高中数学精要：知识、方法、思想

1 高中数学精要 知识 方法 思想 高中数学精要 知识 方法 思想 第一部分第一部分 集合 不等式与函数集合 不等式与函数 1 在集合运算中一定要分清代表元的含义 在集合运算中一定要分清代表元的含义 理解子集的概念和证明方法 理解子集的概念和证明方法 AB 空集是任何非空集合的真子集 会计算有限集合子集的个数 空集是任何非空集合的真子集 会计算有限集合子集的个数 BA x x 注意注意 ABABAABB 举例 举例 1 定义 非空集合 A 的真子集的真子集为 A 的 孙集 集合的真子集 9 7 5 3 1 A 可以作为 A 的 孙集 的概率是 分析 分析 本例是 即时性 学习问题 要正确理解 孙集 的定义 真子集的真子集 元素为 个的集合的真子集有个 其真子集的元素最多有个 有个元素的集合的真子集n12 n 1 n1 n 最多有个元素 所以有个元素的集合的 孙集 实际上是原集合中的小于等于个元2 nn2 n 素的真子集 故其概率 31 26 125 3 5 2 5 1 5 0 5 CCCC 举例举例 2 若且 求的取值范围 2 2 xxBaxxA BA a 分析分析 集合集合 A 有可能是空集有可能是空集 当时 此时成立 当时 0 a A BA 0 a 若 则 有 综上知 aaA BA 2 a40 a4 a 2 命题有四种不同表达形式 区别否命题与命题的否定形式 命题有四种不同表达形式 区别否命题与命题的否定形式 原命题原命题 与与 逆否命题逆否命题 等价等价 能应用必要条件否定命题 应用充分条件证明命题 会证明充要条件 能应用反证法 用逆否命能应用必要条件否定命题 应用充分条件证明命题 会证明充要条件 能应用反证法 用逆否命 题 和举反例的方法证明命题真假 题 和举反例的方法证明命题真假 解答充分必要条件问题分三步 解答充分必要条件问题分三步 1 找对条件 找对条件 2 条件条件结论 结论 3 结论结论条件 条件 则 即小集合能推出 即小集合能推出 a b AxBx x 满足条件满足条件BA a b 大集合 大集合 举例 举例 1 命题 若两个实数的积是有理数 则此两实数都是有理数 的否命题是 它是 填真或假 命题 举例 举例 2 设有集合 则点的 2 2 22 xyyxNyxyxMMP 条件是点 点是点的 条件 NP MP NP 分析分析 集合 M 是圆外的所有点的集合 N 是直线上方的点的集合 显2 22 yx2 xy 2 然有 充分不必要 必要不充分 MN 举例 举例 3 已知 P 关于的不等式有解 Q 为减函数 则x13xxm 73 xf xm P 是 Q 成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3 基本不等式 基本不等式 22 2a bR abab 22 2 ab a bR ab 2a bRabab 2 2 ab a bR ab 注意注意的取值范围和等号成立的条件 多次应用基本不等式求最值要注意等号要能同时成立的取值范围和等号成立的条件 多次应用基本不等式求最值要注意等号要能同时成立 ba 举例 举例 1 已知正数满足 则的最小值为 ba 32 ba ba 11 分析 分析 此类问题是典型的 双变量问题 即是已知两变量的一个关系式 求此两变量的另一代 数式的最值 或取值范围 问题 其解决方法一是 减元 即由关系中利用一个变量表示另一 变量代入到所求关系式中 转化为一元函数的最值问题 另一方法是构造基本不等式 由 当且仅当等号成立 此时 11211121 3 32 2 333 abba ababab b a a b 2 22 3 12 3 ba 举例 举例 2 若且则的最大值是 Rba 1 4 1 22 ba 2 1 ba 4 解分式不等式要特别注意转化的等价性 通常采用 移项 解分式不等式要特别注意转化的等价性 通常采用 移项 通分通分 化所有因式中的变量系数化所有因式中的变量系数 为正 若它的符号不能确定即需要讨论 为正 若它的符号不能确定即需要讨论 序轴标根序轴标根 注意比较各个根的大小 不能比较时 注意比较各个根的大小 不能比较时 即需要讨论 即需要讨论 解绝对值不等式的关键是解绝对值不等式的关键是 去绝对值去绝对值 方法 方法 利用绝对值不等式的等价性利用绝对值不等式的等价性 or f xg xg xf xg x f xg xf xg x f xg x 平方平方 用各绝对值零点讨论用各绝对值零点讨论 举例 举例 解关于的不等式 x 1 1 0 2 a x a x 分析 分析 原不等式化为 且 注意到 1 2 0 2 1 2 0 2 axa xaxa x 2x 此不等式二次项系数含有变量 故要讨论 1 当时 不等式的解集为 2 1 a 2 xx 当时 注意到此时对应的二次函数开口向下 对应方程两根 而10 a 1 2 2 21 a a xx 3 此时不等式的解集为 3 当时 同样可得不等式的2 1 1 1 1 2 aa a2 2 1 a a 1 a 解集为 2 2 1 a a 5 5 理解函数的概念中函数值的唯一性 两个函数表示同一函数的条件 一条曲线可以作为函数 理解函数的概念中函数值的唯一性 两个函数表示同一函数的条件 一条曲线可以作为函数 图像的充要条件是曲线与任何垂直于图像的充要条件是曲线与任何垂直于 x 轴的直线至多只有一个交点 函数的定义域是函数的轴的直线至多只有一个交点 函数的定义域是函数的 