河北省2011届高三数学复习指导 二次函数 新人教版

用心 爱心 专心 1 题目 第二章题目 第二章 函数函数 二次函数二次函数 1 要掌握二次函数的图象和性质 有单调性 对称轴 顶点 二次函数的最值讨论方法 二次方程根的分布的讨论方法 特别是韦达定理的应用 2 能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件 能求二次函数的区间最值 知识点归纳知识点归纳 二次函数是高中最重要的函数 它与不等式 解析几何 数列 复数等有着广泛的联系 1 二次函数的图象及性质 二次函数cbxaxy 2 的图象的对称轴方程是 a b x 2 顶点坐标是 a bac a b 4 4 2 2 2 二次函数的解析式的三种形式 用待定系数法求二次函数的解析式时 解析式的设法有 三种形式 即 一般式 cbxaxxf 2 零点式 21 xxxxaxf 和 nmxaxf 2 顶点式 3 根分布问题 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2 bx c 0 的实根分布问题 用图 象求解 有如下结论 令 f x ax2 bx c a 0 1 x1 x2 x2 则 0 2 0 af ab 3 x1 x2 则 2 0 0 0 ab f f 4 x1 0 0 0 0 的解集为 或者是 用心 爱心 专心 2 题型讲解题型讲解 例例 1 1 函数 2 0 yxbxcx 是单调函数的充要条件是 A0b B 0b C0b D 0b 解 函数 2 0 yxbxcx 的对称轴 2 b x 函数 2 0 yxbxc x 是单调函数 0 2 b 0 2 b 0b 故选 A 例例 2 2 已知二次函数的对称轴为2x 截x轴上的弦长为4 且过点 0 1 求函 数的解析式 解 二次函数的对称轴为2x 可设所求函数为 2 2 f xa xb 又 f x截x轴上的弦长为4 f x过点 22 0 和 22 0 f x又过点 0 1 40 21 ab ab 1 2 2 a b 2 1 2 2 2 f xx 例例 3 3 已知函数 2 1 sinsin 42 a yxax 的最大值为2 求a的值 分析 令sintx 问题就转二次函数的区间最值问题 解 令sintx 1 1 t 22 1 2 24 a ytaa 对称轴为 2 a t 1 当11 2 a 即22a 时 2 max 1 2 2 4 yaa 得2a 或3a 舍去 2 当1 2 a 即2a 时 函数 22 1 2 24 a ytaa 在 1 1 单调递增 由 max 11 12 42 yaa 得 10 3 a 3 当1 2 a 即2a 时 函数 22 1 2 24 a ytaa 在 1 1 单调递减 由 max 11 12 42 yaa 得2a 舍去 用心 爱心 专心 3 综上可得 a的值为2a 或 10 3 a 例例 4 4 已知函数 22 21 2f xxaxa 与非负x轴至少有一个交点 求a的取值范 围 解法一 由题知关于x的方程 22 21 20 xaxa 至少有一个非负实根 设根为 12 x x 则 12 0 x x 或 12 12 0 0 0 x x xx 得 9 2 4 a 来源 高考 资源网 KS 5U 解法二 由题知 0 0f 或 0 0 21 0 2 0 f a 得 9 2 4 a 解法三 当函数 22 21 2f xxaxa 与非负x轴没有交点时 则0 或 0 0 21 0 2 f a 得2a 或 9 4 a 函数 22 21 2f xxaxa 与非负x轴至少有一个交点时a的取值范围为 9 2 4 a 例例 5 5 设二次函数 2 Rcbcbxxxf 已知不论 为何实数 恒有 0 cos2 0 sin ff和 1 求证 1 cb 2 求证 3 c 3 若函数 sin f的最大值为 8 求 b c 的值 解 解 1 由 2 Rcbcbxxxf 产生 b c 只要消除差异x 这可令 1 x 1sin1 sin 0 1 0 ff 且恒成立 12cos3 2cos 0 1 0 ff 且恒成立 从而知 1 0 1 0 1 cbcbf即 2 由12cos3 2cos 0 3 0 ff 且恒成立 即 930bc 93 20bcc 用心 爱心 专心 4 又因为 3 1 ccb 3 2 1 2 1 sinsin 1 sin sin 222 c c c ccf 当 8 sin 1sin max f时 由 0 1 81 cb cb 解得 3 4 cb 点评点评 注意 ba 且baba 这是用不等式证明等式的有效方法 很是值得重 视 例例 6 设 f x ax2 bx c a b c f 1 0 g x ax b 1 求证 函数 y f x 与 y g x 的图象有两个交点 2 设 f x 与 g x 的图象交点 A B 在 x 轴上的射影为 A1 B1 求 A1B1 的取值范围 证明 1 f x ax2 bx c f 1 0 f 1 