【步步高】届高三数学大一轮复习 指数与指数函数学案 理 新人教A版

1 学案学案 7 7 指数与指数函数指数与指数函数 导学目标 1 了解指数函数模型的实际背景 2 理解有理指数幂的含义 了解实数指 数幂的意义 掌握幂的运算 3 理解指数函数的概念 并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点 4 知道 指数函数是一类重要的函数模型 自主梳理 1 指数幂的概念 1 根式 如果一个数的n次方等于a n 1 且n N N 那么这个数叫做a的n次方根 也就是 若xn a 则x叫做 其中n 1 且n N N 式子叫做 这里n叫做 n a a叫做 2 根式的性质 当n为奇数时 正数的n次方根是一个正数 负数的n次方根是一个负数 这时 a的n次方根用符号 表示 当n为偶数时 正数的n次方根有两个 它们互为相反数 这时 正数的正的n次 方根用符号 表示 负的n次方根用符号 表示 正负两个n次方根可以合 写成 a 0 n n a 当n为偶数时 a Error n an 当n为奇数时 n an 负数没有偶次方根 零的任何次方根都是零 2 有理指数幂 1 分数指数幂的表示 正数的正分数指数幂是 a 0 m n N N n 1 m n a 正数的负分数指数幂是 a 0 m n N N n 1 m n a 0 的正分数指数幂是 0 的负分数指数幂无意义 2 有理指数幂的运算性质 aras a 0 r s Q Q ar s a 0 r s Q Q ab r a 0 b 0 r Q Q 3 指数函数的图象与性质 a 10 a0 时 当 x0 时 当x 0 时 性质 6 在 上是 7 在 上是 2 自我检测 1 下列结论正确的个数是 当a0 且a 1 3 如图所示的曲线C1 C2 C3 C4分别是函数y ax y bx y cx y dx的图象 则a b c d的大小关系是 A a b 1 c d B a b 1 d c C b a 1 c d D b a 1 d1 b 0 且ab a b 2 则ab a b的值等于 2 A B 2 或 2 6 C 2D 2 5 2011 六安模拟 函数f x ax b的图象如图 其中a b为常数 则下列结论正 确的 是 A a 1 b1 b 0 C 0 a0 D 0 a 1 b 0 3 探究点一 有理指数幂的化简与求值 例 1 已知a b是方程 9x2 82x 9 0 的两根 且a0 的结果是 3 4 2 1 4 1 3223 a b ba abba A B abC D a2b b a a b 探究点二 指数函数的图象及其应用 例 2 已知函数y x 1 1 3 1 作出函数的图象 简图 2 由图象指出其单调区间 3 由图象指出当x取什么值时有最值 并求出最值 变式迁移 2 2009 山东 函数y 的图象大致为 ex e x ex e x 探究点三 指数函数的性质及应用 例 3 如果函数y a2x 2ax 1 a 0 且a 1 在区间 1 1 上的最大值是 14 求a 的值 变式迁移 3 2011 龙岩月考 已知函数f x x3 1 2x 1 1 2 1 求f x 的定义域 2 证明 f x f x 3 证明 f x 0 4 分类讨论思想的应用 例 12 分 已知f x ax a x a 0 且a 1 a a2 1 1 判断f x 的奇偶性 2 讨论f x 的单调性 3 当x 1 1 时f x b恒成立 求b的取值范围 答题模板 解 1 函数定义域为 R R 关于原点对称 又因为f x a x ax f x a a2 1 所以f x 为奇函数 3 分 2 当a 1 时 a2 1 0 y ax为增函数 y a x为减函数 从而y ax a x为增函数 所以f x 为增函数 5 分 当 0 a 1 时 a2 10 且a 1 时 f x 在定义域内单调递增 7 分 3 由 2 知f x 在 R R 上是增函数 在区间 1 1 上为增函数 f 1 f x f 1 f x min f 1 a 1 a a a2 1 a a2 1 1 a2 a 1 10 分 要使f x b在 1 1 上恒成立 则只需b 1 故b的取值范围是 1 12 分 突破思维障碍 本例第 2 3 问是难点 讨论f x 的单调性对参数a如何分类 分类的标准和依据是 思维障碍之一 易错点剖析 在 2 中 函数的单调性既与ax a x有关 还与的符号有关 若没考虑的 a a2 1 a a2 1 符号就会出错 另外分类讨论完 在表达单调性的结论时 要综合讨论分类的情况 如果 没有一个总结性的表达也要扣分 在表达时如果不呈现a的题设条件中的范围也是错误 的 1 一般地 进行指数幂的运算时 化负指数为正指数 化根式为分数指数幂 化小数 为分数进行运算 便于用运算性质进行乘 除 乘方 开方运算 可以达到化繁为简的目 的 2 比较两个指数幂大小时 尽量化同底数或同指数 当底数相同 指数不同时 构造 同一指数函数 然后比较大小 当指数相同 底数不同时 构造两个指数函数 利用图象 比较大小 5 3 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示 则 0 c d 1 a b 在y轴右侧 图象从上到下相应的底数由大变小 在y轴左侧 图象从下到 上相应的底数由大变小 即无论在y轴的左侧还是右侧 底数按逆时针方向变大 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 函数y 的值域是 x 2 A 0 B 1 C D 2 2 2011 金华月考 函数y 0 a0 a 1 有两个不等实根 则a的取值范围是 A 0 1 1 B 0 1 C 1 D 0 1 2 题号 12345 6 答案 