DSP研究性学习报告频谱计算

数字信号处理 课程研究性学习报告 姓名 学号 同组成员 指导教师 陈后金 时间 2011 5 25 DFT近似计算信号频谱专题研讨 目的目的 1 掌握利用 DFT 近似计算不同类型信号频谱的原理和方法 2 理解误差产生的原因及减小误差的方法 3 培养学生自主学习能力 以及发现问题 分析问题和解决问题的能力 研讨题目研讨题目 基本题基本题 1 利用 DFT 分析 x t Acos 2 f1t Bcos 2 f2t 的频谱 其中 f1 100Hz f2 120Hz 1 A B 1 2 A 1 B 0 2 题目分析题目分析 分析题目 给出合适的 DFT 参数 由 DFT 结果可得 通过对不同抽样频率 不同的窗函数对信号的 DFT 结果可以看出 在对信号做 DFT 时由于对信号进行截短 因此会产生频谱泄漏 要想从频谱中很好的分辨出个频率分量 需要 考虑时域抽样频率 所加的窗函数 窗函数的长度 以及 DFT 的点数等参数对结果的影响 因为 f1 2 f2 即 fsam 240Hz f f2 f1 20 N c fsam f 仿真结果仿真结果 1 A B 1 矩形窗 1 fsam 240Hz N 20 L 512 矩形窗 2 fsam 600Hz N 40 L 512 Hamming 窗 1 N 40 L 512 fs 600 Hamming 窗 2 N 120 L 512 fs 600 2 A 1 B 0 2 矩形窗 N 100 L 512 fs 600 hamming窗 N 100 L 512 fs 600 结果分析结果分析 对实验结果进行分析比较 回答 加窗对谱分析有何影响 如何选择合适的窗函数 选择合适 DFT 参数的原则 在 1 中进行矩形窗仿真时 在 240hz 时出现了混叠现象 进行 hamming 窗仿真时 在保证抽样 频率相同的条件下 取不同的长度也 40 120 其中 N 40 不满足 N 60 的要求 我们可以看到出 现了混叠 而 N 120 时 仿真效果良好 在 2 的条件下进行仿真时 我们选取了相同的 N L fsam 值 但是分别使用了矩形窗和 hamming 窗 使用矩形窗时 幅度较小的峰值与旁瓣的幅度接近 甚至难以区分 效果不理想 使 用 hamming 窗后 泄露现象被有效遏制 所以可以清楚区分主瓣 旁瓣 综上所述 在选择参数进行 DFT 变换时 应该保证抽样频率满足抽样定理 并且能大于最小抽样 值 3 5 倍 长度选择保证 N c fsam f 当 A 和 B 的取值相差比较小时 可选择矩形窗或者 hamming 窗 当 A 和 B 的取值相差比较大时 应该选择加特殊的窗 如 hamming 窗 发现问题发现问题 专题研讨或相关知识点学习中发现的问题 按照理论分析最小抽样频率只需要满足 2fmax 就可以满足抽样定理 但在仿真中发现该频率无法满 足要求 频谱发生严重的混叠 所以抽样频率应为最小抽样频率 3 5 倍 仿真程序仿真程序 1 矩形窗 1 N 20 L 512 f1 100 f2 120 fs 240 T 1 fs ws 2 pi fs t 0 N 1 T x cos 2 pi f1 t cos 2 pi f2 t X fft x L w ws 2 0 L 1 ws L 2 pi plot w abs X ylabel 矩形窗 1 矩形窗 2 N 40 L 512 f1 100 f2 120 fs 600 T 1 fs ws 2 pi fs t 0 N 1 T x cos 2 pi f1 t cos 2 pi f2 t X fft x L w ws 2 0 L 1 ws L 2 pi plot w abs X ylabel 矩形窗 2 hamming 窗 1 N 40 L 512 f1 100 f2 120 fs 600 T 1 fs ws 2 pi fs t 0 N 1 T x cos 2 pi f1 t cos 2 pi f2 t wh hamming N x x wh X fft x L w ws 2 0 L 1 ws L 2 pi plot w abs X ylabel hamming1 hamming 窗 2 N 120 L 512 f1 100 f2 120 fs 600 T 1 fs ws 2 pi fs t 0 N 1 T x cos 2 pi f1 t cos 2 pi f2 t wh hamming N x x wh X fft x L w ws 2 0 L 1 