2011高考数学萃取精华试题（19）新人教A版VIP

用心 爱心 专心 1 20112011 高考数学萃取精华高考数学萃取精华 3030 套 套 1919 1 1 顺德一模顺德一模 20 本小题满分 14 分 已知函数 x k f xex xR 1 当0k 时 若函数 1 g x f xm 的定义域是 R 求实数m的取值范围 2 试判断当1k 时 函数 f x在 2 kk内是否存在零点 20 解 1 当0k 时 x f xex 1 x fxe f x在 0 上单调减 在 0 上单调增 min 0 1f xf 5 分 1 10 xR f xf x 成立 1m 7 分 2 当1k 时 x k f xex 10 x k fxe 在 2 kk上恒成立 9 分 f x在 2 kk上单调增 且连续 且 10 k k f kekk 10 分 2 2 22 k kk fkekek 2 20 k fke 2 fk在1k 时单调增 2 20fke 13 分 由零点存在定理知 函数 f x在 2 kk内存在零点 14 分 21 本小题满分 14 分 已知曲线 1 C 2 x ye e e为自然对数的底数 曲线 2 C 2 lnyex 和直线l 2yx 1 求证 直线l与曲线 1 C 2 C都相切 且切于同一点 2 设直线 0 ttx与曲线 1 C 2 C及直线l分别相交于 M N P 记 f tPMNP 求 tf在 33 ee 上的最大值 3 设直线 m xe m为自然数 与曲线 1 C和 2 C的交点分别为 m A和 m B 问是否存 在正整数n 使得 00nn A BA B 若存在 求出n 若不存在 请说明理由 本小题参考数 据e 2 7 21 解 1 证 2 x ye e 2 x y e 由 2 2 x y e 得ex 2 分 用心 爱心 专心 2 在 1 C上点 2 ee处的切线为22 yexe 即2yx 3 分 又在 2 C上点 2 ee处切线可计算得22 yexe 即2yx 直线l与 1 C 2 C都相切 且切于同一点 2ee 4 分 2 22 2 22 ln 2 ln4 tt f tettetette ee 222 212242 240 tteette fte etetet 6 分 tf在 33 e e 上递增 当 3 te 时eeeeeee e e tf744ln2 3533 6 max 8 分 3 nee e e eee e e BA n n n nn 2 ln2 22 设上式为 ng 假设n取正实数 则 e e ng n 2 e ee ee n 2 2ln 22 2 当 1 0 n时 0 ng g n 递减 当 1 n 0 ng g n 递增 12 分 e eBAg 1 0 00 022 1 eeg e eeeeeeeeeg 1 237 234 2 233 不存在正整数n 使得 0 gmg 即 00B ABA nn 14 分 2 2 唐山一模唐山一模 20 本小题共 12 分 在直角坐标系 xOy 中 动点 P 到两定点 0 3 0 3 的距离之和等于 4 设动点 P 的 轨迹为C 过点 0 3 的直线与C交于 A B 两点 1 写出C的方程 2 设 d 为 A B 两点间的距离 d 是否存在最大值 最小值 若存在 求出 d 的最大值 最小值 用心 爱心 专心 3 20 本小题满分 12 分 解 1 设 P x y 由椭圆定义可知 点 P 的轨迹 C 是以 0 3 0 3 为焦点 长半轴为 2 的椭圆 它的短半轴 22 2 3 1b 故曲线 C 的方程为 2 2 1 4 y x 4 分 2 设过点 0 3 的直线方程为 y kx 3 1122 A xyB xy 其坐标满足 2 2 1 4 3 y x ykx 消去 y 并整理得 22 4 2 310kxkx 6 分 2 12212 22 2 32 3 2 32 3 44 kk xxyk xx kk 1 y 22 1212 2 aa dAFBFeyeyae yy cc 4 2 2 3 3 4 k k 2 12 4 4k 2 0k k 0 时 d 取得最小值 1 10 分 当 k 不存在时 过点 0 3 的直线方程为 x 0 此时交点 A B 分别为椭圆 C 的长轴的两 端点 d 取最大值 4 12 分 综上 d 的最大值 最小值存在 分别为 4 1 12 分 21 本小题满分 12 分 在数列 n a 中 11 0 31 2 3 n nn aaan 其中L L 1 求 23 a a 的值 2 求数列 n a 的通项公式 3 求 1 n n a a 的最大值 用心 爱心 专心 4 21 本小题满分 12 分 解 1 由 0 1 a 且 3 2 1 3 1 naa n nn 得 33 12 aa 632 23 aa 2 分 2 由 n nn aa3 1 变形得 4 3 4 3 1 1 n n n n aa 4 3 n n a 是首项为 4 3 4 3 1 a 公比为 1 的等比数列 1 1 4 3 4 3 n n n a 即 4 3 1 4 3 n n n a 3 2 1 n 6 分 3 当n是偶数时 33 4 3 1 33 33 4 3 4 3 4 3 4 3 111 1 nn n n n n n a a 1 n n a a 随n增大而减少 当n为偶数时 1 n n a a 最大值是 1 2 9 分 当n是奇数时 33 4 3 1 33 33 4 3 4 3 4 3 4 3 111 1 nn n n n n n a a 1 n n a a 随n增大而增大且 2 1 3 1 33 4 3 1 1 1 n n n a a 综上 1 n n a a 最大值为2 1 12 分 22 本小题满分 12 分 已知函数 x xaxf 1 ln 用心 爱心 专心 5 1 当 0 a 时 求函数 xf 的单调区间和极值 2 当 0 a 时 若对任意 0 x 均有 1 ln2 xax 