2012年中考数学押轴题备考复习测试题50

用心 爱心 专心1 图形的相似与位似图形的相似与位似 一 选择题 1 2011 年怀化 6 3 分 如图 3 所示 ABC 中 DE BC AD 5 BD 10 AE 3 则 CE 的值为 A 9 B 6 C 3 D 4 解题思路 本题考察相似三角形的性质 由 DE BC 得 代入 ECAE AE BDAD AD AD 5 BD 10 AE 3 得 CE 6 选 B 答案 B 点评 本题的易错点在于学生在利用相似三角形的性质列比例式时容易将对应边弄混淆 也有出现看错所求线段的现象 难度适中 2 2011 湖南永州 12 3 分 下列说法正确的是 A 等腰梯形的对角线互相平分 B 一组对边平行 另一组对边相等的四边形是平行四边形 C 线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 D 两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似 解题思路 等腰梯形的对角线不一定互相平分 A 不正确 一组对边平行 另一组对 边相等的四边形不一定是平行四边形 如等腰梯形 线段的垂直平分线上的点到线段两个 端点的距离相等正确 两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形不一定相似 D 不正确 答案 C 点评 本题考查了基本性质 属于基本题型 熟练掌握基本概念 性质和判断方法是解 题的关键 2011 江苏无锡 7 3 分 如图 四边形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于 O 且将这个四边 形分成 四个三角形 若 OA OC 0B OD 则下列结论中一定正确的是 用心 爱心 专心2 A 与 相似 B 与 相似 C 与 相似 D 与 相似 4 4 3 3 2 2 1 1 O A B D C 解题思路 由已知 OA OC 0B OD 又 AOB COD 利用相似三角形的判定定理 两 边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 可得 AOB COD 与 与 与 都不具备相似的条件 只有 B 正确 答案 B 点评 本题主要是相似三角形的判定定理的运用 由两边对应成比例 夹角相等 判定 AOB COD 难度较小 1 2011 四川内江 11 3 分 如图 在等边三角形ABC中 D为BC边上一点 E为 AC边上一点 且 ADE 60 BD 4 CE 则 ABC的面积是 3 4 A 8 B 15 C 9 D 12333 思路分析 ADC ADE EDC B BAD ADE B 60 EDC E D C B A 用心 爱心 专心3 BAD 又 C B 60 ABD DEC EC BD DC AB 1 3 AB BC 3DC BD 2DC DC 2 BC 6 ABC 的面积是 9 3 答案 C 点评 图形中不存在全等形 不存在直角 可通过相似列比例式求解 7 2011 四川乐山 7 3 分 如图 4 直角三角板 ABC 的斜边 AB 12 A 30 将 三角板 ABC 绕 C 顺时针旋转 90 至三角板的位置后 再沿 CB 方向向左平移 使点A B C 落在原三角板 ABC 的斜边 AB 上 则三角板平移的距离为 B A B C A 6 B 4 C 6 D 2 34 36 解题思路 根据图 4 设与 AB 的交点为 D 则D BC ABC AD B B B 又 AB 12 A 30 BC 6 AC 6 解得 D 6 AC AB BC DB 3 36 636 6 DB B 故 C 正确 2 3 答案 C 点评 本题构建两个相似三角形是解题的关键 利用三角函数或勾股定理求得 ABC 的 直角边长 根据相似关系列出关系式 代值计算 本题难度中等 9 2011 四川乐山 9 3 分 如图 5 在正方形 ABCD 中 E F 分别是边 BC CD 的中 点 AE 交 BF 于点 H CG AE 交 BF 于点 G 下列结论 tan HBE cot HEB BH FG 其中正确的序号是CG BFBC CF 2 2 BCBG CFGF A B C D 解题思路 根据题意 E F 分别是正方形 ABCD 边 BC CD 的中点 ABE BCF BAE CBF 又 BEA 与 BAE 互余 BEA 与 EBH 互余 即 AE BF BHE 是直角三角形 tan HBE cot HEB 正确 又 CG AE GFC 是直角三角形 即 BCF CDF 成立 又 BE CF GFC BEH BHE CGF CG BFBC CF BHE CGF 故 BH CG BH FG 不成立 E F 分别是边 BC CD 的中点 设正方形 ABCD 的边长为 2 则 BE 1 根据勾股定理可得 BF GF 即 4 成立 故 D 