ws L 2 pi plot w abs X ylabel hamming2 2 矩形窗 N 100 L 512 f1 100 f2 120 fs 600 T 1 fs ws 2 pi fs t 0 N 1 T x cos 2 pi f1 t 0 2 cos 2 pi f2 t X fft x L w ws 2 0 L 1 ws L 2 pi plot w abs X ylabel 2 矩形窗 hamming 窗 N 100 L 512 f1 100 f2 120 fs 600 T 1 fs ws 2 pi fs t 0 N 1 T x cos 2 pi f1 t 0 2 cos 2 pi f2 t wh hamming N x x wh X fft x L w ws 2 0 L 1 ws L 2 pi plot w abs X ylabel 2 hamming 窗 研讨题目研讨题目 基本题基本题 2 试用 DFT 近似计算高斯信号的频谱抽样值 高斯信号频谱的理论值为 exp 2 dttg 4 exp j 2 dd G 通过与理论值比较 讨论信号的时域截取长度和抽样频率对计算误差的影响 M2 6 题目分析题目分析 连续非周期信号频谱计算的基本方法 计算中出现误差的主要原因及减小误差的方法 对于连续非周期信号 要对其进行频谱计算 需要先经过抽样 变为离散信号 再对离散信号的频 谱在一个周期内抽样 即做 DFT 由于题目所给信号时域无线长 所以为了在抽样后频谱不混叠 对信号进行截短即加抗混叠滤波器后在进行频谱分析 因为加滤波器后照成的误差远小于频谱混叠 照成的误差 在对信号抽样时还需要考虑抽样频率 以使抽样后所得频谱不会发生混叠 仿真结果仿真结果 结果分析结果分析 由于信号及频谱都有理论表达式 在进行误差分析时希望给出一些定量的结果 由仿真结果可以看出 当时域截取长度相同时 抽样间隔越小时误差越小 当抽样间隔一定时 时域截取长度越长 误差 越小 因为时域截取长度越长 保留下来的原信号中的信息越多 抽样间隔越小 频谱越不容易发 生混叠 所以所得频谱与理论值相比 误差更小 发现问题发现问题 专题研讨或相关知识点学习中发现的问题 仿真程序仿真程序 Ts input Ts N input N N0 1024 k N 2 N 2 Ts d pi x exp d k 2 X Ts fftshift fft x N0 w pi Ts 2 pi N0 Ts pi 2 pi N0 Ts XT pi d 0 5 exp w 2 4 d subplot 2 1 1 plot w pi abs X o w pi XT xlabel omega pi ylabel X j omega legend 试验值 理论值 title Ts num2str Ts N num2str N subplot 2 1 2 plot w pi abs X XT 研讨题目研讨题目 基本题基本题 3 已知一离散序列为 31 1 0 2 0sin kkkx 1 用 L 32 点 DFT 计算该序列的频谱 求出频谱中谱峰的频率 2 对序列进行补零 然后分别用 L 64 128 256 512 点 DFT 计算该序列的频谱 求出频谱中谱 峰的频率 3 讨论所获得的结果 给出你的结论 该结论对序列的频谱计算有何指导意义 题目分析题目分析 本题讨论补零对离散序列频谱计算的影响 对离散非周期序列做 DFT 时 所得结果相当于对序列做傅里叶变换 再在一个周期内进行频域抽 样 而 DFT 的点数为频域抽样的点数 温磬提示温磬提示 在计算离散非周期序列频谱时常用 作为横坐标 称 为归一化频率 normalized frequency 在画频谱时需给出横坐标 每幅图下都需给出简要的文字说明 由于离散非周期序列频谱是周期的 所以在计算时不需要用 fftshift 函数对 fft 计算的结果进行 重新排列 序列频谱计算的基本方法序列频谱计算的基本方法 在仿真软件中 fft 函数可以进行离散序列的 DFT 其调用形式为 fft x N 计算序列的 N 点 DFT 若 序列长度为 M 当 M N 时则将原序列截短为 N 点序列再进行计算 若 N M 则将序列补零后在做 N 点的 DFT 仿真结果仿真结果 结果分析结果分析 1 对序列进行 32 点的 DFT 得到的频谱 谱峰的频率分别为 0 09pi 和 0 91pi 0 09pi 对序列补零后再做 DFT 傅里叶变换结果也没有改变 2 由结果可知 DFT 点数越多 