立立 足之本足之本 要特别重视它的存在 要特别关注实际问题和函数运算的定义域 要特别重视它的存在 要特别关注实际问题和函数运算的定义域 举例 举例 1 函数的定义域为 则的定义域是 3 x f 1 0 2 x f xf 举例 举例 2 2008 上海高考 已知是函数上任意一点 在函 P x y 2 1 x ya 1 2 Q yx 数的图像上 f x 2 2 1 g xf xf xf 1 求的解析式 2 当时 求的单调区间 g x2a g x 6 一元二次函数最重要的性质是有对称轴 一元二次函数最重要的性质是有对称轴 一元二次函数在闭区间上一定存在最大一元二次函数在闭区间上一定存在最大 2 b x a 值与最小值 在离对称轴较远端点取到一最值值与最小值 在离对称轴较远端点取到一最值 耐克耐克 函数函数是奇函数 没有垂直于是奇函数 没有垂直于 x 轴的对称轴 轴的对称轴 当当时 函时 函 0 ba x b axy0 x 数的最小值是数的最小值是 当 当时等号成立时等号成立 时 函数递减 时 函数递减 时 函时 函ab2 a b x 0 a b x a b x 数递增数递增 遇到大题推理不能这样描述性的说明 需要按函数单调性的定义有严格的论证 但注意遇到大题推理不能这样描述性的说明 需要按函数单调性的定义有严格的论证 但注意 不要小题大做 也不要大题小做 不要小题大做 也不要大题小做 举例 举例 求函数在区间的最值 12 2 axxxf 3 1 分析 分析 求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要根据二次函数的对称轴与区间的位置关系分 三种情况进行讨论 但求开口向上的二次函数在闭区间上的最大值只要根据区间中点区间中点与对称轴之 间的关系分两种情况进行讨论即可 1 22 1 610 max aa aa xf 1 610 31 1 1 22 2 min aa aa aa xf 7 函数 函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称 奇函数对定义域内的任奇函数对定义域内的任 xfy 4 意意满足满足 有定义 则有定义 则 偶函数对定义域内的任意 偶函数对定义域内的任意满足满足x fxf x 0 f0 0 fx 奇函数的图像关于原点对称奇函数的图像关于原点对称 偶函数图像关于偶函数图像关于 y 轴对称 轴对称 fxf xfx 使用函数奇偶性的定义解题时 得到的是关于变量使用函数奇偶性的定义解题时 得到的是关于变量的恒等式而不是方程的恒等式而不是方程 能灵活运用特值能灵活运用特值x 法求参数的值 但是解答题要证明充分性 能应用举反例说明一个函数不具有奇偶性 法求参数的值 但是解答题要证明充分性 能应用举反例说明一个函数不具有奇偶性 举例举例 若函数是定义在区间上的偶函数 则此函数的3 2 2 xbaxxf 2 12 aa 值域是 8 判断函数的单调性可用有关单调性的性质 如复合函数的单调性 判断函数的单调性可用有关单调性的性质 如复合函数的单调性 但证明函数单调性最好用 但证明函数单调性最好用 定义 用定义证明函数单调性的关键步骤往往是分解因式 特别注意函数的单调区间定义 用定义证明函数单调性的关键步骤往往是分解因式 特别注意函数的单调区间 和而不并和而不并 举例 举例 2007 上海高考 已知函数 2 0 a f xxxaR x 1 判断函数的奇偶性 并说明理由 f x 2 若在区间是增函数 求实数的取值范围 f x 2 a 16a 9 奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致 偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反 奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致 偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反 解解 抽象函数不等式抽象函数不等式 多用函数的单调性 但必须注意定义域多用函数的单调性 但必须注意定义域 举例 举例 若函数是定义在区间上的偶函数 且在上单调递增 若实数 xfy 3 3 0 3 满足 求的取值范围 a 12 2 afaf a 分析 分析 因为是偶函数 等价于不等式 又此 xfy 12 2 afaf 12 2 afaf 函数在上递增 则在递减 所以 解得 0 3 3 0 2 12 3aa 211 a 1010 理解函数的最值和函数零点的概念 理解函数最值与确界的区别 理解零点存在的理论条件 理解函数的最值和函数零点的概念 理解函数最值与确界的区别 理解零点存在的理论条件 会用计算器的会用计算器的 tabletable 功能求函数零点和最值 功能求函数零点和最值 求最值的常用方法 求最值的常用方法 单调性单调性 用基本不等式 用基本不等式 数形结合 数形结合 换元法换元法 通常在用基本不通常在用基本不 等式求最值因等式求最值因 不相等不相等 而受阻时 常分析函数而受阻时 常分析函数的单调性 求二次函数的值的单调性 求二次函数的值 0 a x a xy 域 先配方找对称轴 再利用图像 单调性等 求分式函数的值域用分离变量 换元法等 域 先配方找对称轴 再利用图像 单调性等 求分式函数的值域用分离变量 换元法等 举例 