高中数学一题多解

高中数学一题多解思维训练 数学是一个有机的整体 它的各个部分之间存在概念的亲缘关系 我们在学习每一 分支时 注意了横向联系 把亲缘关系结成一张网 就可覆盖全部内容 使之融会贯通 这里所说的横向联系 主要是靠一题多解来完成的 通过用不同的方法解决同一道数学题 既可以开拓解题思路 巩固所学知识 又可激发学习数学的兴趣和积极性 达到开发潜能 发展智力 提高能力的目的 从而培养创新精神和创造能力 在一题多解的训练中 我们要密切注意每种解法的特点 善于发现解题规律 从中发 现最有意义的简捷解法 例 1 已知复数的模为 2 求的最大值 z iz 解法一 代数法 设 Ryxyixz 25 1 4 2222 yyxizyx 则 3 2 2 max izyy时 当 解法二 三角法 设 sin cos2 iz 则 sin45 1sin2cos4 22 iz 3 1sin max iz时 当 解法三 几何法 所对应的点之间的距离与表示 上的点 是圆点 iziz yxzz 4 2 22 如图 1 所示 可知当时 iz2 3 max iz 解法四 运用模的性质 312 iziz y x O i 2i 图图1 Z 而当时 iz2 3 3 max iziz 解法五 运用模的性质 1 2 izzz ziziziz 25的虚部 表zzIzI 又 3 9 2 max 2 max izizzI 例 2 已知求证 1 1 2222 yxba 1 byax 分析 1 用比较法 本题只要证为了同时利用两个已知条件 只需要观 0 1 byax 察到两式相加等于 2 便不难解决 证法 1 11 2 1 1byaxbyax 2 1 2222 byaxyxba 0 2 1 2 2 2 1 22 2222 ybxa ybybxaxa 所以 1 byax 分析 2 运用分析法 从所需证明的不等式出发 运用已知的条件 定理和性质等 得出 正确的结论 从而证明原结论正确 分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件 因此 证明过程必须步步可逆 并注意书写规范 证法 2 要证 1 byax 只需证 0 1 byax 即 0 22 byax 因为 1 1 2222 yxba 所以只需证 0 2 2222 byaxyxba 即 0 22 ybxa 因为最后的不等式成立 且步步可逆 所以原不等式成立 分析 3 运用综合法 综合运用不等式的有关性质以及重要公式 定理 主要是平均值不 等式 进行推理 运算 从而达到证明需求证的不等式成立的方法 证法 3 2 2 2222 yb by xa ax 1 22 2222 ybxa byax 即 1 byax 分析 4 三角换元法 由于已知条件为两数平方和等于 1 的形式 符合三角函数同角关系 中的平方关系条件 具有进行三角代换的可能 从而可以把原不等式中的代数运算关系转 化为三角函数运算关系 给证明带来方便 证法 4 可设 1 1 2222 yxba cos sin cos sin yxba 1 cos coscossinsin byax 分析 5 数形结合法 由于条件可看作是以原点为圆心 半径为 1 的单位圆 1 22 yx 而联系到点到直线距离公式 可得下面证法 22 ba byax byax 证法 5 如图 2 因为直线经过 0 byaxl x l M y d 图图2 O 圆的圆心 O 所以圆上任意一点 1 22 yx yxM 到直线的距离都小于或等于圆半径 1 0 byax 即 1 1 22 byaxbyax ba byax d 简评 五种证法都是具有代表性的基本方法 也都是应该掌握的重要方法 除了证法 4 证法 5 的方法有适应条件的限制这种局限外 前三种证法都是好方法 可在具体应用过程 中 根据题目的变化的需要适当进行选择 例 3 如果求证 成等差数列 0 4 2 zyyxxzzyx 分析 1 要证 必须有成立才行 此条件应从已知条件中得出 故 zyx zyyx 此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换 证法 1 0 4 2 zyyxxz 02 0 2 0 2 22 044442 2 22 222 yzx yzx yzxyzx yzyxzxyxxzz 故 即 成等差数列 zyyx