正5 5 5 2 2 BCBG CFGF 确 答案 D 用心 爱心 专心4 点评 本题是对三角形的全等 相似 勾股定理以及三角函数的应用的综合考查 解题 的关键是先根据正方形的特点 确定边 角关系 判定三角形的形状 证得三角形全等 相似 并应用勾股定理求得边长 利用全等 相似关系 从而判定四个结论的正误 本题 难度较大 1 2011 台北 26 图 十 为一 其中D E两点分别在 上 且 ABC ABACAD 31 29 30 32 若 则图中 的大小DBAEEC 50 A1 2 3 4 关系 下列何者正确 A 1 3 B 2 4 C 1 4 D 2 3 分析 首先利用线段的和差 求出 AB 60 AC 62 又 A A 2 1 AB AE AC AD ADE ACB 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 答案 D 点评 本题考察了相似的判定及相似形性质 难度中等 1 2011 贵州毕节 7 3 分 两个相似多边形的面积比是 其中较小多边形周长为16 9 36cm 则较大多边形周长为 A 48cm B 54cm C 56cm D 64cm 解题思路 本题由相似多边形的面积比等于相似比的平方得相似比为 3 4 再由相似多 边形的周长比等于相似比 可知 A 正确 答案 A 点评 本题考查了相似多边形的面积比等于相似比的平方以及相似多边形的周长比等于 相似比等两个性质 难度中等 2 2011 甘肃兰州 15 4 分 如图 矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点 矩形的边分 别平行于坐标轴 点 C 在反比例函数的图像上 若点 A 的坐标为 2 21kk y x 用心 爱心 专心5 2 2 则 k 的值为 A 1 B 3 C 4 D 1 或 3 x y O A B C D 解题思路 可以设点 C 的坐标是 m n 设 AB 与 x 轴交于点 M 则 BMO BAD 则 因为 AD 2 m AB 2 n OM 2 BM n 因而得到 即 mn 4 BMOM ABAD 2 22 n nm 点 m n 在反比例函数的图像上 代入得到 解得 2 21kk y x 2 214kk 故选 D 显然其它选项不正确 1 1k 2 3k 答案 D 点评 本题涉及的知识点是用待定系数法求反比例函数的解析式 矩形的性质相似三角 形的性质与判定 本题的难点是借助矩形的性质 转化为相似的性质解决 难度较大 3 2011 广东省 3 3 分 将左下图中的箭头缩小到原来的 得到的图形是 A 2 1 A B D C 解题思路 图形缩小 就是 大小变化而形状不变 可判断选 A 符合要求 答案 A 点评 本题考查图形的变换规律 解决关键要抓住图形是 大小变化而形状不变 这一 本质 即图形相似 难度较小 4 二 填空题 2011 江苏省淮安市 10 3 分 如图 在 ABC 中 D E 分别是边 AB AC 的中点 BC 8 则 DE 用心 爱心 专心6 解题思路 由题意 DE 为 ABC 的中位线 又由三角形中位线定理得 DE 4 答案 4 点评 本例考查三角形中位线的概念和性质 解题的关键是正确理解和掌握三角形中位 线的性质 难度较小 2011 江苏扬州 16 3 分 如图 DE 是 ABC 的中位线 M N 分别是 BD CE 的中点 MN 6 则 BC 解题思路 因为 DE 是 ABC 的中位线 所以 DE BC BC 2DE 而 M N 分别是 BD CE 的中点 MN 6 则 MN 是梯形 BCED 的中位线 DE BC 2MN 所以 BC 8 答案 8 点评 本题综合考查了三角形中位线和梯形中位线性质 三角形中位线位置上与第三边 平行 数量上等于第三边长的一半 梯形的中位线位置上与上 下底平行 数量上等于上 底与下底和的一半 1 2011 贵州毕节 17 3 分 已知 则的值是 k a cb b ca c ba k 解题思路 分两种情况 当时 利用比例的等比性质 求得 当0 cba2 k 时 得出 0 cbacba 1 k 答案 或21 点评 本题考查比例的等比性质 在解题时 要注意比例等比性质的条件 分情况进行 讨论 难度较大 2 2011 广东广州 14 3 分 如图 以点 O 为位似中心 将五边形 ABCDE 放大后得到五 边形 已知 OA 10cm 20cm 则五边形 ABCDE 的周长与五边形EDCBA A O 的周长的比值是 EDCBA 用心 爱心 专心7 O A B C D E A B C D E 解题思路 根据位似的两个图形是相似图形 位似图形上任意一对对应点到位似中心的 距离之比等于位似比 可以得到五边形 ABCDE 的周长 五边形的周长 OA EDCBA 10 20 1 2 A O 答案 1 2 点评 本题考查了位似图形的性质 难度较小 3 2011 广东省 10 3 分 如图 1 将一个正六边形各边延长 