举例 1 若 则 2 0 tancossin A B C D 6 0 4 6 3 4 2 3 5 分析 分析 转化为函数零点问题 举例 举例 2 已知函数的最大值不大于 又当时 求 2 2 3 xaxxf 6 1 2 1 4 1 x 8 1 xf 实数的值 a 分析 分析 则 又此二次函数开口向下 则有 6 3 2 3 2 2 aa xxf 1 6 1 6 2 2 a a 知 注意到 开口向下的二次函数在闭区间上的最小值是区间一端点1 8 1 2 1 8 1 4 1 a f f 1 a 对应的函数值 同样开口向上的二次函数在闭区间上的最大值也是区间一端点对应的函数值 举例举例 3 求函数在区间上的最大值与最小值 136 3 2 xx x xf 2 2 分析 分析 因为函数的定义域不是一切实数 用判别式法所求的结果不一定是正确 可利用换元转化 成基本不等式型 设 则 当时 取最小值tx 3 t t t t xf 4 1 4 2 5 1 t2 t t t 4 4 当时 取最大值 所以函数在区间上的最大值为 最小值为 5 t t t 4 5 29 xf 2 2 4 1 29 5 11 理解反函数概念 反函数存在的充要条件是自变量与函数值一一对应 单调函数一定存在反 理解反函数概念 反函数存在的充要条件是自变量与函数值一一对应 单调函数一定存在反 函数 反之不然 原函数与反函数的图像关于直线函数 反之不然 原函数与反函数的图像关于直线对称 求反函数的步骤 反解 对换 对称 求反函数的步骤 反解 对换 xy 定义域 定义域 反函数的定义域是原函数的值域反函数的定义域是原函数的值域 与它的反函数与它的反函数有相同的单调性 要理解反函数符号的意义 有相同的单调性 要理解反函数符号的意义 xf 1 xf 注意注意 1 bfaafb 11 ff xx xD ffxx xA 的反函数不是的反函数不是 表示 表示在在处的值 处的值 而是 而是 21 yfx 1 2 1 yfx 1 yfx 21x 1 1 2 fx y 举例 举例 1 函数的反函数是 2 1 3 10 x yx 分析 分析 要注意函数的反函数是唯一的 尤其在开平方过程中一定要注意正负号的选择 举例 举例 2 函数 若此函数存在反函数 则实数的取12 2 axxxf 4 3 1 0 xa 值范围是 分析 分析 由函数存在反函数的充要条件是定义域与值域中的元素一一对应 平行于轴的直线与函x 6 数的图像至多只有一个交点 又由二次函数图像的对称轴为直线知 12 2 axxxfax 或必存在反函数 或必不存在反函数 当时如何讨论 0 a4 a10 a43 a 3 1 a 注意到函数在区间上递减 在上递增 所以只要或即可 亦 1 0 4 3 1 4 ff 0 3 ff 即或 综上知 实数的取值范围是 3 2 5 a 2 3 1 aa 0 4 3 2 5 2 3 1 12 若函数 若函数的图像关于直线的图像关于直线对称 则有对称 则有或或 xfy ax xafxaf 等 反之亦然等 反之亦然 注意 两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对注意 两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对 2 xfxaf 称问题称问题 函数函数的图像关于直线的图像关于直线的对称曲线是函数的对称曲线是函数 函数 函数 xfy ax 2 xafy 的图像关于点的图像关于点的对称曲线是函数的对称曲线是函数 xfy ba 2 2xafby 举例举例 1 若函数是偶函数 则的图像关于 对称 1 xfy xfy 分析分析 由是偶函数 则有 即 所以 1 xfy 1 1 xfxf 1 1 xfxf 函数的图像关于直线对称 或函数的图像是由函数的图 xfy 1 x 1 xfy xfy 像向右平移一个单位而得到的 的图像关于轴对称 故函数的图像关 1 xfyy xfy 于直线对称 1 x 举例举例 2 若函数满足对于任意的有 且当时 xfy Rx 2 2 xfxf 2 x 则当时 xxxf 2 2 x xf 分析分析 由知 函数的图像关于直线对称 因而有 2 2 xfxf xfy 2 x 成立 则 所以 即 4 xfxf 2 x24 x 4 4 4 2 xxxfxf 时 2 x209 2 xxxf 13 若函数 若函数满足 满足 则则是以是以为周期的函数 注意为周期的函数 注意 xfy 0 aaxfaxf xf2a 不要和对称性相混淆不要和对称性相混淆 若函数若函数满足 满足 或或 xfy f xaf x 则则是以是以为周期的函数为周期的函数 还要注意类周期问题还要注意类周期问题 1 xf axf 0 a xf2a 举例 举例 已知函数满足 对任意 恒有成立 当 f x 0 x 2 2 fxf x 7 时 若 则满足条件的最小的正实数是 1 2 x 2f xx f a 2020 fa 分析 分析 2820202048 1024 2020 2 2 1024 2020 2 2 2020 2 2020 1010 fff 又 要使满足条件的正实数最小 此时 28 afaaaf 64 2864 a36 a 14 函数图像变换 对称变换 翻折变换 平移变换 函数图像变换 对称变换 翻折变换 平移变换 会根据函数会根据函数的图像 作出函数的图像 作出函数 xfy 的图像的图像 注意 图像变换的本 注意 