江苏省青阳县2013届高三数学3月检测试题苏教版

1 江苏省青阳高级中学江苏省青阳高级中学 20132013 届高三届高三 3 3 月份检测数学试卷月份检测数学试卷 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分分 1 复数在复平面上对应的点在第 象限 2 i i 2 某商场有四类食品 其中粮食类 植物油类 动物性食品类及果蔬类分别有 40 种 10 种 30 种 20 种 从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测 若采用分层抽 样的方法抽取样本 则抽取的植物油类与果蔬类食品种数 之和是 3 已知集合 5 Ax x 集合 Bx xa 若命题 xA 是命题 xB 的充分不必要条件 则实数a的 取值范围是 4 如图 直三棱柱ABC A1B1C1中 AB 1 BC 2 AC AA1 3 M为线段BB1上的一动点 则当5 AM MC1最小时 AMC1的面积为 第 4 题 5 集合 2 3 log AaBa b 若 2 AB 则AB 6 阅读如图所示的程序框 若输入的n是 100 则输出的变量S的值是 7 向量 cos10 sin10 cos70 sin70 ab 2 ab 8 方程lg 2 1xx 有 个不同的实数根 9 设等差数列的前项和为 若 则的取值范围 n an n S 5 a42 6 a3 6 S 是 10 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左焦点 0 0 Fcc 作圆 2 22 4 a xy 的 切线 切点为E 直线FE交双曲线右支于点P 若 1 2 OEOFOP 则双曲线 的 离心率为 11 若函数 2 ln2f xmxxx 在定义域内是增函数 则实数m的取值范围是 12 设 0 1 O为坐标原点 动点P x y 满足OM 1 1 2 ON 0 1 0 1 则z y x的最小值是 OP OM OP ON 13 设周期函数是定义在 R R 上的奇函数 若的最小正周期为 3 且满足 f x f x 2 m 则m的取值范围是 1 f 2 f 3 m 14 等差数列的公差为d 关于x的不等式 c 0 的解集为 0 22 n a 2 2 d x 1 2 d ax 2n 1nn 结束 输出 S SSn 否 是 开始 输入n 0S 第 6 题图 2 则使数列的前n项和最大的正整数n的值是 n a n S 二 解答题二 解答题 本大题共六小题 共计本大题共六小题 共计 9090 分 分 15 本题满分 14 分 在锐角中 角 所对的边分别为 已知 ABC ABCabc 3 cos2 4 C 1 求 2 当 且时 求 sinC2ca 3 7b a 16 本题满分 14 分 如图 是边长为的正方形 平面 ABCD3DE ABCDDEAF AFDE3 与平面所成角为 BEABCD 0 60 1 求证 平面 2 设点是线段上一AC BDEMBD 个动点 试确定点的M 位置 使得平面 并证明你的结论 AMBEF AB CD F E 3 17 本题满分 14 分 已知椭圆的中心为坐标原点 短轴长为 2 一条准线方程为l 2x 求椭圆的标准方程 设O为坐标原点 F是椭圆的右焦点 点M是直线l上的动点 过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N 求证 线段ON的长为定值 18 本题满分 16 分 已知某种稀有矿石的价值 单位 元 与其重量 单位 克 y 的平方成正比 且克该种矿石的价值为元 写出 单位 元 关于 单位 354000y 克 的函数关系式 若把一块该种矿石切割成重量比为的两块矿石 求价值损失的百分率 1 3 把一块该种矿石切割成两块矿石时 切割的重量比为多少时 价值损失的百分率最大 注 价值损失的百分率 在切割过程中的重量损耗忽略100 原有价值现有价值 原有价值 不计 4 19 本小题满分 16 分 设数列的前n项和为 且满足 n a n S 2 n 1 2 3 n S n a 1 求数列的通项公式 2 若数列满足 1 且 求数列 n a n b 1 b 1n b n b n a 的通项公式 3 设 n 3 求数列的前n项和为 n b n c n b n c n T 20 本题满分 16 分 已知kR 函数 01 01 xx f xmk nmn 1 如果实数 m n满足1 1mmn 函数 f x是否具有奇偶性 如果有 求出相应的k 值 如果没有 说明为什么 2 如果10 mn 判断函数 f x的单调性 3 如果2m 1 2 n 且0k 求函数 yf x 的对称轴或对称中心 5 参考答案 1 四 2 6 3 5a 4 5 2 3 4 6 5049 7 7 3 8 2 2 3 9 10 11 1 2 m 12 1 12 42 10 2 13 14 11 1 0 3 二 解答题二 解答题 本大题共六小题 共计本大题共六小题 共计 9090 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文 字说明 证明过程或演算步骤字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 14 分 在锐角中 角 所对的边分别为 已知 ABC ABCabc 3 cos2 4 C 1 求 2 当 且时 求 sinC2ca 3 7b a 解 1 由已知可得 所以 2 2 3 12sin 4 C 2 7 sin 8 C 分 因为在中 所以 4 分ABC sin0C 14 sin 4 C 2 因为 所以 6 分2ca 114 sinsin 28 AC 因为是锐角三角形 所以 8 分ABC 2 cos 4 C 5 2 cos 8 A 所以sinsin BAC sincoscossinACAC 1425 214 8484 11 分 3 7 8 由正弦定理可得 所以 14 分 3 7 sinsin a BA 14a 说明 用余弦定理也同样给分 16 本题满分 14 分 如图 是边长为的正方形 平面 ABCD3DE ABCDDEAF AFDE3 1 求证 平面 