河北省张家口一中高中数学 随机变量及其分布 教案 选修2-3

用心 爱心 专心1 河北省张家口一中高二数学选修河北省张家口一中高二数学选修 2 32 3 随机变量及其分布随机变量及其分布 教案教案 考纲知识梳理考纲知识梳理 一 随机变量及其分布列一 随机变量及其分布列 1 1 离散型随机变量 离散型随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量 称为离散型随机变量 2 2 离散型随机变量的分布列及性质 离散型随机变量的分布列及性质 1 一般地 若离散型随机变量 X 可能取的不同值为X 取每一个值 12 in x xxx 的概率 则表 1 2 i x in ii P Xxp X 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 称为 X 的分布列 为 X 的分布列 1 2 ii P Xxp in 2 离散型随机变量的分布列的性质 0 i p1 2 in 1 1 n i i p 3 3 常见离散型随机变量的分布列 常见离散型随机变量的分布列 1 1 两点分布 两点分布 若随机变量 X 服从两点分布 即其分布列为 2 2 超几何分布 超几何分布 其中 m min M n 且 n N M N n M N 称分布列 N X01 m P 00n MN M n N C C C 11n MN M n N C C C mn m MN M n N C C C 为超几何分布列 二 二项分布及其应用二 二项分布及其应用 用心 爱心 专心2 1 1 条件概率及其性质 条件概率及其性质 1 1 条件概率的定义 条件概率的定义 A B 为两个事件 且 P A 0 P B A P AB P A 若 A B 相互独立 则 P B A P B 2 2 条件概率的性质 条件概率的性质 0 P B A 1 如果 B C 是两个互斥事件 则 P B C A P B A P C A 2 2 事件的相互独立性 事件的相互独立性 如果 P AB P A P B 则称事件 A 与事件 B 相互独立 3 3 独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布 那么在 n 次独立重复试验中 事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P X k 此时称随机变量 X 服从二项分布 记作 X B n p 1 0 1 2 kkn k n C ppkn 三 离散型随机变量的均值与方差三 离散型随机变量的均值与方差 1 1 离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 EX 为随机变量 X 的均值或数学期望 DX 1 x 1 p 2 x 2 p i x i p n x n p 为随机变量 X 的方差 其算术平方根为随机变量 X 的标准差 记作 2 1 n ii i xEXp DX X 2 2 均值与方差的性质 均值与方差的性质 1 E aX b aEX b 2 D aX b a2DX a b 为常数 3 两点分布与二项分布的均值 方差 1 若 X 服从两点分布 则 EX p DX p 1 p 2 若 X B n p 则 EX np DX np 1 p 四 正态分布四 正态分布 1 1 正态曲线及性质正态曲线及性质 1 1 正态曲线的定义 正态曲线的定义 2 2 2 1 2 x xex 2 2 正态曲线的性质 正态曲线的性质 X 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 用心 爱心 专心3 曲线位于 x 轴上方 与 x 轴不相交 曲线是单峰的 它关于直线 x 对称 曲线在 x 处达到峰值 1 2 曲线与 x 轴之间的面积为 1 当一定时 曲线随着的变化而沿 x 轴平移 当一定时 曲线的形状由确定 越小 曲线越 瘦高 表示总体的分布越集中 越大 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分散 2 2 正态分布正态分布 1 正态分布的定义及表示 P a X b 则称 X 为正态分布 记作 b a x dx 2 N 2 正态总体在三个特殊区间取值的概率值 P X 0 6826 P 2 X 2 0 9544 P 3 X 3 0 9974 3 3原则 五 回归分析以及独立性检验的基本思想 见教五 回归分析以及独立性检验的基本思想 见教材 材 热点难点精析热点难点精析 1 1 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 例例 一袋装有 6 个同样大小的黑球 编号为 1 2 3 4 5 6 现从中随机取出 3 个球 以 X 表示取出球的最大号码 求 X 的分布列 随机变量 X 的分布列为 X3456 P 1 20 3 20 3 10 1 2 二 离散型随机变量分布列的性质 二 离散型随机变量分布列的性质 