图像变换的本axfyaxfyxfyxfyxfy 质在于变量对应关系的变换 所以变换一定要变在变量上 质在于变量对应关系的变换 所以变换一定要变在变量上 举例 举例 函数的单调递增区间为 1 12 log 2 xxf 分析 分析 从图像上可以看出此函数的单调递增区间是与与 1 2 1 2 3 需要注意的是 函数图像变化过程 与变化过 axfyxfyxfy 程 不同 前者是先作关于轴对称后平移 而后 axfyaxfyxfy y 者是先平移后再作关于直线对称 ax 15 研究方程根的个数 超越方程 不等式 的解 特别是含有参量的 研究方程根的个数 超越方程 不等式 的解 特别是含有参量的 二次方程根的分布 二次方程根的分布 二次函数的值域 三角函数的性质 包括值域 二次函数的值域 三角函数的性质 包括值域 含有绝对值的函数及分段函数的性质 包括值 含有绝对值的函数及分段函数的性质 包括值 域 等问题常利用域 等问题常利用分离参数 数形结合分离参数 数形结合法来解决法来解决 但必须注意的是作出的图形要尽可能准确 即但必须注意的是作出的图形要尽可能准确 即 找准特殊的点 函数零点 最值点 拐点等 找准特殊的点 函数零点 最值点 拐点等 递增递减的区间 最值等 递增递减的区间 最值等 举例 举例 已知函数 若不等式的解集不为空集 则1 12 axxgxxf xgxf 实数的取值范围是 a 分析 分析 不等式的解集不为空集 亦即函数的图像上有点在函数 xgxf xfy 的图像的上方 xgy 函数的图像是轴上方的半12 xxfx 支抛物线 函数的图像是过点1 axxg 斜率为的直线 当时直线与抛物线相切 由图像知 注意图中的 1 0 a21a 12 a 虚线也满足题义 16 一元二次函数 一元二次不等式 一元二次方程是相互关联的知识 一元二次函数 一元二次不等式 一元二次方程是相互关联的知识 理解不等式的解集由方理解不等式的解集由方 程的根刻画的涵义 一般地 不等式解集区间的端点值是对应方程的根 或增根 程的根刻画的涵义 一般地 不等式解集区间的端点值是对应方程的根 或增根 能应用方程 能应用方程 x y O 2 1 1 1 l 8 不等式和函数的思想解决问题 注意它们之间的相互转化 不等式和函数的思想解决问题 注意它们之间的相互转化 举例举例 1 已知关于的不等式的解集是 则实数的值为 x5 3 ax 4 1 a 分析 分析 解集端点值是方程的根 则 得 知 4 1 5 3 ax 5 34 5 3 a a 2 1 2 82 或 或 a a 2 a 举例 举例 2 设为正数 若有解 则的取值范围是 a blg lg 10axbx a b 1717 是恒成立 还是有解 要分清楚 注意有解与恒成立是反着的 通常转化为求某函数的最大 是恒成立 还是有解 要分清楚 注意有解与恒成立是反着的 通常转化为求某函数的最大 值 或最小值 值 或最小值 可以考虑 可以考虑 i i 函数值域解法 函数值域解法 iiii 常参数分离法 常参数分离法 iiiiii 数形结合法 数形结合法 axfa值值 值值值 xf i i 恒成立恒成立 iiii 恒成立恒成立 af x max afx af x min afx iiiiii iviv 有解有解 min xfaxfa 值值 xfa max xfa 但是若该参数分离不出来 或很难分离 但是若该参数分离不出来 或很难分离 那么也可以整体研究函数 那么也可以整体研究函数的最值的最值 特别注特别注 xafy 意 双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量 另一个作为参数意 双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量 另一个作为参数 举例 举例 1 1 已知不等式对于 恒成立 求实数的取值范围 0224 xx a 1 xa 2 若不等式对于恒成立 求实数的取值范围 0224 xx a 3 ax 分析 分析 1 由得 对于 恒成立 因 所0224 xx a x x a 2 2 2 1 x 2 1 2 x 以 当时等号成立 所以有 22 2 2 2 x x 22 x 22 a 2 注意到对于恒成立是关于的一次不等式 不妨设0224 xx a 3 aa 则在上单调递减 则问题等价于 所以 24 2 xx aaf af 3 a0 3 f 或 则取值范围为2202234 xxx 12 x x 1 0 举例举例 2 若关于的不等式的解集不是空集 则实数的取值范围是 xaxx 2 1 a 三角形不等式 三角形不等式 bababa 1 2 1 2 1 xxxx 1 a 18 从反函数 对称性上认识幂 指 对函数 要会在同一坐标系中画简单有代表性的幂 指 从反函数 对称性上认识幂 指 对函数 要会在同一坐标系中画简单有代表性的幂 指 9 对函数的图像 认识它们的性质 如 对函数的图像 认识它们的性质 如 1 3 3 yxyx 1 2 2 yxyx 21 2 1 2 log log 2 x x yyyx yx 10 lg ln xx yyeyx yx 换底公式 换底公式 运算公式 运算公式 log log log c a c b b a 1 logba loglog m n a a n bb m ba b a log 举例举例 已知函数在 0 1 上是减函数 则实数的取值范围是 2 logaxy a a 第二部分第二部分 