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 2011 嘉兴月考 函数f x Error a 0 且a 1 是 R R 上的减函数 则a的取值范 围是 7 2010 江苏 设函数f x x ex ae x x R R 是偶函数 则实数a 8 若函数f x ax 1 a 0 且a 1 的定义域和值域都是 0 2 则实数a的值为 三 解答题 共 38 分 9 12 分 2011 衡阳模拟 已知定义域为 R R 的函数f x 是奇函数 2x b 2x 1 a 1 求a b的值 2 若对任意的t R R 不等式f t2 2t f 2t2 k 0 恒成立 求 a的取值范围 答案答案 自主梳理 1 1 a的n次方根 根式 根指数 被开方数 2 a n a n a n a n a a 2 1 0 2 ar s ars arbr 3 1 R R 2 0 n am n m a 1 1 n am 3 0 1 4 y 1 0 y 1 5 0 y1 6 增函数 7 减函数 自我检测 1 B 只有 正确 中a0 a3 0 所以 a3 中 n为奇 2 3 2 a 2 3 2 a 数时且ad 1 1 a b 0 4 D ab a b 2 ab a b 2 4 4 a 1 b 0 ab 1 0 a b 1 ab a b 2 5 D 由f x ax b的图象可以观察出 函数f x ax b在定义域上单调递减 所 以 0 a 1 函数f x ax b的图象是在f x ax的基础上向左平移得到的 所以b 0 课堂活动区 例 1 解题导引 1 指数幂的化简原则 7 1 化负数指数为正指数 2 化根式为分数指数幂 3 化小数为分数 2 指数幂的化简结果要求为 有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂 也不要既有分母又含有 负指幂 即尽量化成与题目表示形式一致且统一的最简结果 解 a b是方程的两根 而由 9x2 82x 9 0 解得x1 x2 9 且a b 1 9 故a b 9 1 9 1 化去负指数后求解 a b a 1 b 1 ab 1 1 a 1 b 1 ab a b ab 1 ab a b 9 a b 即原式 1 9 82 9 82 9 2 原式 3 1 2 7 a 3 1 2 3 a 2 1 3 8 a 2 1 3 15 a 2 5 3 4 2 1 6 7 a 2 1 a a 1 9 原式 3 变式迁移 1 C 原式 3 1 3 1 2 3 1 6 1 2 3 baab baba ab 1 3 1 2 3 1 1 3 1 1 6 1 2 3 ba a b 例 2 解题导引 在作函数图象时 首先要研究函数与某一基本函数的关系 然后通 过平移 对称或伸缩来完成 解 1 方法一 由函数解析式可得 y x 1 Error 1 3 其图象由两部分组成 一部分是 y x x 0 1 3 向左平移1个单位 y x 1 x 1 1 3 另一部分是 y 3x x 0 y 3x 1 x 1 向左平移1个单位 如图所示 方法二 由y x 可知函数是偶函数 其图象关于y轴对称 故先作出y x 1 3 1 3 8 的图象 保留x 0 的部分 当x0 时 e2x 1 0 且随着x的增大而 ex e x ex e x 2 e2x 1 增大 故y 1 1 且随着x的增大而减小 即函数y在 0 上恒大于 1 且单 2 e2x 1 调递减 又函数y是奇函数 故只有 A 正确 例 3 解题导引 1 指数函数y ax a 0 且a 1 的图象与性质与a的取值有关 要 特别注意区分a 1 与 0 a1 时 t a 1 a ymax a2 2a 1 14 解得a 3 满足 a 1 2 当 0 a 1 时 t a a 1 ymax a 1 2 2a 1 1 14 解得a 满足 0 a0 时 2x 1 x3 0 所以 x3 0 1 2x 1 1 2 因为f x f x 所以当x0 综上所述 f x 0 课后练习区 1 B 由y 中 0 所以y 20 1 即函数的值域为 1 x 2 x x 2 2 D 函数的定义域为 x x R R x 0 且y Error 当x 0 时 函数是一个 xax x 指数函数 其底数a满足 0 a 1 所以函数递减 当x 0 时 函数图象与指数函数y ax的 图象关于x轴对称 函数递增 3 D 函数定义域为 R R 关于原点对称 f x f x 4 x 1 2 x 1 4x 2x 9 f x 是偶函数 图象关于y轴对称 4 A 当x 0 时 0 2x 1 此时f x 2x 当x 0 时 2x 1 此时f x 1 所以f x 12x Error 5 D 方程 ax 1 2a有两个不等实根可转化为函数y ax 1 与函数y 2a有两 个不同交点 作出函数y ax 1 的图象 从图象观察可知只有 0 2a 1 时 符合题意 即 0 a 1 2 6 1 1 3 解析 据单调性定义 f x 为减函数应满足 Error 即 a1 时 f 2 2 a2 1 2 a 经验证符合题意 3 当 0 a 1 时 f 0 2 即 1 1 2 无解 a 3 9 解 1 f x 是定义域为 R R 的奇函数 f 0 0 即 0 解得b 1 2 1 b 2 a 分 从而有f x 2x 1 2x 1 a 又由f 1 f 1 知 2 1 4 a 1 2 1 1 a 解得a 2 经检验a 2 适合题意 所求a b的值分别为 2 1 4 分 2 由 1 知f x 2x 1 2x 1 2 1 2 1 2x 1 由上式易知f x 在 上为减函数 6 分 又因f x 是奇函数 从而不等式f t2 2t 2t2 k 即对一切t R R 有 3t2 2t k 0 从而判别式 4 12k 0 解得k 12 1 3 分 10 解 方法一 1 由已知得 3a