求实数a的取值范围 3 若 0 a 对任意 1 x 0 2 x 且 21 xx 试比较 2 21 xx f 与 2 21 xfxf 的大小 22 本小题满分 12 分 解 由题意 0 x 2 1 xx a xf 2 分 1 当 0 a 时 由 0 x f 得 0 1 2 xx a 解得 a x 1 即函数 xf 的单调增区间是 1 a 由 0 x f 得 0 1 2 xx a 解得 a x 1 即函数 xf 的单调减区间是 1 0 a 当 a x 1 时 函数 xf 有极小值 极小值为 aaaa a a a fln 1 ln 1 5 分 2 当 0 a 时 对任意 0 x 均有 1 ln2 xax 即有对任意 0 x x xaa 1 ln2 恒成立 对任意 0 x 只须 min 2xfa 由 1 可知 函数 xf 的极小值 即为最小值 aaaxfaln 2 min 解得 e a 1 0 即a的取值范围为 e a 1 0 9 分 用心 爱心 专心 6 3 2 2 ln 2 2 2121 2 21 21 212121 xxxx xx xx xx a xfxfxx f 0 1 x 0 2 x 且 21 xx 0 a 2121 2xxxx 1 2 21 21 xx xx 0 2 ln 21 21 xx xx a 又 0 2 2121 2 21 xxxx xx 0 2 2 ln 2121 2 21 21 21 xxxx xx xx xx a 0 2 2 2121 xfxfxx f 即 2 2 2121 xfxfxx f 12 分 3 黑龙江四校一模黑龙江四校一模 20 本小题满分 12 分 已知点 M 是离心率是 22 22 6 1 0 3 xy Cab ab 的椭圆上一点 过点 M 作直 线 MA MB 交椭圆 C 于 A B 两点 且斜率分别为 12 k k I 若点 A B 关于原点对称 求 12 kk 的值 II 若点 M 的坐标为 0 1 且 12 3kk 求证 直线 AB 过定点 并求直线 AB 的 斜率 k 的取值范围 20 本题满分 12 分 I 由 22222 6 3 33 3 eabxyb 得椭圆方程为 111100 A x yBxyM xy 设 由 A M 是椭圆上的点得 222 11 33xyb 222 00 33xyb 得 22 10 22 10 1 3 yy xx 22 101010 12 22 101010 1 3 yyyyyy k k xxxxxx 定值 5 分 用心 爱心 专心 7 II 点 M 的坐标为 0 1 则 22 1 33bxy 椭圆方程为 显然直线 AB 的斜率存在 设直线 AB 的方程为ykxt 代入椭圆方程得 222 2 1212 22 31 63 1 0 63 1 3131 kxktxt ktt xxxx kk 由 12 12 12 11 3 3 yy kk xx 得 又 1122 ykxt ykxt 由 得 1212 1 23 0txxkx x 2 22 63 1 1 23 0 3131 ktt tk kk 化简得 23 1 0 3 k tt 23 1 3 k tt 舍或 9 分 则直线 AB 的方程为 232 1 33 k ykxk x 2 1 3 AB 直线过定点 10 分 21 本小题满分 12 分 已知幂函数 2 23 mm f xxmZ 为偶函数 且在区间 0 上是单调增函数 I 求函数 f x的解析式 II 设函数 32 19 42 g xf xaxxb xa b RR其中 i 若函数 0g xx 仅在处有极值 求 a 的取值范围 ii 对于任意的 1 1 2ag x 不等式在 2 2 上恒成立 求b的取值范围 21 本题满分 12 分 解 I 0 f x 在区间上是单调增函数 22 230230mmmm 即 用心 爱心 专心 8 13 0 1 2mmZm 又 2 分 而 34 0 2 1 mf xxmf xx 时不是偶函数时是偶函数 4 f xx 4 分 II i 2 39 0g xx xaxx 显然不是方程 2 390 xax 的根 为使 0g xx 仅在处有极值 必须 2 390 xax 恒成立 6 分 即有 2 9360 a 解不等式 得 2 2 a 这时 g 0 b是唯一极值 2 2 a 8 分 ii 由条件 22 1 1 9360 390aaxax 可知从而恒成立 当0 0 0 0 xg xxg x 时当时 9 分 因此函数 g x在 2 2 上的最大值是 2 2 gg 与两者中较大者 10 分 为使对方任意的 1 1 a 不等式 2g x 在 2 2 上恒成立 当且仅当 2 2208 1 1 2 2208 gba a gba 即在上恒成立 所以28b 因此满足条件的 b 的取值范围是 28 12 分 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 O 内切于 ABC 的边于 D E F AB AC 连接 AD 交 O 于点 H 直线 HF 交 BC 的延长线于点 G I 求证 圆心 O 在直线 AD 上 II 求证 点 C 是线段 GD 的中点 用心 爱心 专心 9 22 本题满分 10 分 I 证明 ABAC AFAE CDBE CFCD BDBE CDBD ABC ADCAB 又 又是等腰三角形 是的角分线 圆心 O 在直线 AD 上 5 分 II 连接 DF 由 I 知 DH 是 O 的直径 90 90 90 DHFFDHFHD GFHD FDHG OACF AFHGFCFDH GFCG CGCFCD A 又 与相切于点 点 C 是线段 GD 的中点 10 分 23 本题满分 10 分 I 直线的普通方程为 210 xy 圆的直角坐标方程为 2 1 2 5xy 4 分 II 圆心到直线的距离 5 5 d 直线被圆截得的弦长 22 4 30 2 5 Lrd 10 分 24 本题满分 10 分 证