2010高三数学高考《导数及其应用》专题学案：变化率与导数、导数的计算

用心 爱心 专心 导数及其应用 1 1 了解导数概念的某些实际背景 如瞬时速度 加速度 光滑曲线切线的斜率等 掌握 函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义 理解导函数的概念 2 2 熟记八个基本导数公式 c m x m 为有理数 xxaexx a xx log ln cos sin 的导数 掌握两 个函数和 差 积 商的求导法则 了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数 3 3 理解可导函数的单调性与其导数的关系 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充 分条件 导数在极值点两侧异号 会求一些实际问题 一般指单峰函数 的最大值和最小 值 导数 导数的概念 导数的求法和 差 积 商 复合函数的导数 导数的应用 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 导数的应用价值极高 主要涉及函数单调性 极大 小 值 以及最大 小 值等 遇到有关问题要能自觉地运用导数 第 1 课时 变化率与导数 导数的计算 1 1 导数的概念 函数 y xf的导数 x f 就是当 x 0 时 函数的增量 y 与自变 量的增量 x的比 x y 的 即 x f 2 2 导函数 函数 y xf在区间 a b 内 的导数都存在 就说 xf在区间 a b 内 其导数也是 a b 内的函数 叫做 xf的 记作 x f 或 x y 函 数 xf的导函数 x f 在 0 xx 时的函数值 就是 xf在 0 x处的导数 基础过关基础过关 知识网络知识网络 考纲导读考纲导读 高考导航高考导航 用心 爱心 专心 3 3 导数的几何意义 设函数 y xf在点 0 x处可导 那么它在该点的导数等于函数所表示 曲线在相应点 00 yxM处的 4 4 求导数的方法 1 八个基本求导公式 C n x n Q sin x cos x x e x a ln x log x a 2 导数的四则运算 vu xCf uv v u 0 v 3 复合函数的导数 设 xu 在点 x 处可导 ufy 在点 xu 处可导 则复合函数 xf 在点 x 处可导 且 x f 即 xux uyy 例例 1 1 求函数 y 1 2 x在 x0到 x0 x 之间的平均变化率 解解 y 11 11 11 2 0 2 0 2 0 2 02 0 2 0 xxx xxx xxx 11 2 11 2 2 0 2 0 0 2 0 2 0 2 0 xxx xx x y xxx xxx 变式训练变式训练 1 1 求 y x在 x x0处的导数 解解 limlimlim 00 0000 0 00 00 xxxx xxxxxx x xxx x y xxx 2 11 lim 000 0 xxxx x 例例 2 2 求下列各函数的导数 1 sin 2 5 x xxx y 2 3 2 1 xxxy 3 4 cos21 2 sin 2 xx y 4 1 1 1 1 xx y 典型例题典型例题 用心 爱心 专心 解解 1 sinsin 2 3 2 3 2 5 2 1 x x xx x xxx y y cossin23 2 3 sin 232 2 5 23 2 3 xxxxxxxxxx 2 方法一方法一 y x2 3x 2 x 3 x3 6x2 11x 6 y 3x2 12x 11 方法二方法二 y 3 2 1 3 2 1 xxxxxx 2 1 2 1 xxxx x 3 x 1 x 2 x 2 x 1 x 3 x 1 x 2 2x 3 x 3 x 1 x 2 3x2 12x 11 3 y sin 2 1 2 cos 2 sinx xx cos 2 1 sin 2 1 sin 2 1 xxxy 4 x xx xx xx y 1 2 1 1 11 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 22 xx x x y 变式训练变式训练 2 2 求 y tanx 的导数 解解 y cos 1 cos sincos cos cossincos sin cos sin 22 22 2 xx xx x xxxx x x 例例 3 3 已知曲线 y 3 4 3 1 3 x 1 求曲线在 x 2 处的切线方程 2 求曲线过点 2 4 的切线方程 解解 1 y x2 在点 P 2 4 处的切线的斜率 k y x 2 4 曲线在点 P 2 4 处的切线方程为 y 4 4 x 2 即 4x y 4 0 2 设曲线 y 3 4 3 1 3 x与过点 P 2 4 的切线相切于点 3 4 3 1 3 00 xxA 则切线的斜率 k y 0 x x 2 0 x 切线方程为 3 4 3 1 0 2 0 3 0 xxxxy 即 3 4 3 2 3 0 2 0 xxxy 点 P 2 4 在切线上 4 3 4 3 2 2 3 0 2 0 xx 即 044 043 2 0 2 0 3 0 2 0 3 0 xxxxx 0 1 1 4 1 000 2 0 xxxx x0 1 x0 2 2 0 解得 x0 1 或 x0 2 用心 爱心 专心 故所求的切线方程为 4x y 4 0 或 x y 2 0 变式训练变式训练 3 3 若直线 y kx 与曲线 y x3 3x2 2x 相切 则 k 答案答案 2 或 4 1 例例 4 4 设函数 bx axxf 1 a b Z Z 曲线 xfy 在点 2 2 f处的切线方程为 y 3 1 求 xf的解析式 2 证明 曲线 xfy 上任一点的切线与直线 x 1 和直线 y x 所围三角形的面积为定值 并求出此定值 1 解解 2 1 bx axf 于是 0 2 1 3 2 1 2 2 b a b a 解得 1 1 b a 或 3 8 4 9 b a 因为 a b Z Z 故 1 1 x xxf 2 证明证明 在曲线上任取一点 1 1 0 00 x xx 由 2 0 0 1 1 1 x xf知 过此点的切线方程为 1 1 1 1 1 0 2 00 0 2 0 xx xx xx y 令 x 1 得 1 1 0 0 x x y 切线与直线 x 1 1 交点为 1 1 1 0 0 x x 令 y x 得12 0 xy 切线与直线 y x 的交点为 12 12 00 xx 直线 x 1 1 与直线 y x 的交点为 1 1 从而所围三角形的面积为222 1 2 2 1 1121 1 1 2 1 0 0 0 0 0 x x x x x 所以 所围三角形的面积为定值 2 变式训练变式训练 4 4 偶函数 f x ax4 bx3 cx2 dx e 的图象过点 P 0 1 且在 x 1 处的切线方 程为 y x 2 求 y f x 的解析式 解解 f x 的图象过点 P 0 1 e 1 又 f x 为偶函数 f x f x 故 ax4 bx3 cx2 dx e ax4 bx3 cx2 dx e b 0 d 0 f x ax4 cx2 1 函数 f x 在 x 1 处的切线方程为 y x 2 可得切点为 1 1 a c 1 1 用心 爱心 专心 1 f 4ax3 2cx x 1