数列与极限数列与极限 1 证明某数列是等差 比 数列 通常利用定义证明 证明等比数列要说明 证明某数列是等差 比 数列 通常利用定义证明 证明等比数列要说明 1n n a q a 0 也可以证明连续三项成等差 比 数列 也可以证明连续三项成等差 比 数列 即对于任意的自然数即对于任意的自然数有 有 1 0a nN n 12 2 nnn aaa 2 12 0 nnnn aaa a 已知等差 等比数列求参数值 可以根据定义 先用前三项求出参数值 再证明充分性 也已知等差 等比数列求参数值 可以根据定义 先用前三项求出参数值 再证明充分性 也 可以用比较法比较通项 前可以用比较法比较通项 前 n 项和 但解答题一定要说明充分性 项和 但解答题一定要说明充分性 举例 举例 数列满足 2 2 1 11 Nn a a aa n n n n a 1 求证 数列是等差数列 2 求的通项公式 1 n a n a 分析 分析 注意是到证明数列是等差数列 则要证明是常数 而 所 1 n a nn aa 11 1 n n n a a a2 21 1 以 即数列是等差数列 又 则 所以 2 111 1 nn aa 1 n a 1 1 1 a2 1 1 2 1 1 1 n n an 1 2 n an 2 注意等差 等比的类比 体会类比的思想和方法 等差数列的性质 注意等差 等比的类比 体会类比的思想和方法 等差数列的性质 nm aanm d 若 若 则 则 成等成等 nm aa d nm 2nlkpq 2 nlkpq aaaaa nnnnn SSSSS 232 差 差 10 等比数列性质 等比数列性质 若 若 则 则 n m nm aa q 1 n m n m a q a 2nlkpq 成等比 成等比 2 nlkpq aa aaa nnnnn SSSSS 232 举例 举例 1 数列是等比数列 且公比为整数 则的值 n a124 512 8374 aaaaq 10 a 为 分析 分析 由得或 又此数列的公比为整 8374 aaaa 4 128 512 124 8 3 83 83 a a aa aa 128 4 8 3 a a 数 所以公比 则 128 4 8 3 a a 2 q512 2 810 qaa 举例 举例 2 已知数列是等差数列 是其前项的和 则 n a n Sn20 8 84 SS 12 S 分析 分析 注意到是等差数列的连续 4 项的和 它们成等差数列 可以得到 812484 SSSSS 所以 16 812 SS36 12 S 注意注意 等差数列与正项等比数列之间存在的类比关系可以由等差数列与等比数列的性质来揭示 若数列是正项等比数列 记 则数列是等差数列 反之若 n a 1 0 log mmab nmn n b 数列是等差数列 记 则数列是等比数列 n a 0 n a n bmm n b 3 等差数列当首项 等差数列当首项且公差且公差 前 前 n 项和存在最大值项和存在最大值 当首项当首项且公差且公差 0 1 a0 d0 1 a0 d 前前 n 项和存在最小值项和存在最小值 求等差数列前求等差数列前项和项和的最值通常分析单调性 还可以利用不等式组的最值通常分析单调性 还可以利用不等式组n n S 来确定来确定的值 也可以利用等差数列的前的值 也可以利用等差数列的前项的和是项的和是的二次函数 常数项为的二次函数 常数项为 1 0 0 0 0 n n a a nnn 0 转化成函数问题来求解 转化成函数问题来求解 举例 举例 1 若是等差数列 首项 则 1 使前 n a0 0 0 20072006200720061 aaaaa 项和最大的自然数是 2 使前项和的最大自然数 n n Snn0 n S n 分析 分析 由条件可以看出 可知最大 则使最大的自然数为 2006 由0 0 20072006 aa 2006 S n S 知 所以0 20072006 aa0 40121 aa0 2 4012 40121 4012 aa S 20074013 4013 aS 11 则使的最大自然数为 4012 0 4013 S0 n S 举例 举例 2 在等差数列中 满足且是数列前项的和 若取得最大 n a 74 73aa n Sa 0 1 n n S 值 则 n 分析 分析 首项 公差 比 是解决等差 比 数列的最基本出发点 等差 比 数列的运算多可以 通过首项与公差 比 来解决 由知 则 74 73aa 111 33 4 6 7 3 3addada 当时 当时 所以 1 1 1 33 437 33 1 4 a nan aan 9 n0 n a10 n0 n a9 n 4 形如 形如 的递推数列 求通项用累加法 形如 的递推数列 求通项用累加法 形如 的递推数列 求的递推数列 求 nn aa 1 nf 1 ng a a n n 通项用累乘法通项用累乘法 倒序相加 错位相减 裂项法等求前倒序相加 错位相减 裂项法等求前项和的方法要熟悉 注意分段求和问题与项和的方法要熟悉 注意分段求和问题与n 奇偶项求和问题 奇偶项求和问题 举例 举例 数列满足 求数列的通项公式 n a 2 3 1 1 1 1 naaa n n n n a 分析 分析 解决这种递推数列的思想方法实质上是等差 等比数列求通项公式的思想方法 由题知 相加得 又 2 3 3 3 3 1 12 3 32 2 21 1 1 n aa aa aa aa n nn n nn n nn 2 31 3 