zyx 分析 2 由于已知条件具有轮换对称特点 此特点的充分利用就是以换 xzzyyx 元去减少原式中的字母 从而给转换运算带来便利 证法 2 设则 bzyayx bazx 于是 已知条件可化为 0 04 22 zyyxbabaabba 所以成等差数列 zyx 分析 3 已知条件呈现二次方程判别式的结构特点引人注目 提供了构造一 acb4 2 个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会 证法 3 当时 由已知条件知即成等差数列 0 yx 0zyxxz zyx 当时 关于 的一元二次方程 0 yx t 0 2 zytxztyx 其判别式故方程有等根 显然 1 为方程的一个根 0 4 2 zyyxxz t 从而方程的两根均为 1 由韦达定理知 即 成等差数列 1 21 zyyx yx zy tt zyx 简评 证法 1 是常用方法 略嫌呆板 但稳妥可靠 证法 2 简单明了 是最好的解法 其 换元的技巧有较大的参考价值 证法 3 引入辅助方程的方法 技巧性强 给人以新鲜的感 受和启发 例 4 已知 求的最小值 1 yx 22 yx 分析 1 虽然所求函数的结构式具有两个字母 但已知条件恰有的关系式 可 yx yx 用代入法消掉一个字母 从而转换为普通的二次函数求最值问题 解法 1 1 1xyyx 设 则 22 yxz 122 1 222 xxxxz 二次项系数为故有最小值 02 z 当时 2 1 22 2 x 2 1 24 2124 2 最小值 z 的最小值为 22 yx 2 1 分析 2 已知的一次式两边平方后与所求的二次式有密切关联 于是所 1 yx 22 yx 求的最小值可由等式转换成不等式而求得 解法 2 即 1 1 2 yxyx 21 22 xyyx 1 2 222222 yxyxyxxy 即 当且仅当时取等号 的最小值为 2 1 22 yx 2 1 yx 22 yx 2 1 分析 3 配方法是解决求最值问题的一种常用手段 利用已知条件结合所求式子 配方后 得两个实数平方和的形式 从而达到求最值的目的 解法 3 设 22 yxz 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2222 yxyxyxzyx 当时 即的最小值为 2 1 yx 2 1 最小 z 22 yx 2 1 分析 4 因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点 故可得到用解析法 求解的启发 解法 4 如图 3 表示直线 1 yx l 22 yx 表示原点到直线 上的点的距离的平方 l yxP 显然其中以原点到直线 的距离最短 l 此时 即 2 2 2 100 d 2 2 22 最小 yx yxP 1 1 Ox y l 图图3 所以的最小值为 22 yx 2 1 注 如果设则问题还可转化为直线与圆有交点时 22 zyx 1 yxzyx 22 半径的最小值 z 简评 几种解法都有特点和代表性 解法 1 是基本方法 解法 2 3 4 都紧紧地抓住题 设条件的特点 与相关知识联系起来 所以具有灵巧简捷的优点 特别是解法 4 形象直 观 值得效仿 例 5 设求证 1 2 R z z Rz 1 z 分析 1 由已知条件为实数这一特点 可提供设实系数二次方程的可能 在该二次 2 1z z 方程有两个虚根的条件下 它们是一对共轭虚根 运用韦达定理可以探求证题途径 证法 1 设当时 可得与条件不合 1 2 Raa z z 0 a0 zRz 于是有 0 a 0 2 azaz 该方程有一对共轭虚根 设为 于是 Rz 21 z z 2 2 2 121 zzzz 又由韦达定理知 1 1 1 2 2 2 1221121 zzzzzzz a a zz 分析 2 由于实数的共轭复数仍然是这个实数 利用这一关系可以建立复数方程 注意到 这一重要性质 即可求出的值 2 zzz z 证法 2 设当时 可得与条件不合 1 2 Raa z z 0 a0 zRz 0 a 则有 2 1z z a 11 22 z z z z aa 即 1 1 22 zzzzzzzzzzzz 但 2 zzz 0 1 222 zzzzzzzzz 而 即 1 2 zRzz 1 z 分析 3 因为实数的倒数仍为实数 若对原式取倒数 