ABC 面积的 3 1 2 如图 2 若 DOE 保持角度不变 求证 当 DOE 绕着 O 点旋转时 0 120 由两条半径和 ABC 的两条边围成的图形 图中阴影部分 面积始终是 ABC 面积的 3 1 A B F C B C A E E D D OO G 图 2图 1 14 15 2011 广东 如下数表是由从 1 开始的连续自然数组成 观察规律并完成 各题的解答 1 表中第 8 行的最后一个数是 它是自然数 的平方 第 8 行共有 个数 2 用含 n 的代数式表示 第 n 行的第一个数是 最后一个数是 第 n 行共有 个数 3 求第 n 行各数之和 15 广东省历年中考数学压轴题 广东省历年中考数学压轴题 8 姓名 姓名 16 2011 广东 如图 1 ABC 与 EFD 为等腰直角三角形 AC 与 DE 重 合 AB AC EF 9 BAC DEF 90 固定 ABC 将 DEF 绕点 A 顺时针 旋转 当 DF 边与 AB 边重合时 旋转中止 现不考虑旋转开始和结束时重合 的情况 设 DE DF 或它们的延长线 分别交 BC 或它的延长线 于 G H 点 如图 2 1 问 始终与 AGC 相似的三角形有 及 2 设 CG x BH y 求 y 关于 x 的函数关系式 只要求根据图 2 的情形 说明理由 3 问 当 x 为何值时 AGH 是等腰三角形 16 17 2011 广东 如图 抛物线 y x2 x 1 与 y 轴交于 A 点 过点 A 的直 5 4 17 4 线与抛物线交于另一点 B 过点 B 作 BC x 轴 垂足为点 C 3 0 1 求直线 AB 的函数关系式 2 动点 P 在线段 OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向 C 移动 过点 P 作 PN x 轴 交直线 AB 于点 M 交抛物线于点 N 设点 P 移动的时间为 t 秒 MN 的长度为 s 个单位 求 s 与 t 的函数关系式 并写出 t 的取值范围 3 设在 2 的条件下 不考虑点 P 与点 O 点 C 重合的情况 连接 CM BN 当 t 为何值时 四边形 BCMN 为平行四边形 问对于所求的 t 值 平行四边形 BCMN 是否菱形 请说明理由 17 1 1 解 210321 3 1 21 321432 3 1 32 以上各式 432543 3 1 43 11109121110 3 1 1110 相加 可得 2 440121110 3 1 1110433221 3 2 1 3 1 nnn126010987 4 1 2 方 程换元法得新方程 解新方 程 检验 求原方程的 解 032 xx 令 tx 则032 2 tt 1 1 t 3 2 t 01 1 t 舍去 03 2 t 1 x 所以1 x 042 xx 令 tx 2 则02 2 tt 1 1 t 2 2 t 01 1 t 舍去 02 2 t 12 x 所以 12 x 3 x 3 设租甲型车x辆 则租乙型车 10 x 辆 依题意 得 170 10 2016 340 10 3040 xx xx 解得 因车辆数为正整数 故x 4 5 6 7 租车方案为 甲型车 4 辆 乙5 74 x 型车 6 辆 甲型车 5 辆 乙型车 5 辆 甲型车 6 辆 乙型车 4 辆 甲型车 7 辆 乙型车 3 辆 设租车费用y 则 200 0 y随x18000200 10 18002000 xxxy 的增大而增大 当x 4 时 y的值最小 租甲型车 4 辆 乙型车 6 辆使租车费用最 省 4 1 aOAOAOA 4 3 2 3 2 3 2 3 12 2 以此类推 OAOA 2 3 1 OAOAOA 2 12 2 3 2 3 OAOAOA 3 23 2 3 2 3 18 F H B E C G A D 所以的周长为 aOAOAOA 64 27 64 27 2 3 6 6 66B OA aOA 64 81 3 6 5 1 证明 依题意 可得 即 又 CBDCAD DBECAE 2 AB 为直径 又 BEDAEC ACE BDE 0 90 ADB 在中 有 0 45 2 1 CODCBDBDERt 0 45 CBDBED 3 在中 DEBD ABDRt xBD xBDDE 又 222 16xBDABAD xxxADAE 2 16 在中 有 的面积 0 90 ACB 0 45 CABACERt AEAC 2 2 AEC 为 4 16216 2 1 2 2 xx ACy 40 x 6 1 证明略 2 成立 因为CBFADE 7 解 1 连接 FH BF EH BF EH 四边形 BEHF 是平行EGH BCF HEGFBC 四边形 FH BE 又 E F 分别从顶点 B C 同时开始以相同速度沿 BC CD 运动 a CF BE DF 3 在中 2 设 aaDFHRt aFHDFDH5 