2011高考数学 10章7课时空间向量的应用训练 新人教A版

1 20112011 高考数学高考数学 1010 章章 7 7 课时空间向量的应用训练课时空间向量的应用训练 新人教新人教 A A 版版 1 2010 年北京西城调研 下列命题中 正确命题的个数为 若 n1 n2分别是平面 的法向量 则 n1 n2 若 n1 n2分别是平面 的法向量 则 n1 n2 0 若 n 是平 面 的法向量 a 与 共面 则 n a 0 若两个平面的法向量不垂 直 则这两个平面一定不垂直 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 选 C 中平面 可能平行 也可能重合 结合平面法向 量的概念 易知 正确 故选 C 2 已知平面 内有一个点 M 1 1 2 平面 的一个法向量 是 n 6 3 6 则下列点 P 中在平面 内的是 A P 2 3 3 B P 2 0 1 C P 4 4 0 D P 3 3 4 解析 选 A n 6 3 6 是平面 的法向量 n 在选项 A 中 1 4 1 MP MP n 0 MP 3 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1 则侧棱与底面所成的 角为 A 75 B 60 C 45 D 30 解析 选 C 如图 四棱锥 P ABCD 中 过 P 作 PO 平面 ABCD 于 O 连结 AO 则 AO 是 AP 在底面 ABCD 上的射影 PAO 即为所求线面角 AO PA 1 2 2 cos PAO PAO 45 AO PA 2 2 即所求线面角为 45 2 4 如右图所示 正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是正方形 ADD1A1和 ABCD 的中心 G 是 CC1的中点 设 GF C1E 与 AB 所成的角分别为 则 等于 A 120 B 60 C 75 D 90 解析 选 D 建立坐标系如图 B 2 0 0 A 2 2 0 G 0 0 1 F 1 1 0 C1 0 0 2 E 1 2 1 则 0 2 0 1 1 1 BA GF 1 2 1 C1E cos BA GF 1 3 cos cos BA C1E 2 3 1 3 cos sin 90 2 3 1 3 故选 D 5 若正三棱锥的侧面都是直角三角形 则侧面与底面所成二面 角的余弦值是 A B 6 3 3 3 C D 2 3 1 3 解析 选 B 以正三棱锥 O ABC 的顶点 O 为原点 OA OB OC 为 x y z 轴建系 图略 设侧棱长为 1 则 A 1 0 0 B 0 1 0 C 0 0 1 侧面 OAB 的法向量为 0 0 1 OC 底面 ABC 的法向量为 n 1 3 1 3 1 3 3 cos n OC OC n OC n 1 3 1 f 1 3 2 f 1 3 2 f 1 3 2 3 3 6 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 若 E 为 A1C1中点 则直线 CE 垂直于 A AC B BD C A1D D A1A 解析 选 B 以 A 为原点 AB AD AA1所在直线分别为 x y z 轴 建系 图略 设正方体棱长为 1 则 A 0 0 0 C 1 1 0 B 1 0 0 D 0 1 0 A1 0 0 1 E 1 1 2 1 2 1 CE 1 2 1 2 1 1 0 1 1 0 AC BD 0 1 1 0 0 1 A1D A1A 显然 0 0 CE BD 1 2 1 2 即 CE BD CE BD 7 正四棱锥 S ABCD 中 O 为顶点在底面上的射影 P 为侧棱 SD 的中点 且 SO OD 则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是 解析 如图 以 O 为原点建立空间直 角坐标系 O xyz 设 OD SO OA OB OC a 则 A a 0 0 B 0 a 0 C a 0 0 P 0 a 2 a 2 4 则 2a 0 0 CA a a a 0 AP a 2 a 2 CB 设平面 PAC 的法向量为 n 可求得 n 0 1 1 则 cos n CB CB n CB n a 2a2 2 1 2 n 60 CB 直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 90 60 30 答案 30 8 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1的 