可变换化简为易于进行运算的形式 再运用共轭复数的性质 建立复数方程 具有更加简捷的特点 证法 3 即 1 1 2 2 R z z R z z 11 Rz zz z z z 从而必有 1 1 zzz 简评 设出复数的代数形式或三角形式 代入已知条件化简求证 一般也能够证明 它是 解决复数问题的基本方法 但这些方法通常运算量大 较繁 现在的三种证法都应用复数 的性质去证 技巧性较强 思路都建立在方程的观点上 这是需要体会的关键之处 证法 3 利用倒数的变换 十分巧妙是最好的方法 例 6 由圆外一点引圆的割线交圆于两点 求弦的中点 9 22 yx 12 5 P BA AB 的轨迹方程 M 分析 1 直接法 根据题设条件列出几何等式 运用解析几何基本公式转化为代数等式 从而求出曲线方程 这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质 圆心和弦中点的连线垂直于 弦 可得下面解法 解法 1 如图 4 2 3 设弦的中点的坐标为 连接 ABM yxM OMOP 则 在中 由两点间的距离公式和勾股定理有 ABOM OMP 169 12 5 2222 yxyx 图图 4 2 3 P M B A O y x 整理 得 其中 0 125 22 yxyx 3 3 x 分析 2 定义法 根据题设条件 判断并确定轨迹的 曲线类型 运用待定系数法求出曲线方程 解法 2 因为是的中点 所以 MABABOM 所以点的轨迹是以为直径的圆 圆心为 M OP 6 2 5 半径为该圆的方程为 2 13 2 OP 222 2 13 6 2 5 yx 化简 得 其中 0 125 22 yxyx 3 3 x 分析 3 交轨法 将问题转化为求两直线的交点轨迹问题 因为动点可看作直线 M 与割线的交点 而由于它们的垂直关系 从而获得解法 OMPM 解法 3 设过点的割线的斜率为则过点的割线方程为 P k P 5 12 xky 且过原点 的方程为 这两条直线的交点就是点的 ABOM OM 1 x k y M 轨迹 两方程相乘消去化简 得 其中 k 0125 22 yxyx 3 3 x 分析 4 参数法 将动点坐标表示成某一中间变量 参数 的函数 再设法消去参数 由于动点随直线的斜率变化而发生变化 所以动点的坐标是直线斜率的函数 从而 MM 可得如下解法 解法 4 设过点的割线方程为 P 5 12 xky 它与圆的两个交点为 的中点为 9 22 yx BA ABM 解方程组 9 12 5 22 yx xky 利用韦达定理和中点坐标公式 可求得点的轨迹方程为 M 其中 0 125 22 yxyx 3 3 x 分析 5 代点法 根据曲线和方程的对应关系 点在曲线上则点的坐标满足方程 设而 不求 代点运算 从整体的角度看待问题 这里由于中点的坐标与两交点 M yx 通过中点公式联系起来 又点构成 4 点共线的和谐关 2211 yxByxA MPBA 系 根据它们的斜率相等 可求得轨迹方程 解法 5 设则 2211 yxByxAyxM 2 2 2121 yyyxxx 9 9 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx 两式相减 整理 得 0 21121212 yyyyxxxx 所以 21 21 12 12 y x yy xx xx yy 即为的斜率 而对斜率又可表示为 ABAB 5 12 x y 5 12 y x x y 化简并整理 得 其中 0125 22 yxyx 3 3 x 简评 上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法 其中解法 1 2 3 局限于曲线是圆的 条件 而解法 4 5 适用于一般的过定点且与二次曲线交于两点 求中点 PCBA AB 的轨迹问题 具有普遍意义 值得重视 对于解法 5 通常利用可较简捷地求 MABPM kk 出轨迹方程 比解法 4 计算量要小 要简捷得多 例 7 若 则函数的最大值为 42 x 3 tan2 tanyxx 法一 二次函数求最值 令 tan xt 1 42 xt 44 3 22 2 422 2tan2222 tan2 tan8 111111 1tan1 244 xt yxx xt ttt 法二 二次除以一次 均值定理 令 2 tan