江西师大附中高三数学年级月考试卷 理 北师大版

1 江西师大附中高三年级数学 理科 月考试卷江西师大附中高三年级数学 理科 月考试卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中分 在每小题给出的四个选项中 只有一只有一 项是符合题目要求的 项是符合题目要求的 1 设全集U为实数集R 2Mx x 2 430Nx xx 则图中阴影部分所 表示的集合是 A 2x x B 22xx C 21xx D 12xx 2 把函数sin yx xR 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 再把图 像上所有的点向左平行移动 6 个单位长度 得到的图像所表示的函数是 A sin 2 3 yxxR B sin 26 x yxR C sin 2 3 yxxR D 2 sin 2 3 yxxR 3 已知 a 3 b 5 且 12a b 则向量a在向量b上的投影为 A 5 12 B 3 C 4 D 5 4 函数 ln xx y x 的图像可能是 5 函数 2 x f xex 的零点所在的区间是 A 1 0 2 B 1 1 2 C 1 2 D 2 3 6 给出下列四个命题 命题 若 4 则1tan 的逆否命题为假命题 命题p 任意xR 都有sin1x 则 非p 存在 0 xR 使 0 sin1x 2 kkZ 是 函数 2sin xy为偶函数 的充要条件 命题p 存在 0 xR 使 00 3 sincos 2 xx 命题q ABC 中 sinsinABAB 那么命题 非p 且q 为真命题 其中正确的个数是 A 1B 2 C 3D 4 2 7 在 R 上定义运算 2 x xy y 若关于x的不等式 1 0 xxa 的解集是 22 xxxR 的子集 则实数a的取值范围是 A 22a B 12a C 31a 或11a D 31a 8 若 2cos f xxm 对任意实数t 都有 4 f tft 且 1 8 f 则 实数m的值等于 A 1 B 1 或 3C 3 D 3 或 1 9 已知函数 2 cosf xxx 对于 2 2 上的任意 12 x x 有如下条件 12 xx 22 12 xx 12 xx 其中能使 12 f xf x 恒成立的条件序号是 A B C D 10 定义域为R的偶函数 xf满足对任意xR 有 1 2 fxfxf 且当 3 2 x 时 18122 2 xxxf 若函数 1 log xxfy a 在 0 上至 少有三个零点 则a的取值范围是 A 2 2 0 B 3 3 0 C 5 5 0 D 6 6 0 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分 分 11 已知 5 3 sin 是第四象限的角 则 2cos 12 设函数 cos x xa xxa f x x 是奇函数 则a 13 设函数 2 0 f xaxb a 若 2 0 0 2 f x dxf x 0 0 x 则 0 x 14 设P是函数 2 yx x 0 x 的图像上任意一点 过点P分别向直线yx 和y轴作 垂线 垂足分别为 A B 则PA PB 的值是 15 函数 f x的定义域为A 若 12 x xA 且 12 f xf x 时总有 12 xx 则称 f x为单 函数 例如 函数 1 f xxxR 是单函数 下列命题 函数 2 2 f xxx xR 是单函数 函数 2 log 2 2 2 x x f x x x 是单函数 若 f x为 单函数 12 x xA 且 12 xx 则 12 f xf x 函数 xf在定义域内某个区间 D上具有单调性 则 f x一定是单函数 其中的真命题是 写出所有真命题 的编号 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数 sincos 2cos xf xxx xR I 求函数 f x图像的对称中心 3 求函数 f x在区间 4 3 8 上的最小值和最大值 17 本小题满分 12 分 已知函数52 2 axxxf 1 a I 若 xf的定义域和值域均是 1 a 求实数a的值 II 若 xf在区间 2 上是减函数 且对任意的 1 x 2 1 1xa 总有 4 21 xfxf 求实数a的取值范围 18 本小题满分 12 分 ABC 中 角 A B C所对的边分别为 a b c 且 2 2sincos21 2 AB