333 1 21 1 n nn n aa 所以 而满足此式 则 1 1 a 2 2 13 na n n1 a 2 13 Nna n n 4 等差数列前 等差数列前项和项和 等比数列前 等比数列前项的和项的和n 2 1 1 1 222 n n n naad Snnadncn n 在求和过程中注意讨论 在求和过程中注意讨论 等差数列满足等差数列满足 等比数列满足 等比数列满足 1 1 1 1 1 1 q q qa qna S n n 21 21 n n S a n 1 n n qSAqA 举例 举例 1 数列是等比数列 前项和为 且 求的取值范围 n an n S 1 1 lim a Sn n 1 a 分析 分析 注意到等比数列的公比是不为零的常数 前项和存在的前提条件是 且n1 q 12 知 则 有 则 q a Sn n 1 lim 1 1 1 1 1aq a qa 1 2 1 2 1 1 0 2 1 a 2 1 1 0 1 a 0 1 1 2 举例 举例 2 数列是等比数列 首项 公比 求的值 n a1 1 a1 q n n S 1 lim 分析 分析 当时 此时 1 qnnaSn 1 0 1 lim 1 lim nS n n n 当时 则 1 q q q S n n 1 1 n n S 1 lim 1 1 1 lim 0 1 1 n n qq q qq 5 等差数列 等比数列的 等差数列 等比数列的 基本量基本量 是首项 公差 比 是首项 公差 比 当不知如何用性质求解时 可以把问 当不知如何用性质求解时 可以把问 题转化成题转化成 基本量基本量 解决解决 学会用任意两项关系 若学会用任意两项关系 若 是等差数列 则对于任意自然数 是等差数列 则对于任意自然数 n a 有有 若 若 是等比数列 则对于任意的自然数 是等比数列 则对于任意的自然数 有 有nm dmnaa mn n a nm 在这两关系式中若取在这两关系式中若取 这就是等差 比 数列的通项公式 这就是等差 比 数列的通项公式 mn mn qaa 1m 举例 举例 1 已知数列是等差数列 首项 且 若此数列的前项和为 n a0 1 a053 75 aan 问是否存在最值 若存在 为何值 若不存在 说明理由 n S n Sn 分析 分析 对于本题来说 等差数列的基本性质用不上 可以化归为首项与公差来解决 设此数列的 公差为 则 即 由知 所以数列d0 6 5 4 3 11 dada 1 21 4 ad 0 1 a0 d 是递减数列 故有最大值而无最小值 由等差数列的通项公式知 n a n S 当时 当时 111 21 425 21 4 1 a n anaan 6 n0 n a7 n0 n a 所以最大 综上知 当时 最大 不存在最小值 6 S6 n n S 举例举例 2 已知正项等比数列中 首项 且 若此数列的前项积为 n a1 1 a1 5 7 3 5 aan n T 问是否存在最值 说明理由 n T 分析 分析 与举例 1 联系起来 这是数列中的 类比 问题 其解决的思想方法是一样的 对于单调正 项数列 前项积最大 小 则应满足 n n T 1 1 1 1 11 n n n n a a a a 13 设此数列公比为 则 则 q1 46 1 34 1 qaqa21 4 1 aq21 425 1 1 21 4 11 n n n aaaa 由知 时 时 所以当时 最大 没有最小值 1 1 a6 n7 1 nan1 n a6 n 6 T n T 6 已知数列的前 已知数列的前项和项和 常用换下标法求数列的通项公式 要注意分段 常用换下标法求数列的通项公式 要注意分段n n S 当当满足满足时 才能用一个公式表示时 才能用一个公式表示 2 1 1 1 nSS nS a nn n1 a 2 1 nSSa nnn 举例 举例 已知数列的前项和 若是等差数列 求的通项 n anannaSn 2 2 n a n a 公式 分析 分析 证明一个数列是等差数列或是等比数列 要从等差 等比数列的定义出发 等差 等比数 列的性质不能作为证明的理由 由知 时 当时 annaSn 2 2 1 n12 11 aSa2 n 1nnn SSa 当时 而 若数列是等差 3 2 2ana 2 n 2 2 1 aaa nn 4 12 aaa n a 数列 则 所以 则 4 2 2 aa0 a34 nan 7 一次线性递推关系 数列 一次线性递推关系 数列满足 满足 是常数 是最重要的递是常数 是最重要的递 n acbacabaaa nn 11 推关系式 通过不动点换元法转化成等比数列推关系式 通过不动点换元法转化成等比数列求解求解 100nn axb ax 举例 举例 已知数列满足 求此数列的通项公式 n a 12 1 11 Nnaaa nn 分析分析 由得 知数列是等比数列 首项为 2 公比为12 1 nn aa 1 21 1 nn aa 1 n a 2 所以 知 n n a21 12 n n a 8 在解决数列应用题时 要有等差 等比模型的意识 注意选择好研究对象 即选择好以 在解决数列应用题时 要有等差 等比模型的意识 注意选择好研究对象 即选择好以 哪哪 一个量一个量 作为数列的作为数列的 项项 并确定好以哪一时刻的量为第一项 对较简单的问题可直接寻找通 并确定好以哪一时刻的量为第一项 对较简单的问题可直接寻找通 项公式 对较复杂的问题可先研究数列的递推公式 然后再求通项项公式 