xt 1 42 xt 2 42 3 2 2 1 4 1 22tan22 tan2 tan2 1 48 1tan111 ttxt yxxt xttt 当且仅当时等号成立 1 1t 法三 导数求单调性 令 2 tan xt 1 42 xt 2 2 1 t y t 则 2 22 4 1 22 11 ttttt y tt 2 取到最大值为 8 2t 例 8 已知圆 O 的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为两切点 那么 的最小值为 PA PB A B C D 42 32 42 2 32 2 法一 设 PA PB 的长度 P A B O 第 8 题图 如图所示 设 PA PB x 0 x APO 则 APB PO 2 2 1x 2 1 sin 1x cos2PA PBPAPB 22 1 2sin x 22 2 1 1 xx x 42 2 1 xx x 令 则 令 PA PBy 42 2 1 xx y x 2 1 0txt 则 22 1 1 322 32 23 tttt yt ttt 等号当且仅当 即时成立 2 t t 2t 故 此时 选择答案 D min 32 2PA PB 21x 法二 设 OP 的长度 设 OP t t 1 APO 则 APB PA PB 2 2 1t 1 sin t cos2PA PBPAPB 22 22 22 cos2 1 1 32 23PA PBPA PBtt tt AA 等号当且仅当 即时成立 2 2 2 t t 2 2t 法三 设 APO 则 APB PA PB 2 1 tan 2 22 222 11 sin1 cos2cos2 1 2sin 1 1 2sin tansinsin PA PBPA PB AAA 当且仅当 即时等号成立 2 2 1 2sin32 23 sin 2 2 1 2sin sin 2 2 sin 2 例 9 解不等式 5323 x 法一 根据绝对值的定义 进行分类讨论求解 1 当时 不等式可化为 03 x253 23 x43 x 2 当时 不等式可化为 03 x20 x 1 53 2x3 综上 解集为 0 x1 43 或xx 法二 转化为不等式组求解 原不等式等价于 0143 53 233 2 xxxx或且 综上 解集为 0 x1 43 或xx 法三 利用等价命题法 原不等式等价于 即 33 2x5 53 23 或x 0 x1 故不符合题意 故选 D 3 25 x 5 0 x 3 25 0 x 8 法八 设圆方程为 椭圆方程为 9 22 yx 1 1625 22 yx 两者联立解方程组得 725925162591625 9 251616252516 22222 xxxyx 9 725 2 x 不可能 故圆与椭圆无交点 9 22 yx 1 1625 22 yx 即 不可能垂直故选 D 1 PF 2 PF 例 11 求函数的值域 0 1 x x xxf 法一 判别式法 设 则 由 x xy 1 01yx 2 x 2 y 204 y 当时 因此当时 2 y 2 x012 x1 x1 x 有最小值 2 即值域为 0 1 x x xxf 2 法二 单调性法 先判断函数的单调性 0 1 x x xxf 任取 则 21 0 xx 21 2121 21 1 xx xxxx xfxf 当时 即 此时在上时减函数 20 21 xx 21 xfxf xf 10 当时 在上是增函数 21 2xx 21 xfxf xf 2 由在上是减函数 在上是增函数 知 xf 10 xf 1 时 有最小值 2 即值域为 1 x xf 2 法三 配方法 当时 此时 2 11 2 x x x xxf0 1 x x 1 x 有最小值 2 即值域为 xf 2 法四 基本不等式法 x xxf 1 2 1 2 1 22 x x x x 有最小值 2 即值域为 xf 2 例 12 已知函数 1 2 2 x x axx xf 1 当时 求函数的最小值 2 1 a xf 2 若对于任意恒成立 试求实数的取值范围 01 xfx a 解 1 当时 当且仅当时取等号 2 1 a222 2 1 2 x xxf 2 2 x 由性质可知 在上是增函数 0 k x k xxf xf 2 2 所以在是增函数 在区间上的最小值为 1x xf 1 xf 1 2 7 1 f 2 法一 