22 xBE 则有 22 8 27 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 2 1 aaxxaxaxaxaSSSS HEGDCGHDECDHE 梯形 所以当时 的面积取得最小值 最小值为 aBE 2 3 DHE 2 8 27 a 8 1 在正方形 ABCD 中 AB BC CD 4 B C 由 AM MN 得 0 90 AMN CMN AMB 而在 Rt ABM 中 0 90 0 90 19 MAB AMB CMN MAB Rt ABM Rt MCN 0 90 2 Rt ABM Rt MCN 即 得 CN BM MC AB CN x x 4 4 4 4 2 xx CN 当时 10 2 2 1 82 2 1 4 4 4 4 2 1 22 2 xxx xx Sy ABCN 梯形 2 x 有最大值 最大值是 10 y 3 B AMN 要使 Rt ABM Rt AMN 必须有 由 1 知 0 90 BM AB MN AM 当 M 点运动到 BC 的中点时 Rt ABM Rt AMN 求 MC AB MN AM MCBM 此时 x 2 9 解 1 如图 1 P Q W 分别是FMN 三边的中点 FMN QWP 2 1 FM WQ NF PQ MN PW 2 由 1 知FMN QWP 故只讨论FMN 的情况 过点 N 作 NE CD 交 CD 于 E 由图 1 知 DF 2 EN 4 xDM xAM 4xAN 6xFE 4 情况 当时 有 解 222 MNFNMF 222222 6 4 4 4 2xxxx 得 3 4 x 情况 当时 有 222 FNMNMF 222222 4 4 6 4 2 xXxx 化简得 方程无解 0106 2 xx0440 6 2 情况 当时 有 解 222 MFMNFN 222222 24 4 6 4 xxxx 得 4 x 综上所述 当 时 FMN 为直角三角形 即 PQW 为直角三角形 4 x 3 4 x 当 x 4 时 FMN 不为直角三角形 即 PQW 不为直角三角形 3 4 3 当 0 x 4 时 显然 MN 逐渐缩短 故只考虑 4 x 6 即图 2 的情形 Q W P M D F E C A N B 20 当xMA 4xAN 652202 6 4 2222 xxxxMN 时 最小 即最小 MN 5 22 20 x 2 MN25252052 22 MN 2 MN 10 1 略解 如图 1 由 可得 所以 0 60321 0 30654 0 6064 AEB 2 如图 2 又 0 6021 AOCDOB 54 76 0 1807654 AOCDOB65 6258 AEB 0 602 AEB 11 1 证明略 2 BCMN 2 1 12 1 2 3 设 可证 得 32 5 B 0 4 PxOP COP PAD PA CO AD OP 即 解得或 所以或 x x 7 4 2 3 1 x6 x 0 1 P 0 6 P 13 1 略解 过 M 作 AC 的平行线 分别与 OA FC 交于点 H N 则 BM OA OH 1 个 单位 5 2 由可证cm 0 90 FMNOMHOMHMOH 个单位 即 MOHFMN10 FMcmFM50 14 1 连接 OA OC 因为 O 是等边 ABC 的外心 所以 4 6 5 3 2 1 6 54 3 12 E CB O D A B A O D C E 图 1图 2 7 8 21 又因为OGARtOGCRtOFCRt OACOFCOFCG SSS 2 所以 ABCOAC SS 3 1 ABCOFCG SS 3 1 2 略解法一 连接 OA OB OC 设 OD 交 BC 于点 F OE 交 AC 于点 G 则 再证 所以 BOACOBAOC OCFOAG ABCAOCOFCG SSS 3 1 略解法二 设 OD 交 BC 于点 F OE 交 AC 于点 G 过 O 作 OH BC OK AC 证明 所以 OFHOGK ABCOHCKOFCG SSS 3 1 15 1 每行数的个数为 1 3 5 的奇数列 由题意最后一个数是该行数的 平方即得 64 其他也随之解得 8 15 2 由 1 知第 n 行最后一数为 n2 则第一个数为 n 1 2 n2 2n 2 每行数由题意知每行数的个数为 1 3 5 的奇数列 故个数为 2n 1 3 第 50 行各数之和 16 解 1 ABC 与 EFD 为等腰直角三角形 AC 与 DE 重合 HAG B 45 H HAC 45 HAC CAG 90 H CAG HAB HGA 始终与 AGC 相似的三角形有 HAB 和 HGA 故答案为 HAB 和 HGA 2 AGC HAB AC HB GC AB 即 9 y x 9 y 81 x 0 x 92 答 y 关于 x 的函数关系式为 y 81 x 0