a b c 0 又 a b c 3a a b c 3c a 0 c 0 来源 高考 资源网 KS 5U 由0 2 2 bcxabax baxy cbxaxy b a 2 4a c b b a 2 4ac 0 故函数 y f x 与 y g x 的图象有两个交点 解 2 设 A B 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 x1 x2是方程 的两根故 x1 x2 a ab x1x2 a bc 由题意 A1B1 x1 x2 21 2 21 4 xxxx a bc a ab 4 2 22 4 4baa cbbaac aa 22 44caccac aa 4 2 a c a c 4 2 2 a c a b c a b c 0 a a c c 2 a c 2 1 A1B1 的取值范围是 2 3 23 例例 7 是否存在实数 a b c 使函数 f x ax2 bx c a 0 的图像经过 M 1 0 且满足条件 对一切实数 x 都有 x f x 2 1 2 x 解 因为图像经过 M 1 0 所以 a b c 0 又因为 x f x 2 1 2 x 用心 爱心 专心 5 当 x 1 时 1 f 1 1 所以 f 1 1 即 a b c 1 从而 1 0 cba cba 所以 b ac 2 1 2 1 x ax2 ax 2 1 2 1 2 1 2 x 对一切实数 x 恒成立 即 2 2 21 20 1 2 20 axxa a xxa 的解集为 R a 0 或 a 显然不成立 2 1 0 14 014 2 2 2 1 a a 所以 a c 4 1 b 2 1 例例 8 设 f x 是定义在 1 1 上的奇函数 g x 的图象与 f x 的图象关于直线 x 1 对称 而 当 4 3 2 2 为常数时ccxxxgx 1 求 f x 的表达式 2 对于任意 2 1 0 12122121 xxxfxfxxxx 求证且 解 1 设 P x y 是 f x 图象上的任意点 则 P x y 关于直线 x 1 的对称点为 Q 2 x y 必在 g x 图像上 且 2 2 x 3 即 x 1 0 44844 2 4 2 222 cxcxxxcxxy x 1 0 f x 是定义在 1 1 上的奇函数 f 0 0 c 4 当 2 0 1 1 0 xxf xfxx 时 2 2 1 0 0 1 xx f x xx 所以 2 当 1212 0 1 x xxx 且时 12 02xx 22 21 21212121 2 f xf xxxxxxxxx 例例 9 设函数 f x x a ax 其中 0 a 1 为常数 1 解不等式 f x 0 2 试推断函数 f x 是否存在最小值 若存在 求出其最小值 若不存在 说明理由 解 1 由 f x 0 得 x a ax 即 ax x a ax 1 11 10 1 1 a a x a a a a x a axa axa 时当 用心 爱心 专心 6 不等式的解集是 1 1 a a a a 来源 高考 资源网 KS 5U 2 01 10 1 0 aaa 1 1 a xa xa f x a xa xa axf在内是增函数 axf 在内是减函数 2 min f xf aa 例例 1010 对于函数 f x 若存在 0 xR 使 00 f xx 则称 0 x是 f x的一个不动点 已知函数 2 1 1 0 f xaxbxba 1 当1 2ab 时 求函数 f x的不动点 2 对任意实数b 函数 f x恒有两个相异的不动点 求a的取值范围 3 在 2 的条件下 若 yf x 的图象上 A B两点的横坐标是 f x的不动点 且 A B两点关于直线 2 1 21 ykx a 对称 求b的最小值 解 1 2 3f xxx 0 x是 f x的不动点 则 2 000 3f xxxx 得 0 1x 或 0 3x 函数 f x的不动点为1 和3 2 函数 f x恒有两个相异的不动点 2 1 0f xxaxbxb 恒有两个不等的实根 22 4 1 440ba bbaba 对bR 恒成立 2 4 160aa 得a的取值范围为 0 1 3 由 2 1 0axbxb 得 12 22 xxb a 由题知1k 2 1 21 yx a 设 A B中点为E 则E的横坐标为 2 1 2221 bb aaa 2 1 2221 bb aaa 用心 爱心 专心 7 2 12 1 214 2 a b a a a 当且仅当 1 2 01 aa a 即 2 2 a 时等号成立 b的最小值为 2 4 来源 高考 资源网 KS 5U 学生练习学生练习 1 设 x y 是关于 m 的方程 m2 2am a 6 0 的两个实根 则 x 1 2 y 1 2的最小值是 A 1225 B 18 C 8 D 无最小值 2 函数 f x 2x2 mx 3 当 x 1 时是减函数 当 x 1 时是增函数 则 f 2 3 方程 x2 bx c 0 有两个不同正根的充要条件是 