在区间上 恒成立恒成立 1 0 2 2 x axx xf 02 2 axx 设 在上增 axx 2 2 y 1x 112 22 yaxaxx 1 所以时 于是当且仅当时 函数恒成立 1 x 3 min ay03 min ay0 xf 故 3 a 法二 12 x x a xxf 当时 函数的值恒为正 0 a xf 当时 函数为增函数 故当时 于是当且仅当 0 ay0 xf 3 a 法三 在区间上 恒成立恒成立 1 0 2 2 x axx xf 02 2 axx 恒成立 故应大于 时的最大值 3 xxa2 2 axx2 2 u 1x 所以 3 a 例 13 设二次函数满足 即 22xfxf 且函数图象 y 轴上的截距为 1 xf 被 x 轴截的线段长为 求的解析式 22 xf 分析 设二次函数的一般形式 然后根据条件求出待 0 2 acbxaxxf 定系数 a b c 法一 设 0 2 acbxaxxf 由 即 22xfxf 得 又 04 ba 22 21 a xx 由题意可知 解之得 22 84aacb 1 c 12 2 1 cba 12 2 1 xxxf 法二 即 22xfxf 故函数的图象有对称轴 xfy 2 x 可设 kxay 2 2 函数图象与 y 轴上的截距为 1 则 14 ka 又被 x 轴截的线段长为 则 22 22 21 d xx 整理得 解之得 02 ka 1 2 1 ka 12 2 1 xxxf 法三 即 22xfxf 故 函数的图象有对称轴 又 xfy 2 x 22 21 xx 与 x 轴的交点为 xy 即即 0222 0222 故可设 222 xay 2 1 10 af 12 2 1 xxxf 例 14 设 求的值 10 aalg 1010 b bba 法一 构造函数 设 则 由于在 xxxflg lg bbbb fbaf1010101010 xf 上是单调递增函数 所以 故 0 b a10 1010 bba b 法二 图象法 因为是方程的一个根 也就是方程的一个根 a 10 xxlgxx lg10 是方程的一个根 也就是方程的一个根 b1010 x x x 1010 x 令 在同一坐标系中作出他们的图象 如图所 xxglg x xh10 xx 10 示 10 8 6 4 2 5510 BA AC 是方程的根 即图中 OA a xxg a 是方程的根 即图中 OB b xxh b 易得 OA OB 10 所以 10 ba 法三 方程 的根为 由 得 10 xxlg 1010 x xab1010 x xx x 1010 又 x lg 10 x10 xxlg10lgxx lg 10 10 10 x x 10 即0 2 10 1010 x x即 10 21 xx 0 2n n nnn n nn aa 1 法二 作商 0 n a 1 23 3 12 3 3 1 2 2 2 1 nn nn nn nn n n n n a a n n 1 nn aa 方法三 单调性 关于单调递增 2n n an 2n 2 2n 2 1 2n n a n 1 nn aa 方法四 此法重理解 不适合数学解答 浓度法 把看成是一杯溶液 糖 的浓度 随着的增大 相当于向溶液中加 2 n n an n 糖 浓度 当然增大 易得 n a 1 n a 例 16 等比数列 的前 n 项和为 已知对任意的 点 均在函数 n a n S nN n n S 且均为常数 的图像上 0 x ybr b 1 bb r 1 求 r 的值 11 当 b 2 时 记 2 2 log1 nn banN 证明 对任意的 不等式成立 nN 12 12 111 1 n n bbb n bbb 解 1 因为对任意的 点 均在函数且均为常数 nN n n S 0 x ybr b 1 bb r 的图像上 所以得 当时 当时 n n Sbr 1n 11 aSbr 2n 又因为 为等比数列 所以 111 1 1 nnnnn nnn aSSbrbrbbbb n a 公比为 1r b 1 1 n n abb 2 当 b 2 时 11 1 2 nn n abb 1 22 2 log1 2 log 21 2 n nn ban 则 所以 121 2 n n bn bn 12 12 1113 5 721 2 4 62 n n bbbn bbbn 法一 数学归纳法 下面用数学归纳法证明不等