构成一个正六角星形 AFBDCE 它的面积为 1 取 ABC 和 DEF 各边中点 连接成正六角星形 A1F1B1D1C1E1 如图 2 中阴影部分 取 A1B1C1和 D1E1F1各边中点 连接成正六角星形 A2F2B2D2C2E2 如图 3 中 阴影部分 如此下去 则正六角星形 A4F4B4D4C4E4的面积为 解题思路 由三角形中位线性质得 A1B1 AB 1 2 即 A1B1 AB 同理可得 1 2 A2B2 A1B1 AB A3B3 A2B2 AB A4B4 A3B3 AB 即第四个正六角星 1 2 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 4 1 2 形与第一个正六角星形的边长之比为 1 16 根据 相似多边形面积比等于相似比的平方 1 A1 BC D A FE BC D A FE BC D A FE B1C1 F1 D1 E1 A1 B1C1 F1 D1 E1 A2 B2C2 F2 D2 E2 2 3 用心 爱心 专心8 知它们的面积比为 1 256 所以正六角星形 A4F4B4D4C4E4的面积 正六角星形 1 256 AFBDCE 的面积 1 256 答案 1 256 点评 本题考查从图形中探索数的规律问题 只要想到从相似多边形性质去考虑 问题将 容易得解 难度中等 2 2011 湖北黄石 13 3 分 有甲 乙两张纸条 甲纸条的宽是乙级条宽的 2 倍 如图 4 将这两张纸条交叉重叠地放在一起 重合部分为四边形 ABCD 则 AB 与 BC 的 数量关系为 AD BC 甲 乙 图 4 解题思路 过点 A 作 AE BC 于点 E AF CD 于点 F 由题意 得四边形 ABCD 是平 行四边形 所以 ABE ADF 所以 ABE ADF 所以 所以2 AF AE AD AB 2ABBC 答案 2ABBC 点评 根据平行四边形的对角相等构造相似三角形 将甲纸条的宽是乙级条宽的 2 倍转化为 AB 是 AD 的两倍是解题的关键 5 2011 广东清远 16 3 分 如图 4 在中 点 E 是 CD 的中点 AE BC 的延ABCDA 长线交于点 F 若 ECF 的面积为 1 则四边形 ABCE 的面积为 AD BC 甲 乙 图 4 F E E F D A B C 用心 爱心 专心9 解题思路 由题意可易证 ECF ABF 且 EC AB 1 2 则根据相似三角形的性质 相 似三角形的面积比等于相似比的平方 可得 1 4 3 ECFABFABFECFABCE SSSSS AAAA四边形 则可得 答案 3 点评 本题考查了平行四边形的基本性质和相似三角形的性质 综合性稍强 难度中等 2011 江苏苏州 17 3 分 如图 已知 ABC 是面积为的等边三角形 3 ABC ADE AB 2AD BAD 45 AC 与 DE 相交于点 F 则 AEF 的面积等于 结果保留根号 解题思路 根据 ABC ADE 知 即 2 ABC ADE SAB SAD V V 2 3 2 ADE S V 所以 根据 等边三角形边长为 a 时 面积为 得 AD AE 1 3 4 ADE S V 2 3 4 a 过点 F 作 FH AE 于上 因为 EAD CAB 60 所以 EAF BAD 45 所以 FH AH 设 FH AH x 则 EH 1 x 因为 即 所以 3 1 x x 33 2 x 所以 S FAE 1 1 2 33 2 33 4 答案 33 4 点评 本题中 用相似求出 ADE 的面积 从而求出 ADE 的边长是关键 2 2011 四川内江 加 2 6 分 如图 在 ABC中 点D E分别是AB AC的中点 DF过EC的中点G 并与BC延长线交与点F BE与DF交与点O 若 ADE的面积是S 则四 边形BOGC的面积是 用心 爱心 专心10 O G F E D CB A 思路分析 点D E分别是AB AC的中点 DE平行且等于 又 ADE的BC 2 1 面积是S ABC 的面积是 4S 四边形DECB 的面积是 3S 点G是EC的中点 EG DEG的面积是 ADE的面积 的一半即S 同理 DEB的面积是S EC 2 1 AE 2 1 2 1 由DE CF EG GC 易知 DEG GCF DE CF 又 DEO BOF EO BO DE BF 1 3 BDO的面积是 BDE的面积的即S 四边形BOGC 4 3 4 3 的面积 3S S S S 2 1 4 3 4 7 答案 S 4 7 点评 相似三角的面积比等于相似比的平方 等底 或等高 的两个三角的面积比 等于高 或底 得比 切勿认为 BDO和 BDE DEG和 ADE 相似 根据面积比等于相 似比来寻找他们的面积关系 应根据面积公式来寻求面积关系 三 解答题 1 2011 安徽 17 8 分 如图 在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中 