有一正根 一负根的充要条件是 至少有一根为零的充要条件 4 如果方程 x2 2ax a 1 0 的两个根中 一个比 2 大 另一个比 2 小 则实数 a 的取值范围 是 5 设方程 x2 mx 1 0 的两个根为 且 0 1 1 2 则实数 m 的取值范围是 6 直线 y kx 1 与双曲线 x2 y2 1 的左支相交 则 k 的取值范围是 7 已知关于 x 的不等式 ax2 bx c0 的 解集是 8 方程 x2 m 2 x 2m 1 0 在 0 1 内有一根 则 m 或 m 6 27 在 0 1 内至少有一 根 则 m 9 线段 AB 的两个端点分别为 A 3 0 B 0 3 若抛物线 y x2 2ax a2 1 与线段 AB 有两个不同交点 试求实数 a 的取值范围 10 已知 f x m 2 x2 4mx 2m 6 0 的图象与 x 轴的负半轴有交点 求实数 m 的取值范围 11 已知二次函数 f x f x 1 f x 1 2x2 4x 对任意实数 x 都成立 试求 f 1 2 的值 12 已知函数 f x mx2 m 3 x 1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧 求实数 m 的 取值范围 13 根据市场调查 某商品在最近 40 天内的价格与时间 t 满足关系 4020 41 200 11 2 1 Nttt Nttt tf 销售量 g t 与时间 t 满足关系 g t t 3 43 3 0 t 40 t N 求这种商品日销售量的最大值 14 已知函数 f x lg x2 2mx m 2 1 若 f x 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围 2 若 f x 的值域为 R 求实数 m 的取值范围 15 若二次函数 f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1 在区间 1 1 内至少存在一点 c 使 f c 0 求实数 p 的取值范围 16 已知而二次函数 f x ax2 bx c 和一次函数 g x bx 其中 a b c 满足 a b c a b c 0 a b c R 1 求证 两函数的图象相交于不同两点 A B 用心 爱心 专心 8 2 求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1之长的取值范围 17 设 2sin2x acosx 1 3a 对 x R 恒成立 求实数 a 的取值范围 18 在平行四边形 ABCD 中 已知 AB a BC b a b A 60 在 AB AD CB CD 上分别取 AE AH CF CG 都等于 x 0 x b 求 x 取何值时 四边形 EFGH 面积最大 最 大值为多少 19 已知函数 f x ax2 2a 1 x 3 a 0 在区间 3 2 2 上的最大值为 1 求实 数 a 的值 20 已知关于 x 的实系数二次方程 x2 ax b 0 有两个实数根 证明 如果 2 2 那么 2 a 4 b 且 b 4 来源 高考 资源网 KS 5U 如果 2 a 4 b 且 b 4 那么 2 2 21 已知 a b c 是实数 函数 f x ax2 bx c g x ax b 当 1 x 1 时 f x 1 证明 b l 证明 当 1 x 1 时 g x 2 22 已知二次函数 f x ax2 bx c 满足 f 1 0 对于任意实数 x 都有 f x x 0 并且 x 0 2 时 f x x 1 2 4 1 求 f 1 2 求 f x 23 若对任意实数 x sin2x 2kcosx 2k 20 b0 c 0 c 0 4 a 1 5 2 m 5 2 6 2 k 1 7 3 2 用韦达定理可得 b a c 6a a 0 代入不等式即可 8 1 2 m 2 3 m 1 2 6 27 有一根 分为四种情况讨论 i f 0 f 1 0 1 2 m 2 3 ii 0 0 2 m 2 1 m 6 27 iii f 0 0 则 m 1 2 另一根为 3 2 不合条件 iv f 1 0 m 2 3 另一根为 1 3 符合题意 有两根 则 m 2 3 6 27 另法 可以观察二次函数 y x2 2x 1 与 y m x 2 的图象得到结果 9 2 a 9 4 10 1 m 2 时 交点为 1 4 0 m 2 时 i 一正一负 m 2 2m 6 0 2 m 3 ii 两负 1 m 2 iii 一根为零 一根为负 无解 综合 得 1 m 3 11 f x x2 2x 1 f 1 2 0 12 若 m 0 满足要求 若 m 0 原点两侧各一个根 x1x2 1m 0 m0 x1x2 0 解得 0 m 1 综合可得 m 1 13 当 0 t 20 时 日销售额 S t 2 11 t 3 43 3 t2 21t 22 43 6 故当 t 10 或 1