2012年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷解析版）

1 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 广东卷 解析年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 广东卷 解析 版 版 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 满分 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设 i 为虚数单位 则复数 34i i A 4 3i B 4 3i C 4 3i D 4 3i 2 设集合 U 1 2 3 4 5 6 M 1 3 5 则 U C M A 2 4 6 B 1 3 5 C 1 2 4 D U 3 若向量AB 1 2 BC 3 4 则AC A 4 6 B 4 6 C 2 2 D 2 2 答案 A 解析 因为AC AB BC 4 6 所以选 A 2 考点定位 本题考查平面向量的坐标运算 加法 属基础题 4 下列函数为偶函数的是 A y sinx B y 3 x C y x e D y ln 2 1x 答案 D 解析 观察可得 四个选项的定义域均为 R 且只有函数 y ln 2 1x 是偶函数 故选 D 考点定位 本题考查函数的性质 奇偶性 属基础题 5 已知变量 x y 满足约束条件 1 1 10 xy xy x 则 z x 2y 的最小值为 A 3 B 1 C 5 D 6 6 在 ABC 中 若 A 60 B 45 BC 3 2 则 AC A 4 3 B 2 3 C 3 D 3 2 7 某几何体的三视图如图 1 所示 它的体积为 3 A 72 B 48 C 30 D 24 8 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 3x 4y 5 0 与圆 x y 4 相交于 A B 两点 则弦 AB 的 长等于 A 3 3 B 2 3 C 3 D 1 答案 B 解析 因为弦心距为 1d 所以弦 AB 的长等于2 4 1 2 3 故选 B 考点定位 本题考查直线与圆相交的位置关系 属中档题 9 执行如图 2 所示的程序框图 若输入 n 的值为 6 则输出 s 的值为 A 105 B 16 C 15 D 1 4 10 对任意两个非零的平面向量 和 定义 若两个非零的平面向量a 和 b 满足a 与b 的夹角 且a b 和b a 都在集合中 则a b A 5 2 B 3 2 C 1 D 1 2 二 填空题 本大题共 5 小题 考生作答 4 小题 每小题 5 分 满分 20 分 一 必做题 11 13 题 11 函数的定义域为 答案 1 0 0 解析 要使函数有意义 须满足 10 x 且 0 x 解得定义域为 1 0 0 考点定位 本题考查函数的定义域 属容易题 12 若等比数列 an 满足 a2a4 则 答案 1 4 解析 因为是等比数列 所以 2 15243 1 2 a aa aa 所以 2 135 a a a 1 4 5 考点定位 本题考查等比数列的性质 属容易题 13 由正整数组成的一组数据 x1 x2 x3 x4 其平均数和中位数都是 2 且标准差等于 1 则这组数据为 从小到大排列 答案 1 2 2 3 解析 由题意知 x2 x3 4 x1 x4 4 容易得答案 考点定位 本题考查平均数与中位数及标准差的求解 二 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题 在平面直角坐标系 xOy 中 曲线 C1和 C2的参数方程分别 为和 则曲线 C1与 C2的交 点坐标为 15 几何证明选讲选做题 如图 3 所示 直线 PB 与圆 O 相切于点 B D 是弦 AC 上的点 PBA DBA 若 AD m AC n 则 AB 答案 mn 解析 由弦切角定理知 PBA ACB 又因为 PBA DBA 所以 DBA ACB 所以 ABDACB mAB ABn 解得 AB mn 6 考点定位 本题考查三角形相似与弦切角定理 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数 x R 且 1 求 A 的值 2 设 求 cos 的 值 17 本小题满分 13 分 某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示 其中成绩分组区间是 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 1 求图中 a 的值 2 根据频率分布直方图 估计这 100 名学生语文成绩的平均分 7 3 若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数 x 与数学成绩相应分数段的人数 y 之 比如下表所示 求数学成绩在 50 90 之外的人数 18 本小题满分 13 分 如图 5 所示 在四棱锥 P ABCD 中 AB 平面 PAD AB CD PD AD E 是 PB 的中点 F 是 DC 上的点且 DF 1 2AB PH 为 PAD 边上的高 1 证明 PH 平面 ABCD 2 若 PH 1 AD 2 FC 1 求三棱锥 E BCF 的体积 3 证明 EF 平面 PAB 解析 1 证明 因为 PH 为 PAD 边上的高 所以 PH AD 又因为 AB 平面 PAD PH 平面 PAD 所以 AB PH 又因为 PH AD H 所以 PH 平面 ABCD 8 2 因为 E 是 PB 的中点 所以点 E 到平面 BCF 的距离d等于点 P 到平面 ABCD 距离的一半 即d 1 2 又因为BCF S 1 2 AD CF 2 2 所以三棱锥 E BCF 的体积为 2 12 19 本小题满分 14 分 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 数列 Sn 的前 n 项和为 Tn 满足 Tn 2Sn n2 n N 1 求 a1的值 2 求数列 an 的通项公式 20 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系 xoy 中 已知椭圆 C1 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为 F1 1 0 且点 P 0 1 在 C1上 1 求椭圆 C1的方程 2 设直线 l 同时与椭圆 C1和抛物线 C2 2 4yx 相切 求直线 l 的方程 9 解析 1 由题意知 1c 1b 所以 2 2a 故椭圆 C1的方程为 2 2 1 2 x y 0 整理得 22 21mk 解 得 2 2m