2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高一级）新人教A版

用心 爱心 专心1 20122012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案 高一年级 高一年级 说明 说明 评阅试卷时 请依据本评分标准 填空题只设 8 分和 0 分两档 解答题的评阅 只要思路合理 步骤正确 在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分 一 填空题 本题满分一 填空题 本题满分 6464 分 每小题分 每小题 8 8 分 直接将答案写在横线上 分 直接将答案写在横线上 1 已知集合N N 且N N 则 1 babxxBaxxA BA 1 ba 2 已知正项等比数列的公比 且成等差数列 则 n a1 q 542 aaa 963 741 aaa aaa 35 2 3 函数的值域为 74 1 2 xx x xf 6 0 6 4 已知 则1sin2sin3 22 1 cos sin2 cos sin3 22 2cos 1 3 5 已知数列满足 为正整数 n a 1 a 13 21 为奇数 为偶数 nn n n n aa a a a 如果 则 5 29 321 aaa 1 a 6 在 中 角的对边长满足 且 ABCCBA cba bca2 AC2 则 Asin 7 4 7 在 中 设是 的内心 若 ABC2 BCAB3 ACOABCACqABpAO 则的值为 q p3 2 8 设是方程的三个根 则的值为 5 321 xxx01 3 xx 5 3 5 2 5 1 xxx 二 解答题 本大题满分二 解答题 本大题满分 5656 分 第分 第 9 9 题题 1616 分 第分 第 1010 题题 2020 分 第分 第 1111 题题 2020 分 分 9 已知正项数列满足且 n a 2 12111 43 nnnnnnnnn a aa aa aaa a 1 1a 用心 爱心 专心2 求的通项公式 2 8a n a 解 在已知等式两边同时除以 得 1 nna a3141 1 1 2 n n n n a a a a 所以 21 1 114 11 nn nn aa aa 4 分 令 则 即数列是以 4 为首项 4 为公比的等比11 1 n n n a a b nn bbb4 4 11 n b 1 b 数列 所以 nn n bb44 1 1 8 分 所以 即 n n n a a 411 1 n n n aa 1 14 2 1 12 分 于是 当时 1 n 2 2221 1 21 1 14 1 14 1 14 n nn n n n aaa 1 1 21 1 1 1 21 1 14 1 14 n k k n k k a 因此 2 1 14 1 1 1 1 21 n n a n k k n 16 分 10 已知正实数满足 且 求的最小值 ba 1 22 ba 333 1 1 bambam 解 令 则cos sinab 0 2 3 22 3 33 1sin cos 1 sinsincos cossin cos 1sin cos 1sincos m 5 分 令 则 且 sincos x 2 1 4 sin 2 x 2 1 sincos 2 x 10 分 于是 2 1 1 2 3 1 2 2 1 2 2 1 2 32 1 1 2 1 1 2 2 3 3 3 2 xx x x xx x xx x x x m 15 分 用心 爱心 专心3 因为函数在上单调递减 所以 2 1 1 2 3 x xf 2 1 1 2 fmf 因此 的最小值为 m 2 423 2 f 20 分 11 设 其中且 若在区间上 3 log 2 log axaxxf aa 0 a1 a 4 3 aa 恒成立 求的取值范围 1 xfa 解 2 222 5 log 56 log 24 aa aa f xxaxax 由得 由题意知 故 从而 03 02 ax ax ax3 aa33 2 3 a 故函数在区间上单调递增 53 3 2 0 22 a aa 2 2 5 24 aa g xx 4 3 aa 5 分 1 若 则在区间上单调递减 所以在区间10 a xf 4 3 aa xf 上的最大值为 4 3 aa 992 log 3 2 aaaf a 在区间上不等式恒成立 等价于不等式成立 4 3 aa1 xf1 992 log 2 aa a 从而 解得或 aaa 992 2 2 75 a 2 75 a 结合得 10 a10 a 10 分 2 若 则在区间上单调递增 所以在区间 2 3 1 a xf 4 3 aa xf 上的最大值为 4 3 aa 16122 log 4 2 aaaf a 在区间上不等式恒成立 等价于不等式成立 4 3 aa1 xf1 16122 log