例例 设离散型随机变量 X 的分布列为 X01234 P 0 20 10 10 3 m 用心 爱心 专心4 求 1 2X 1 的分布列 2 X 1 的分布列 1 2X 1 的分布列 三 利用随机变量分布解决概率分布问题 三 利用随机变量分布解决概率分布问题 例例 某车间甲组有 10 名工人 其中有 4 名女工人 乙组有 5 名工人 其中有 3 名女工人 现采用分层抽样方法 层内采用不放回简单随机抽样 从甲 乙两组中共抽取 3 名工人进 行技术考核 1 求从甲 乙两组各抽取的人数 2 求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率 3 记表示抽取的 3 名工人中男工人数 求的分布列及数学期望 解解 2 11 46 2 10 8 15 CC P C 3 0123 p 75 6 75 28 75 31 75 10 期望略 二 二项分布及其应用二 二项分布及其应用 一 条件概率 一 条件概率 例例 1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球 2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球 现随机地从 1 号箱 中取出一球放入 2 号箱 然后从 2 号箱随机取出一球 问从 2 号箱取出红球的概率是多少 解答解答 记事件 A 最后从 2 号箱中取出的是红球 事件 B 从 1 号箱中取出的是红球 用心 爱心 专心5 P B 4 2 4 2 3 P A B 3 1 8 1 4 9 P A 3 8 1 1 3 从 1 1 3 P BP B B 而 P A P AB P A P A B P B P A P 4 9 2 3 BBB 1 3 1 3 11 27 二二 事件的相互独立性事件的相互独立性 例例 甲 乙 丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛 第一局由甲 乙参加而丙轮空 以 后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛 而前一局的失败者轮空 比赛按这种规则一 直进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停止 设在每局中参赛者胜负的概率均为 且 2 1 各局胜负相互独立 求 打满 3 局比赛还未停止的概率 比赛停止时已打局数的分别列与期望 E 解析 解析 令分别表示甲 乙 丙在第局中获胜 kkk CBA k 由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知 打满 3 局比赛还未 停止的概率为 123123 33 111 224 P AC BP BC A 的所有可能值为 2 3 4 5 6 故有分布列 从而 局 16 47 E 三三 二项分布二项分布 例例 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训 以提高下岗人员的再就业能力 每名 下岗人员可以选择参加一项培训 参加两项培训或不参加培训 已知参加过财会培训的有 60 参加过计算机培训的有 75 假设每个人对培训项目的选择是相互独立的 且各人的选 择相互之间没有影响 1 任选 1 名下岗人员 求该人参加过培训的概率 2 任选 3 名下岗人员 记为 3 人中参加过培训的人数 求的分布列 解答解答 1 任选 1 名下岗人员 记 该人参加过财会培训 为事件 A 该人参加计算机培训 为事件 B 由题意知 A 与 B 相互独立 且 P A 0 6 P B 0 75 所以 该下岗人员没有 23456 P 1 2 1 4 1 8 1 16 1 16 用心 爱心 专心6 参加过培训的概率为 P P P 1 0 6 1 0 75 0 1A BAB 该人参加过培训的概率为 1 0 1 0 9 2 的分布列为 0123 P0 0010 0270 2430 729 四四 独立重复试验独立重复试验 例例 甲 乙两人各射击一次 击中目标的概率分布是和 假设两人射击是否击中目 2 3 3 4 标相互之间没有影响 每人各次射击是否击中目标 相互之间也没有影响 1 求甲射击 4 次 至少有 1 次未击中目标的概率 2 求两人各射击 4 次 甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率 3 假设某人连续 2 次未击中目标 则终止其射击 问 乙恰好射击 5 次后 被终止射击的概率是多少 解答解答 1 记 甲连续射击 4 次至少有 1 次未击中目标 为事件 由题意 射击 4 次相当于 1 A 作 4 次独立重复试验 故 P 1 P 1 4 1 A 1 A 2 3 65 81 所以甲连续射击 4 次至少有一次未击中目标的概率为 65 81 2 记 甲射击 4 次 恰有 2 次击目标 为事件 乙射击 4 次 恰有 3 次击中目标 2 A 为事件 2 