江苏省2011年高中数学 33《一元二次方程根的分布》学案 苏教版必修1

用心 爱心 专心 1 第第 3333 课时课时 一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布 学习目标 1 理解一元二次方程根的分布情况 2 在利用二次函数的图象讨论一元二次方程根的分布的情况的过程中 体会数形结合这一 重要的数学思想 课前导学 设方程的不等两根为且 相应的二次函数为 2 00axbx ca 12 x x 12 xx 方程的根即为二次函数图象与轴的交点 它们的分布情况见下 2 0f xaxbxc x 表 表一 请独立完成 分布情况 两个负根即两根都小于 0 12 0 0 xx 两个正根即两根都大 于 0 12 0 0 xx 一正根一负根即一个 根小于 0 一个大于 0 12 0 xx 大致图象 0 a 得出的结论 0 0 2 00 b a f 0 0 2 00 b a f 00 f 大致图象 0 a 得出的结论 0 0 2 00 b a f 0 0 2 00 b a f 00 f 用心 爱心 专心 2 课堂活动 一 建构数学 一 建构数学 表二 探究讨论 分布 情况 两根都小于即 k kxkx 21 两根都大于即 k kxkx 21 一个根小于 一个大k 于即 k 21 xkx 大致图象 0 a得出的结论 0 2 0 b k a f k 0 2 0 b k a f k 0 kf 大致图象 0 a 综合结论 不讨论 a 0 0 2 00 b a a f 0 0 2 00 b a a f 00 fa k k k 用心 爱心 专心 3 得出的结论 0 2 0 b k a f k 0 2 0 b k a f k 0 kf 综合结论 不讨论 a 0 2 0 b k a a f k 0 2 0 b k a a f k 0 kfa 表三 探究讨论 分布情况 两根都在 内 nm 两根有且仅有一根在 内 nm 图象有两种情况 只画了一种 一根在内 另一 nm 根在内 qp qpnm 大致图象 0 a得出的结论 0 0 0 2 f m f n b mn a 0 nfmf 或 0 0 0 0 f m f n f p f q 0 0 f m f n fp f q 大致图象 0 a 用心 爱心 专心 4 得出的结论 0 0 0 2 f m f n b mn a 0 nfmf 或 0 0 0 0 f m f n f p f q 0 0 f m f n fp f q 综合结论 不讨论 a 0 nfmf 0 0 qfpf nfmf 根在区间上的分布还有一种情况 两根分别在区间外 即在区间两侧 nm 图形分别如下 需满足的条件是 12 xm xn 1 时 2 时 0a 0 0 f m f n 0a 0 0 f m f n 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明 1 两根有且仅有一根在内有以下特殊情况 nm 1 若或 则此时不成立 但对于这种情况是知道了方 0f m 0f n 0f mf n A 程有一根为或 可以求出另外一根 然后可以根据另一根在区间内 从而可以求mn nm 出参数的值 如方程在区间上有一根 因为 所以 2 220mxmx 1 3 10f 用心 爱心 专心 5 另一根为 由得即为所求 2 2212mxmxxmx 2 m 2 13 m 2 2 3 m 2 方程有且只有一根 且这个根在区间内 即 此时由可以求出参数的 nm 0 0 值 然后再将参数的值带入方程 求出相应的根 检验根是否在给定的区间内 如若不在 舍去相应的参数 例如例如方程有且一根在区间内 求的取值范围 2 4260 xmxm 3 0 m 分析分析 由即得出 由即 300ff A 141530mm 15 3 14 m 0 得出或 当时 根 即 2 164 260mm 1m 3 2 m 1m 23 0 x 满足题意 当时 根 故不满足题意 综上分析 得出1m 3 2 m 33 0 x 3 2 m 或 15 3 14 m 1m 二 应用数学二 应用数学 例 1 关于 x 的方程有两实根 且一个大于 1 一个小于 1 0142 3 2 2 mxmx 求 m 的取值范围 关于 x 的方程有两实根在内 求 m 的取值范围 0142 3 2 2 mxmx 4 0 关于 x 的方程有两实根在外 求 m 的取值范围 0142 3 2 2 mxmx 3 1 关于 x 的方程有两实根 且一个大于 4 一个小于 4 求0142 3 2 2 mxmmx m 的取值范围 思路分析思路分析 按题意画函数图像 由图像列出不等式 解 解 令 f x 142 3 2 2 mxmx 对应抛物线开口向上 方程有两实根 且一个大于 1 一个小于 1 等价于 f 1 0 即 解得 01421 3 212 mm 4 21 m 据题意 得 5 5 27 15 37 0142 3 816 0142 0 142 4 3 4 4 2 3 2 0 0 4 0 0 2 m mm m mm m mm m f f 或 由图知 原命题等价于 用心 爱心 专心 6 8 41 4 21 0 3 0 1 m m f f 4 21 m 令 g x 据题意 得142 3 2 2 mxmmx 0 4 0 0 4 0 g m g m 或 可以解得 0 13 19 m 解后反思解后反思 讨论一元二次方程根的分布问题的解题的步骤 1 根据条件画出图象 2 根 据图象写出字母参数必须满足的条件 3 解不等式组 画图像时要注意开口方向的确定 例 2 当关于的方程的根满足下列条件时 求实数的取值范围 xa 1 方程的一个根在区间上 另一根在区间上 22 7 13 20 xaxaa 0 1 1 2 2 方程至少有一个实根小于 02 2 axx1 解 1 设 则方程一个根在上 另一根在 22 7 13 2f xxaxaa 0 1 上等价于 1 2 2 2 2 20 0 0 1 0280 2 0 30 aa f faa f aa 12 24 03 aa a aa 或 或 或 21a 34a 2 设 若方程的两个实根都小于 则有 2 2f xxax 1 2 80 2 22 2 12 2 3 1 0 a aa a a a f 或 2 23a 若方程的两个根一个大于 另一个小于1 则有 1 1 30fa 3a 若方程的两个根中有一个等于 由根与系数关系知另一根必为 1 2 1 2a 3a 综上 方程至少有一实根小于时 1 2 2a 三 理解数学三 理解数学 1 已知二次方程有一正根和一负根 求实数的取值范 2 21210mxmxm m 围 解 由 即 从而得即为所求的范 2100mf A 2110mm 1 1 2 m 围 用心 爱心 专心 7 2 已知方程有两个不等正实根 求实数的取值范围 2 210 xmxm m 解 由 0 1 0 2 2 00 m f A 2 180 1 0 mm m m 32 232 2 0 mm m 或 或即为所求的范围 032 2m 32 2m 课后提升 1 若方程在内恰有一解 则的取值范围是 2 210axx 0 1a1a 2 已知二次函数与轴有两个交点 一个大于 1 一 2 22433ymxmxm x 个小于 1 求实数的取值范围 m 解 由 即 即为所求的范围 210mf A 2210mm A 1 2 2