产生的离散谱中含有的信息也就越多 得到的频谱能更好的反应 原连续谱中的信息 仿真程序仿真程序 k 0 31 x sin 0 2 pi k k1 0 31 x 32 fft x 32 subplot 5 1 1 plot 2 k1 32 abs x 32 g title L 32 k2 0 63 x 64 fft x 64 subplot 5 1 2 plot 2 k2 64 abs x 64 r title L 64 k3 0 127 x 128 fft x 128 subplot 5 1 3 plot 2 k3 128 abs x 128 m title L 128 k4 0 255 x 256 fft x 256 subplot 5 1 4 plot 2 k4 256 abs x 256 y title L 256 k5 0 511 x 512 fft x 512 subplot 5 1 5 plot 2 k5 512 abs x 512 k title L 512 figure k 0 31 x sin 0 2 pi k L 0 1023 X fft x 1024 subplot 2 1 1 plot 2 L 1024 abs X r hold on k1 0 31 x 32 fft x 32 stem 2 k1 32 abs x 32 x b title L 32 k 0 31 x sin 0 2 pi k L 0 1023 X fft x 1024 subplot 2 1 2 plot 2 L 1024 abs X r hold on k3 0 127 x 128 fft x 128 stem 2 k3 128 abs x 128 b title L 1024 研讨题目研讨题目 基本题基本题 4 已知一离散序列为 x k Acos 0k Bcos 0 k 用长度 N 64 的哈明窗对信号截短后近似 计算其频谱 试用不同的 A 和 B 的取值 确定用哈明窗能分辩的最小的谱峰间隔 中 c 的值 M2 3 N c 2 w 题目分析题目分析 本题讨论用哈明窗计算序列频谱时的频率分辨率 Hamming 窗函数的幅值由中心向两端逐渐减弱 hamming 窗以增加主瓣宽度来降低旁瓣能量 用 hamming 窗极端频谱时要求能分辨的谱峰的间隔 f c Tp c fs N 为使两个峰值间有明显差别 取 A 5 B 1 仿真结果仿真结果 当 A 5 B 1 C 1 8 时 当 A 5 B 1 C 2 时 当 A 5 B 1 C 2 3 时 当 A 5 B 1 C 2 5 时 当 A 10 B 1 C 2 3 时 当 A 10 B 1 C 2 5 时 当 A 10 B 1 C 2 7 时 结果分析结果分析 将实验结果与教材中定义的窗函数的有效宽度相比较 发表你的看法 可以用 hamming 窗来减小旁瓣引起的频率泄露 但当 c 2 时并不能分辨出两个谱峰 由图形可以 看出能分辨出图形的 c 的最小值为 c 2 5 随着 A 与 B 比例的增加 即两个幅值分量的差距增大 频谱更加难以分辨 c 取更大的值才能分辨出谱峰 问题探究问题探究 在离散序列频谱计算中为何要用窗函数 用不同的窗函数对计算结果有何影响 与矩形窗相比 哈明窗有何特点 如何选择窗函数 仿真程序仿真程序 k 0 63 A input A B input B c input c N 64 L 512 x A cos 0 1 pi k B cos 0 1 pi c 2 pi N k wh hamming N x x wh X fftshift fft x L fs 30 ws 2 pi fs m ws 2 0 L 1 ws L 2 pi plot m abs X grid on 研讨题目研讨题目 基本题基本题 5 已知一离散序列为 x k cos 0k 0 75cos 1k 0 k 63 其中 0 0 4 1 0 64 1 对 x k 做 64 点 FFT 画出此时信号的频谱 2 如果 1 中显示的谱不能分辨两个谱峰 是否可对 1 中的 64 点信号补零而分辨出两个谱 峰 通过编程进行证实 并解释其原因 3 给出一种能分辨出信号中两个谱峰的计算方案 并进行仿真实验 M2 4 题目分析题目分析 分析影响谱峰分辨率的主要因数 进一步认识补零在在频谱计算中的作用 x k 可以看成是 x t cos 0t 0 75cos 1t T 1s 抽样后的结果 那么能分辨两个谱峰最小的抽样点数是 2 1 0 128 仿真结果仿真结果 