对较复杂的问题可先研究数列的递推公式 然后再求通项 举例 举例 某企业去年底有资金积累万元 根据预测 从今年开始以后每年的资金积累会在原有a 的基础上增长 20 但每年底要留出万元作为奖励金奖给职工 企业计划用 5 年时间使资金积b 累翻一番 求的最大值 b 分析 分析 与年数相关的应用题在解答过程中要注意项数与年数之间的关系 在设数列时就要指明 特别注意年底 年初的不同 设从今年开始每年底该企业的资金积累为万元 则 万元 n ababaa 4 5 201 1 则 所以数列是以babaa nnn 4 5 201 1 4 4 5 4 1 baba nn 4 ban 14 为首项 为公比的等比数列 所以 baba5 4 5 4 1 4 5 1 4 5 5 4 5 4 n n baba 由题知 则 求得 1 4 5 5 4 5 4 n n babaaa2 5 abab2 2 1 52 1 4 4 即的最大值大约为 8 aab08 0 9950 763 ba 9 理解极限的描述性定义 极限是 理解极限的描述性定义 极限是 无限运动的归宿无限运动的归宿 和前有限项无关和前有限项无关 理解理解的涵义 的涵义 lim n n S 无穷数列所有 各项 项的和 无穷数列所有 各项 项的和 前前项和项和的极限的极限 理解无穷等比数列各项和存在的条件理解无穷等比数列各项和存在的条件n n S 和算法 重要极限要理解 和算法 重要极限要理解 注意注意存在与存在与 11 1 0 1 1 lim qq q q qn n 或不存在 n n q lim 的区别 的区别 0lim n n q 举例 举例 1 1 求值 2 若 则 4 2 2 lim 2 a a a nn nn n 1 43 2 lim 2 n bnan n ab 分析 分析 对于指数型的分式型极限 一般是分子 分母同除以幂底数绝对值较大的幂 这样可以求 出极限 1 当时 原式 当时 原式 2 a1 2 1 1 2 lim n n na a 2 a1 1 2 2 1 lim n n n a a 2 分析 分析 对于分子分母是关于的整式的分式型极限 若分子的最高的幂指数大于分母的最n 高的幂指数 则此式极限不存在 当分子的最高的幂指数与分母的最高的幂指数相同时 极限是 分子 分母的最高次幂的系数比 当分子的最高的幂指数小于分母的最高的幂指数时 极限是零 注意到此式极限为 1 是存在的 由上分析知 所以 1 3 0 b a3ab 举例 举例 2 已知 ABC 的顶点分别是 记 ABC 的外接 0 2 4 2 0 2 0 Nn n C n B n A 圆面积为 则 n S n n Slim 分析 分析 本题若要先求出三角形 ABC 的面积后再求极限则是 漫长 的工作 注意到当 时 A B C 点的变化 不难看出 ABC 被 压扁 成一条长为 4 的线段 而此线段就 n 是此三角形外接圆的直径 从而有 4lim n n S 第三部分第三部分 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线 1 直线的倾斜角是直线向上方向与 直线的倾斜角是直线向上方向与轴正方向的夹角 当直线是轴正方向的夹角 当直线是轴或与轴或与轴平行时 直线的轴平行时 直线的xxx 倾斜角是倾斜角是 0 直线倾斜角的范围是 直线倾斜角的范围是 当直线与当直线与轴不垂直时 倾斜角的正切值称为直线轴不垂直时 倾斜角的正切值称为直线 0 x 15 的斜率的斜率 直线的方向向量直线的方向向量 倾斜角为 倾斜角为 直线的斜率为 直线的斜率为 则 则 与与的关系是 的关系是 dm n kd k 0 n m km 不存在 m 0 tan 0 22 2 k 不存在 arctan 0 arctan 0 kk kk 举例 举例 已知直线 的方程为且 不经过第二象限 则直线 的倾斜角l 0 0 abcbyaxll 大小为 A B C D arctan a b arctan a b arctan a b arctan a b 分析 分析 直线 的斜率 又 所以此直线的倾斜角为 选 B l b a k 0 karctank 2 直线方程的几种形式及缺点 直线方程的几种形式及缺点 1 点法式 点法式 两个参数 两个参数 2 点 点 00 0a xxb yy 斜式斜式 过定点 过定点与与轴不垂直 轴不垂直 3 斜截式 斜截式 在 在轴上轴上 00 xxkyy 00 yxxbkxy y 的截距为的截距为与与轴不垂直 轴不垂直 4 截距式 截距式 在 在轴轴轴上的截距分别为轴上的截距分别为与坐标轴不与坐标轴不bx1 b y a x xyba 平行并且不过坐标原点平行并且不过坐标原点 直线在两坐标轴上的截距相等 则此直线的斜率为 直线在两坐标轴上的截距相等 则此直线的斜率为 1 或此直线过原 或此直线过原 点点 举例 举例 与圆相切 且在两坐标轴上截距相等的直线有 1 2 1 22 yx A 2 条 B 3 条 C 4 条 D 5 条 分析 分析 注意到截距与距离之间的区别 截距指的是曲线 直线 与坐标轴交点的一个坐标 它有 正负 也可以是 0 之分 选 B 3 求直线的方程时要特别注意直线的斜率是否存在 不确定时要注意分类讨论 漏解肯定是斜 求直线的方程时要特别注意直线的斜率是否存在 不确定时要注意分类讨论 漏解肯定是斜 率不存在的情况率不存在的情况 要明确解析几何是要明确解析几何是 用代数方法解决几何问题用代数方法解决几何问题 