棱长为 1 E F 分别是棱 BC DD1上的点 如果 B1E 平面 ABF 则 CE 与 DF 的和的值 等于 解析 以 D1A1 D1C1 D1D 所在直线分别 为 x y z 轴建立空间直角坐标系 图略 设 CE x DF y 则易知 E x 1 1 B1 1 1 0 x 1 0 1 B1E 又 F 0 0 1 y B 1 1 1 1 1 y FB 由于 AB B1E 故若 B1E 平面 ABF 只需 1 1 y x 1 0 1 0 x y 1 FB B1E 答案 1 9 如图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 1 AA1 2 则二面角 C1 AB C 的余弦值为 解析 如图建立空间直角坐标系 则 A 0 0 0 0 1 2 AC1 5 0 AB 3 2 1 2 设 n x y z 为平面 ABC1的法向量 则Error 取 n 2 1 2 3 3 取 m 0 0 1 作为平面 ABC 的法向 量 则 cos m n 1 19 3 57 19 二面角 C1 AB C 的余弦值为 57 19 答案 57 19 10 如图 在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 AA1 4 E 为 BC 的中点 F 为 CC1的 中点 1 求 EF 与平面 ABCD 所成的角的余弦值 2 求二面角 F DE C 的余弦值 解 建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz 则 D 0 0 0 A 2 0 0 C 0 2 0 B 2 2 0 E 1 2 0 F 0 2 2 1 1 0 2 EF 易得平面 ABCD 的一个法向量为 n 0 0 1 设与 n 的夹角为 EF 则 cos EF n EF n 2 5 5 EF 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为 5 5 6 2 1 0 2 0 2 2 EF DF 设平面 DEF 的一个法向量为 m 则 m 0 m 0 DF EF 可得 m 2 1 1 cos m n m n m n 6 6 二面角 F DE C 的余弦值为 6 6 11 正三棱柱 ABC A1B1C1的所有 棱长均为 2 P 是侧棱 AA1上任意一点 1 求正三棱柱 ABC A1B1C1的体积 2 判断直线 B1P 与平面 ACC1A1是否 垂直 请证明你的结论 3 当 BC1 B1P 时 求二面角 C B1P C1的余弦值 解 1 VABC A1B1C1 S ABC AA1 22 2 2 3 43 2 不垂直 建立如图所示的空间直角 坐标系 O xyz 设 AP a 则 A C B1 P 的坐标分别为 0 1 0 0 1 0 0 2 0 1 a 3 0 2 0 AC 1 a 2 B1P 3 2 0 B1P 不垂直 AC AC B1P 直线 B1P 不可能与平面 ACC1A1垂直 3 1 2 BC1 3 由 BC1 B1P 得 0 BC1 B1P 即 2 2 a 2 0 a 1 又 BC1 B1C BC1 平面 CB1P 7 1 2 是平面 CB1P 的法向量 BC1 3 设平面 C1B1P 的法向量为 n 1 y z 由Error 则 n 1 2 33 设二面角 C B1P C1的大小为 则 cos BC1 n BC1 n 6 4 二面角 C B1P C1的余弦值的大小为 6 4 12 如图 四棱锥 P ABCD 中 底 面 ABCD 是矩形 PA 底面 ABCD PA AB 1 AD 点 F 是 PB 的中点 点 E 在边 BC 上 3 移动 1 点 E 为 BC 的中点时 试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系 并说明理由 2 求证 无论点 E 在 BC 边的何处 都有 PE AF 3 当 BE 为何值时 PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45 解 1 当点 E 为 BC 的中点时 EF 与平面 PAC 平行 在 PBC 中 E F 分别为 BC PB 的中点 EF PC 又 EF 平面 PAC 而 PC 平面 PAC EF 平面 PAC 2 证明 建立如图所示空间直角坐标 系 则 P 0 0 1 B 0 1 0 F 0 D 0 0 1 2 1 23 设 BE x 0 x 3 则 E x 1 0 8 x 1 1 0 0 PE AF 1 2 1 2 P