C I 求角的C大小 II 若向量 3 ma b 向量 3 b na mn 16mnmn 求 a b c的 值 19 本小题满分 12 分 已知轴对称平面五边形ADCEF 如图 1 BC为对称轴 ADCD 1ADAB 3CDBC 将此图形沿BC折叠成直二面角 连接AF DE得到几何体 如图 2 I 证明 AF 平面DEC II 求二面角EADB 的余弦值 4 20 本小题满分 13 分 已知椭圆 1 C 1 23 22 yx 的左焦点为 1 F 右焦点为 2 F I 设直线 1 l过点 1 F且垂直于椭圆的长轴 动直线 2 l垂直 1 l于点 P 线段 2 PF的垂直平 分线交 2 l于点 M 求点 M 的轨迹 2 C的方程 II 设O为坐标原点 取曲线 2 C上不同于O的点S 以OS为直径作圆与 2 C相交另外 一点R 求该圆的面积最小时点S的坐标 21 本小题满分 14 分 设函数 b f xaxa bR x 若 f x在点 1 1 f处的切线斜率为1 用a表示b 设 ln g xxf x 若 1g x 对定义域内的x恒成立 求实数a的取值范围 对任意的 0 2 证明 1 sin 1 sin gg 江西师大附中高三数学 理 10 月考试卷答案 2013 10 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 题 序 12345678910 5 选 项 DCABACDDBB 二 填空题 共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 5 4 12 0 13 3 32 14 1 15 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 16 本小题满分 12 分 解 I 2cos sincos sin2cos212sin 2 1 4 f xxxxxxx 因此 函数 xf图象的对称中心为 1 28 k kz 因为 4 2sin 2 xxf在区间 8 3 8 上为增函数 在区间 4 3 8 3 上为减函 数 又 1 8 f 3 21 8 f 33 2sin 12cos12 4244 f 故函数 xf在区间 4 3 8 上的最大值为21 最小值为 2 17 本小题满分 12 分 解 22 5 aaxxf 1 a xf在 1 a上是减函数 又定义域和值域均为 1 a 1 1 af af 即 152 521 22 aa aa 解得 2 a II xf在区间 2 上是减函数 2 a 又 2 xa 且1 1 aaa afxf26 1 max 2 min 5 aafxf 对任意的 1 x 2 1 1xa 总有4 21 xfxf 6 4 minmax xfxf 即 4 5 26 2 aa 解得 31 a 又2 a 32 a 18 本小题满分 12 分 解 I 2 2sincos21 2 AB C 2 cos21 2sincos cos 2 AB CABC 2 2coscos10CC 1 cos 2 C 或cos1C 0 C 3 C II nm 2 2 30 3 b a 即 22 9ba 又16 nmnm 16 9 8 8 2 2 b a 即 2 2 2 9 b a 由 可得 22 1 9ab 1 3ab 又 222 2cos7 cababC 7c 1 3 7abc 19 本小题满分 12 分 解 以 B 为坐标原点 分别以射线 BF BC BA 为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建立如 图所示的坐标系 由已知与平面几何知识得 3 333 0 0 1 1 0 0 0 0 2222 AFDE 33 1 0 1 0 22 AFDE 2 3 AFDE AF DE 又DE 平面DCE 且AF 平面DCE AF 平面DEC 由 得FEDA 四点共面 3 1 1 0 1 0 22 AFAD 7 设n 平面ADEF nx y z 则 1 0 1 0 0 3 1 30 0 0 22 x y z xz yzx y z 不 妨令1y 故 3 1 3 n 由已知易得平面 ABCD 的一个法向量为 1 1 0 0 n 1 21 cos 7 n n 二面角 E AD B 的余弦值为 21 7 20 本小题满分 13 分 解 I M 在线段 2 PF的垂直平分线上 MP M 2 F 故动点 M 到定直线 1 1lx 的距离等于它到定点 2 