的道理 所以做解析几何问题的道理 所以做解析几何问题 不要不要 忘形忘形 当直线过当直线过轴上的定点轴上的定点时 若直线不是时 若直线不是轴 则此直线方程可以设成轴 则此直线方程可以设成 x 0 aAxamyx 这样可以避免讨论直线斜率是否存在 弦长公式 这样可以避免讨论直线斜率是否存在 弦长公式 22 12 11ABkxxk a 2 12 1myy 举例 举例 1 过点与坐标原点距离为 2 的直线方程是 3 2 P 分析 分析 若仅用点斜式设出直线方程 再用点到直线的距离来求解 则会漏解 这是因为在设立方 16 程的时候就排除了斜率不存在的情况 考虑到直线满足题意 故所求直线有两条 其方程2 x 为 与 026125 yx2 x 举例 举例 2 直线 过抛物线的焦点与抛物线交于 A B 两点 O 是抛物线的顶点 则 ABO 的形l 状是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不确定与抛物线的开口大小有关 分析 分析 不妨设此抛物线的方程为 过焦点的直线 代入抛物线方程得 pxy2 2 2 p myxl 设 则 02 22 ppmyy 2211 yxByxA 2 21 pyy p y p y xx 22 2 2 2 1 21 所以为钝角 选 C 4 2 p 0 4 3 2 2121 pyyxxOBOAAOB 4 两直线位置关系讨论的主要依据是系数行列式 会用回代法探讨两直线位置关系 两直线位置关系讨论的主要依据是系数行列式 会用回代法探讨两直线位置关系 是是 21 ll 特殊相交关系特殊相交关系 掌握点到直线的距离公式 两平行直线之间的距离公式 两直线的夹角公式掌握点到直线的距离公式 两平行直线之间的距离公式 两直线的夹角公式 举例 举例 直线 过点与以为端点的线段 AB 有公共点 则直线 斜率的l 3 2 P 3 1 2 3 BAl 取值范围是 分析 分析 直线 把平面上的点分成了三部分 点在直线上 点在直线两l0 yxf0 yxf 侧或 若 与线段 AB 有公共点 A B 两点在直 0f x y 0f x y 2211 yxByxAl 线 的两侧或有一点在直线上 则 若 与 AB 没有公共点 A B 两l0 2211 yxfyxfl 点在直线 的同侧 则 这样可很方便地求出直线 的斜率的取值范围 l0 2211 yxfyxfl 5 点 点 A B 关于直线关于直线 对称即对称即 是线段是线段 AB 的垂直平分线 垂直数量积为的垂直平分线 垂直数量积为 0 平分说明 平分说明 AB 的中的中ll 点在点在 上上 特别注意 当对称轴所在直线的斜率为特别注意 当对称轴所在直线的斜率为 1 或 或 1 时 对称点的坐标可用代入法求得时 对称点的坐标可用代入法求得 即即l 点点关于直线关于直线的对称点是的对称点是 点 点关于直线关于直线 00 yx0 cyx 00 cxcy 00 yx 的对称点是的对称点是 0 cyx 00 cxcy 举例 举例 1 将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点与点重合 若点与点 0 2 A 0 6 B 0 3 C D 重合 则点 D 的坐标为 分析 分析 实际上这是一个对称的问题 对称轴是 AB 的垂直平分线 D 点是 Cl052 yx 点关于直线 的对称点 l 5 28 5 1 D 17 举例 举例 2 抛物线 C1 关于直线对称的抛物线为 C2的方程为 xy2 2 02 yx 6 确定圆的方程可以利用圆的标准方程 确定圆的方程可以利用圆的标准方程 即确定圆心坐标与半径 也 即确定圆心坐标与半径 也 222 rbyax 可以利用圆的一般方程可以利用圆的一般方程 即确定系数 即确定系数 D E F 要注意的是方程要注意的是方程0 22 FEyDxyx 表示圆的充要条件是表示圆的充要条件是 0 22 FEyDxyx04 22 FED 举例 举例 二次方程表示圆的充要条件是 0 22 FEyDxCyBxyAx 分析 分析 注意到圆的一般方程中没有这样的项 且二次项系数都为 1 则必有 且xy0 B 此时方程可以化成 与圆的一般方程比较可以得出 0 CA0 22 A F y A E x A D yx 其充要条件为 04 22 A F A E A D 04 0 0 22 AFEDBCA 7 直线与圆的位置关系主要是利用圆心到直线的距离 直线与圆的位置关系主要是利用圆心到直线的距离来判断来判断 当当时 直线时 直线 L 与圆与圆 C 相相drd 离 当离 当时 直线时 直线 L 与圆与圆 C 相切 当相切 当时 直线时 直线 L 与圆与圆 C 相交相交 rd rd 垂径定理 垂直弦的直径平分弦并且平分弦所在的弧 求直线被圆所截的弦长可用圆半径 垂径定理 垂直弦的直径平分弦并且平分弦所在的弧 求直线被圆所截的弦长可用圆半径 弦心距 弦长一半组成的直角三角形来求解 要对得住圆弦心距 弦长一半组成的直角三角形来求解 要对得住圆 举例 举例 1 已知点是圆外的一点 则直线与圆的位置关系 ba 222 ryx 2 rbyax 是 A 相离 B 相切 C 相交且不过圆心 D 相交且过圆心 分析 分析 点在圆外 则 圆心到直线的距离 ba 222 ryx 222 rba 2 rbyax 又 选 C r ba r d 22 2 0 d 注意 注意 若点是圆上的一点 则直线是圆过此点