1 2 L 128 L 256 L 512 3 结果分析结果分析 观察图形发现 在点数为 64 时不能分清两个谱峰 在补零位 128 256 512 后仍旧没有变化 进行 128 点 DFT 可以看出两个谱峰已经被分辨出 所以要想分辨出频谱中的两个谱峰 可以增加序列时域的长度 仿真程序仿真程序 1 k 0 63 L 64 f1 0 4 pi f2 f1 pi 64 x cos f1 k 0 75 cos f2 k x x zeros 1 L length x X fftshift fft x f pi 2 pi L pi 2 pi L plot f pi abs X title 64 点 FFT 2 k 0 63 L 128 f1 0 4 pi f2 f1 pi 64 x cos f1 k 0 75 cos f2 k x x zeros 1 L length x X fftshift fft x f pi 2 pi L pi 2 pi L plot f pi abs X 将 L 换成 256 512 3 k 0 127 L 128 f1 0 4 pi f2 f1 pi 64 x cos f1 k 0 75 cos f2 k x x zeros 1 L length x X fft x f pi 2 pi L pi 2 pi L plot f pi abs X title 128 点 DFT 研讨内容研讨内容 基本题基本题 6 语音信号的频率分析语音信号的频率分析 1 采集若干 wav 格式的男女生话音信号 女高音男低音演唱信号 2 分析所采集信号的频谱分析 给出男生和女生话音信号的频率范围 女高音的最高频率是 多少 男低音的最低频率是多少 y fs nbits wavread C Users DigtalChina Desktop female wav sound y fs nbits 回放语音信号 n length y 求出语音信号的长度 Y fft y n 傅里叶变换 subplot 2 1 1 plot y title 原始信号波形 subplot 2 1 2 plot abs Y title 原始信号频谱 题目分析题目分析 仿真结果仿真结果 结果分析结果分析 自主学习内容自主学习内容 阅读文献阅读文献 发现问题发现问题 问题探究问题探究 仿真程序仿真程序 研讨题目研讨题目 扩展题扩展题 7 本题研究连续周期信号频谱的近似计算问题 周期为 T0的连续时间周期信号 x t 可用 Fourier 级数表示为 n tn nXtx 0 j 0 e 其中 ttx T nX tn T de 1 0 0 j 0 0 X n 0 称为连续时间周期信号 x t 的频谱函数 称为信号的基频 基波 称 000 2 2fT 0 n 为信号的谐波 如果信号 x t 函数表达式已知 则可由积分得出信号的频谱 如果信号 x t 函数表达式未知 或 者 x t 函数表达式非常复杂 则很难由积分得信号的频谱 本题的目的就是研究如何利用 DFT 近似 计算连续时间周期信号的频谱 1 若在信号 x t 的一个周期 T0内抽样 N 个点 即 T 为抽样周期 间隔 可获得序列 x k NTT 0 1 1 0 Nktxkx kTt 试分析序列 x k 的 DFT 与连续时间周期信号 x t 的频谱 X n 0 的关系 2 由 1 的结论 给出由 DFT 近似计算周期信号频谱 X n 0 的方案 3 周期信号 x t 的周期 T0 1 x t 在区间 0 1 的表达式为 x t 20t2 1 t 4cos 12 t a 试画出信号 x t 在区间 0 1 的波形 b 若要用 10 次以内的谐波近似表示 x t 试给出计算方案 并计算出近似表示的误差 讨论出现 误差的原因及减小误差的方法 题目分析题目分析 理论推导理论推导 DFT 计算所得结果 X m 与连续周期信号频谱 X n 0 的关系 DFT 计算所得结果 X m 与连续周期信号频谱 X n 0 的关系 n tn nXtx 0 j 0 e 1 1 0 0 0 NkenXtxkx kTjn n kTt 由于 于是得 N TNTT 2 00 n nk N nXkx 2 j 0 e 令 n m rN m 0 1 2 为整数 上式可化为 n krNm N N m rNmXkx 2 j 0 1 0 e 化简可得 n mk N N m rNmXkx 2 j 0 1 0 e 对比 IDFT 1 0 2 j e 1 N m mk N mX N kx