1 0 F的距离 因此动点 M 的轨迹 2 C是以 1 l为准线 2 F为焦点的抛物线 所以点 M 的轨迹 2 C的方程为xy4 2 II 因为以 OS 为直径的圆与 2 C相交于点 R 所以 0 90ORS 即0 SROR 设 11 S x y 22 R xy 则 2 11 4yx 2 22 4yx 2121 SRxx yy 22 ORxy 所以 221221 0OR SRx xxyyy 即 222 221 221 0 16 yyy yyy 12 yy 2 0y 12 2 16 yy y 故 12 2 16 8 yy y 当且仅当 2 2 16 y y 即 2 4y 时等号成立 当 1 min 8y 时 2 1 min 8 16 4 x 圆的直径 22 min 1688 5OS 这时点 S 的坐标为 16 8 21 本小题满分 14 分 解 2 b fxa x 依题意有 2 1 11 b faabba x 1 ln ln 1 a g xxf xxax x 恒成立 1g x 恒成立 即 max 1g x 方法一 1g x 恒成立 则 1 11 101gaaa 8 当1a 时 22 1 1 1 1 1 1 01 1 a xx axax a g xxx xxa 1 10 x a 2 0 0 x g 则 0 1 x 0g x g x单调递增 当 1 x 0g x g x 单调递减 则 max 1 1 21g xga 符 合题意 即 1g x 恒成立 所以 实数a的取值范围为1a 方法二 2 222 111 1 1 aaxxaaxax g xa xxxx 当0a 时 2 1 x g x x 0 1 x 0g x g x单调递减 当 1 x 0g x g x 单调递增 则 max 1 1g xg 不符题意 当0a 时 22 1 1 1 1 1 1 01 1 a xx axax a g xxx xxa 1 若0a 1 10 a 0 1 x 0g x g x单调递减 当 1 x 0g x g x 单调递增 则 min 1 1 211g xga 不符题意 2 若0a 若 1 0 2 a 1 11 a 0 1 x 0g x g x单调递减 这时 11 1 ln 1 211ga aa 不符题意 若 1 1 2 a 1 011 a 1 0 1 x a 0g x g x单调递减 这 时 1 1 21 21ga 不符题意 若1a 1 10 a 0 1 x 0g x g x单调递增 当 1 x 0g x g x 单调递减 则 max 1 1 21g xga 符合题意 综上 得 1g x 恒成立 实数a的取值范围为1a 方法三 易证ln1 0 xxx 1 1ln 1 a g xxax x 11 1 1 1 a xaxa x xx 9 0 x 1 20 x x 当10a 即1a 时 10g x 即 1g x 恒成立 当1a 时 1 1 21 21ga 不符题意 综上 得 1g x 恒成立 实数a的取值范围为1a 由 知 1g x 恒成立 实数a的取值范围为1a 令sin 0 1 t 考虑函数 11 1 1 ln 1 1 ln 1 1 11 11 ln 1 ln 1 2 1 11 aa p tgtgttattat tt ttata tt 22222 1111211 22 1 11 1 1 1 1 1 aa p taaa ttttttt 下证明 0p t 即证 222 211 2 1 0 1 1 1 aa ttt 即证明 2 222 11 1 0 1 1 1 t aa ttt 由 2 1 1 1 t 即证 2 22 1 1 1 0 1 1 t aa tt 又10a 只需证 2 22 1 10 1 1 t tt 即证 2224222 1 1 1 30 3 0ttttttt 显然成立 即 p t在 0 1 t 单调递增 min 0 0p tp 则 0p t 得 1 1 gtgt 成立 则对任意的 0 2 1 sin 1 sin gg 成立 方法二 由 知 1g x 恒成立 实数a的取值范围为1a 1 sin 1 sin gg 11 ln 1 sin 1 sin ln 1 sin 1 sin 1 sin1 sin aa aa 11 ln 1 sin ln 1 sin 2 sin 1 1 sin1 sin aa 2 sin ln 1 sin ln 1 sin 2 sin2 1 cos aa 10 22 1sin ln 1 sin ln 1 sin 2 sin 1 2 coscos a