按 要求画出 A1B1C1和 A2B2C2 用心 爱心 专心11 1 把 ABC 先向右平移 4 个单位 再向上平移 1 个单位 得到 A1B1C1 2 以图中的 O 为位似中心 将 A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍 得到 解题思路 1 根据平移性质画出 A1B1C1 2 按位似放大两倍的要求将 A1B1C1放大 两倍后画出 A2B2C2 答案 如下图 点评 本题主要考查平移变换和位似变换实际运用中的画图能力 难度中等 2 2011 广东省 21 9 分 如图 1 ABC 与 EFD 为等腰直角三角形 AC 与 DE 重 合 AB AC EF 9 BAC DEF 90 固定 ABC 将 DEF 绕点 A 顺时针旋转 当 DF 边与 AB 边重合时 旋转中止 现不考虑旋转开始和结束时重合的情况 设 DE DF 或它们的延 长线 分别交 BC 或它的延长线 于 G H 点 如图 2 A A1B C B1 C11 A2 B2 C2 O B H F A D G C E C E B F A D 用心 爱心 专心12 1 问 始终与 AGC 相似的三角形有 HAB 及 HGA 2 设 CG x BH y 求 y 关于 x 的函数关系式 只要求根据图 2 的情形说明理由 3 问 当 x 为何值时 AGH 是等腰三角形 解题思路 第 1 小题可以利用角的关系来证明 也可以考虑先证明 DE BC 还可以考 虑用三角形的中位线来证明 第 2 小题关键之处在于要分顶点的两种不同对应关系来讨 论 第 3 小题当 四边形 MEND 与 BDE 的面积相等 相等时可带来 DME BEM 可以推证得到 DE BE DM BM 对于本题 还有很重要的一点那就是 它的BME BCA 三边之比是 3 4 5 综合这些结论可以通过列方程等方法解决本题 答案 1 HAB 及 HGA 2 由 AGC HAB 得 AC HB GC AB 即 9 y x 9 故 y 81 x 0 x4 点 P 是 AB 边上的任意一点 不与点 A B 重合 连结 PD 过点 P 作 PQ PD 交直线 BC 于点 Q 1 当 m 10 时 是否存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合 若存在 求出此时 AP 的长 若不 存在 说明理由 2 连结 AC 若 PQ AC 求线段 BQ 的长 用含 m 的代数式表示 3 若 PQD 为等腰三角形 求以 P Q C D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函数 关系式 并写出 m 的取值范围 解题思路 第 1 问 当点 Q 与点 C 重合时 可证 ADP BPC 根据相似三角形对应 边成比例得 所以 解得 AP 2 或 8 2 由题设 PQ PD 易证 ADAP PBBC 4 104 AP AP ADP BPQ 所以 即 当 PQ AC 时 BPQ BAC ADAP PBBQ 4mPB PBBQ 所以 即 将 两式联立起来 可得 BQ 的长 3 PQD BQBP BCAB 4 BQPB m 为等腰三角形时 ADP BPQ 由全等三角形对应边相等可得 AP BQ AD BP 4 所以 AP BQ m 4 因四边形 PQCD 的面积等于矩形的面积减去两个三角形的面积 所以 S 4m 2 16 1 4 4 2 m 答案 解 1 存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合 PQ PD DPC 900 APD BPC 900 APD ADP 900 ADP BPC ADP BPC ADAP PBBC 解得 AP 2 或 8 4 104 AP AP 用心 爱心 专心28 当 m 10 时 存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合 此时 AP 的长为 2 或 8 2 用 1 的证法知当 PQ PD 时 ADP BPQ 即 ADAP PBBQ 4mPB PBBQ 当 PQ AC 时 BPQ BAC 即 BQBP BCAB 4 BQPB m 将 两式联立起来 可得 BQ 2 2 464m m 3 PQD 为等腰三角形时 DP PQ 在 ADP 与 BPQ 中 0 90AB ADPBPQ DPPQ ADP BPQ AP BQ AD BP 4 AB m AP BQ m 4 四边形 PQCD 的面积等于矩形的面积减去两个三角形的面积 S 4m 2 16 m 4 1 4 4 2 m 点评 本题属于探索性问题 难度较大 探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确 的结论 需要经过推断 探索型问题一般没有明确的结论 没有固定的形式和方法