AC BDE 2 设点是线段上一个动点 试确定点的位置 MBDM 使得平面 并证明你的结论 AMBEF 16 1 证明 因为平面 DE ABCD 所以 2 分ACDE 因为是正方形 ABCD AB CD F E 6 所以 因为 4 分BDAC DEBDD 从而平面 6 分AC BDE 2 当M是BD的一个三等分点 即 3BM BD时 AM 平面BEF 7 分 取BE上的三等分点N 使 3BN BE 连结MN NF 则DE MN 且DE 3MN 因为AF DE 且DE 3AF 所以AF MN 且AF MN 故四边形AMNF是平行四边形 10 分 所以AM FN 因为AM平面BEF FN平面BEF 12 分 所以AM 平面BEF 14 分 17 本题满分 14 分 已知椭圆的中心为坐标原点 短轴长为 2 一条准线方程为l 2x 求椭圆的标准方程 设O为坐标原点 F是椭圆的右焦点 点M是直线l上的动点 过点F作OM的垂 线与以OM为直径的圆交于点N 求证 线段ON的长为定值 解 椭圆C的短轴长为 2 椭圆C的一条准线为l 2x 不妨设椭圆C的方程为 2 2 2 1 x y a 2 分 22 1 2 ac cc 4 分 即1c 5 分 椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y 6 分 F 1 0 右准线为l 2x 设 00 N xy 则直线FN的斜率为 0 0 1 FN y k x 直线ON的斜率为 0 0 ON y k x 8 分 FN OM 直线OM的斜率为 0 0 1 OM x k y 9 分 直线OM的方程为 0 0 1x yx y 点M的坐标为 0 0 2 1 2 x M y 11 分 直线MN的斜率为 0 0 0 0 2 1 2 MN x y y k x 12 分 MN ON 1 MNON kk 0 0 00 00 2 1 1 2 x y yy xx 2 0000 2 1 2 0yxx x 即 22 00 2xy 13 分 2ON 为定值 14 分 说明 若学生用平面几何知识 圆幂定理或相似形均可 也得分 设垂足为P 准线l 与x轴交于Q 则有 又 所以为定值 2 ONOP OM g2OP OMOF OQ gg2ON 18 解 依题意设 又当时 2 0 yk 3 54000y 6000k 故 2 6000 0 y 设这块矿石的重量为克 由 可知 按重量比为切割后的价值a1 3 为 价值损失为 22 13 6000 6000 44 aa 222 13 6000 6000 6000 44 aaa 7 价值损失的百分率为 222 2 13 6000 6000 6000 44 100 37 5 6000 aaa a 解法 1 若把一块该种矿石按重量比为切割成两块 价值损失的百分率应为 m n 又 当且仅当 22 2 2 1 mnmn mnmnmn 2 22 2 21 2 2 mn mn mnmn 时取等号 即重量比为时 价值损失的百分率达到最大 mn 1 1 解法 2 设一块该种矿石切割成两块 其重量比为 则价值损失的百分率为 1x 又 22 2 12 1 1121 xx xxxx 0 x 2 12xx 故 等号当且仅当时成立 2 221 21222 xx xxxx 1x 答 函数关系式 价值损失的百分率为 2 6000 0 y 37 5 故当重量比为时 价值损失的百分率达到最大 1 1 19 1 因为n 1 时 2 所以 1 1 a 1 S 1 a 1 a 1 a 因为 2 即 2 所以 2 n S n a n a n S 1n a 1n S 两式相减 0 即 0 故有 1n a n a 1n S n S 1n a n a 1n a 1 2 n a n a 因为 0 所以 n n a 1n n a a 1 2 N 所以数列是首项 1 公比为的等比数列 n n a 1 a 1 2 n a 1 1 2 n N 2 因为 n 1 2 3 所以 从而有 1n b n b n a 1n b n b 1 1 2 n 1 n 2 3 21 bb 32 bb 1 2 43 bb 2 1 2 1nn bb 2 1 2 n 将这n 1 个等式相加 得 1 2 n b 1 b 1 2 2 1 2 2 1 2 n 1 1 1 2 1 1 2 n 1 1 2 2 n 又因为 1 所以 3 n 1 2 3 1 b n b 1 1 2 2 n 8 3 因为 n 3 n c n b 1 1 2 2 n n 所以 n T 0221 11111 223 1 22222 nn nn 1 2 n T 1231 11111 223 1 22222 nn nn 得 1 2 n T 021 1111 2 2222 n 1 2 2 n n 故 8 8 n T 1 1 2 4 1 1 2 n 1 4 2 n n 8 2n 1 4 2 n n 1 84 2n n n 1 2 3 20 本题满分 16 分 已知kR 函数 01 01 xx f xmk nmn 1 如果实数 m n满足1 1mmn 函数 f x是否具有奇偶性 如果有 求出相应的 k 值 如果没有 说明为什么 2 如果10 mn 判断函数 f x的单调性 3 如果2m 1 2 n 且0k 求函数 yf x 的对称轴或对称中心 解 1 如果 f x为偶函数 则 fxf x xxxx mk nmk n 恒成立 1 分 即 xxxx nk mmk n 0 xxxx nmk mn 1 0 xx nmk 2 分 由0 xx nm 不恒成立 得1 k 3 分 如果 f x为奇函数 则 fxf x xxxx mk nmk n 恒成立 4 分 即 xxxx nk mmk n 0 xxxx nmk mn 5 分 1 0 xx nmk 由0 xx nm 恒成立 得1 k 6 分 2 10 mn 1 m n 当0k 时 显然 xx f xmk n 在R上为增函数 8 分 当0k 时 lnln lnln 0 xxxx m fxmmknnmkn n n 由0 x n 得 lnln0 x m mkn n 得 ln log ln x m mn kkn nm 得log log mm n xkn 9 分 当 log log mm n xkn 时