B 则 224 2 24 334 3 24 228 1 3327 3327 1 4464 P AC P BC 由于甲 乙射击相互独立 故 2222 8171 27648 P A BP A P B 所以两人各射击 4 次 甲恰有 2 次击中目标且乙恰有 3 次击中目标的概率为 1 8 3 记 乙恰好射击 5 次后被终止射击 为事件 乙第 次射击未击中 为事件 3 Ai 用心 爱心 专心7 则由于各事件相互 1 2 3 4 5 i D i 3543212121 1 4 i AD D D D DD DD DP D 且 独立 故 3543212121 1131145 1 444441024 P AP D P D P D P D DD DD D 所以乙恰好射击 5 次后被中止射击的概率为 45 1024 三 离散型随机变量的均值与方差的计算三 离散型随机变量的均值与方差的计算 例例 甲乙两队参加奥运知识竞赛 每队 3 人 每人回答一个问题 答对者为本队赢得一 分 答错得零分 假设甲队中每人答对的概率均为 乙队中 3 人答对的概率分别为 3 2 且各人正确与否相互之间没有影响 用表示甲队的总得分 2 1 3 2 3 2 求随机变量分布列和数学期望 用A表示 甲 乙两个队总得分之和等于 3 这一事件 用B表示 甲队总得分大于 乙队总得分 这一事件 求P AB 解答 解答 根据题设可知 3 2 3 B 因此的分布列为 用表示 甲队得 2 3 2 3 3 2 3 3 2 1 0 3 2 3 2 1 3 2 3 3 2 3 EB kCCkP k k kk k 所以 因为 k A 分 这一事件 用表示 已队得分 这一事件 由于事件k k Bk3 2 1 0 k 为互斥事件 故事 1203 BABA 243 34 1203 BAPBAPABP 二 均值与方差的实际应用 二 均值与方差的实际应用 例例 现有甲 乙两个项目 对甲项目每投资十万元 一年后利润是 1 2 万元 1 18 万元 1 17 万元的概率分别为 已知乙项目的利润与产品价格的调整有关 在每次调 1 6 1 2 1 3 整中 价格下降的概率都是 p 0 p 1 设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整 记乙项目产品价格在一年内的下降次数为 X 对乙项目每投资十万元 X 取 0 1 2 时 随 用心 爱心 专心8 机变量 分别表示对甲 乙两项目各投资十万元一年后的利润 1 X 2 X 1 求 的概率分布列和均值 1 X 2 X 1 EX 2 EX 2 当 时 求 p 的取值范围 1 EX 2 EX 解答 解答 1 的概率分布列为 1 X 1 X1 21 181 17 P 1 6 1 2 1 3 1 2 1 18 1 17 1 18 1 EX 1 6 1 2 1 3 由题设得 X B 2 p 即 X 的概率分布列为 X012 p 1 p 22p 1 p P2 故的概率分布列为 2 X 2 X1 31 250 2 P 1 p 22p 1 p P2 所以的均值列为 2 X 1 3 1 p 2 1 25 2p 1 p 0 2 P2 P2 0 1p 1 3 2 EX 2 由 得 P2 0 1p 1 3 1 18 整理得 p 0 4 p 0 3 0 解得 1 EX 2 EX 0 4 p 0 3 因为 0 p 1 当 时 p 的取值范围是 0 p 0 3 1 EX 2 EX 三三 均值与方差性质的应用均值与方差性质的应用 例例 设随机变量具有分布 P k k 1 2 3 4 5 求 E 2 2 D 2 1 1 1 5 用心 爱心 专心9 四 正态分布四 正态分布 22222 2222 2 222 1111115 123453 555555 11111 1234511 55555 1111 1 3 23 33 43 5555 11 53 4 1 0 14 2 55 2 44 44 11 12427 21 48 1 E E D EEEE DD 1 2 DD 一 正态分布下的概率计算 一 正态分布下的概率计算 例例 设 X N 5 1 求 P 6 X 7 解答 解答 由已知5 1 由正态曲线的对称性可得 P 3 X 4 P 6 X 7 P 6 X 7 0 2718 0 1359 2 二 正态曲线的性质 二 正态曲线的性质 例例 如图是一个正态曲线 用心 爱心 专心10 试根据该图象写出其正态曲线函数解析式 求出总体随机变量的期望和方差 解答 从给出的正态曲线可知 该正态曲线关于直线 x 20 对称 最大值是 所以 1 2 解得 于是正态分布密度函数的解析式是 20 11 22 2 总体随机变量的期望是 方差是 2 20 4 1 2 x f xex 20 22 2 2 三 正态分布的应用 三 正态分布的应用 例例 设在一次数学考试中 某班学生的分数服从 且知满分 150 分 2 110 20 XN 这个班的学生共 54 人 求这个班在这次数学考试中及格 不小于 90 分 的人数和 130 分 以上的人数 解答 解答 因为 所以 2 11