河北省正定中学2013届高三数学第三次模拟试题 文 新人教A版

1 第 3 题 20132013 年河北正定中学高中毕业班第三次模拟考试试卷年河北正定中学高中毕业班第三次模拟考试试卷 数学试题 文科 数学试题 文科 时间 120 分钟 满分 150 分 欢迎你参加这次测试 祝你取得好成绩 注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 答卷前 考生务必将自己的 姓名 准考证号填写在答题卡上 2 回答第 卷时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需 改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 写在本试卷上无效 3 回答第 卷时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 4 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第 I 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题所给的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 已知集合 3 2 A 06 mxxB 若 AB 则实数m A 3 B 2 C 2 或 3 D 0 或 2 或 3 2 已知sin10 k 则 70sin A 2 1 k B 2 1k C 12 2 k D 2 21k 3 一个几何体的三视图如图所示 其中正视图是一个正三角形 则该 几何体的外接球的表面积为 A 3 3 B 3 16 C 3 26 D 27 332 4 某程序框图如图所示 则该程序运行后输出的值是 A 2011 B 2012 C 2013 D 2014 5 直线 3ykx 与圆 22 3 2 4xy 相交于M N 两点 且 2 3MN 则k的取值范围是 A 0 4 3 B 0 4 3 C 3 3 3 3 D 2 0 3 ks5u 6 已知 cos 0 1 1 0 xx f x f xx 则 3 4 3 4 ff 的值为 A 2 B 1 C 1D 2 开始 i 2013 是 否 S 2013 i 0 i i 1 1 SSS 输出S 结束 2 7 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别是 a b c 若 sin 2 sin C A 22 3 2 baac 则 cosB A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 8 设变量 yx 满足约束条件 01 042 022 x yx yx 则 3 3 xy z x 的最大值为 A 3 4 B 2 3 C 5 3 D 13 8 ks5u 9 在正三棱柱 111 CBAABC 中 已知 2 AB 2 1 CC 则异面直线 1 AB 和 1 BC 所成 角的正弦值为 A 1B 7 7 C 2 1 D 2 3 10 函数 1 ln 1 1 f xxx x 的零点所在的区间为 ks5u A 3 1 2 B 3 2 2 C 5 2 2 D 5 3 2 11 已知 21 FF 分别是双曲线 C 1 2 2 2 2 b y a x 的左 右焦点 若 2 F 关于渐近线的对称点恰 落在以 1 F 为圆心 1 OF 为半径的圆上 则C的离心率为 A 3 B 31 C 2 D 2 ks5u 12 函数 2 cossin xxxxxf 则不等式 1 lnfxf 的解集为 A e 1 0 B e e 1 C e D 1 1 e e 第 I 卷 非选择题 共 90 分 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 24 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 复数 2 1 31 21 i i i 3 14 正定中学教学处采用系统抽样方法 从学校高三年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做 学习状况问卷调查 现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号 在 16 1 中随机抽取一个数 如果抽到的是 7 则从 56 41 中应取的数是 15 已知向量a b 满足 2a 1b 且对一切实数x axbab 恒成立 则 a 与b 的夹角为 ks5u 16 已知数列 n a 满足 1 1 2 a 1 1 2 1 nn nn a a aan n n 则该数列的通项公式 n a 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知等差数列 n a 的公差d大于 0 且 35 a a 是方程 2 14450 xx 的两根 数列 n b 的前n项和为 n S 1 2 n n b SnN 1 求数列 nn ab 的通项公式 2 求数列 nn ba 的前n项和 n T 18 本小题满分 12 分 某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次 低碳生活习惯 的调查 以计算每户每月的碳排放量 若月排放量符合低碳标准的称为 低碳族 否则称为 非低碳族 若小区内有至少 75 的住户属于 低碳族 则称这 个小区为 低碳小区 否则称为 非低碳小区 已知备选的 5 个居民小区中有三个非低 碳小区 两个低碳小区 1 求所选的两个小区恰有一个为 非低碳小区 的概率 2 假定选择的 非低碳小区 为小区A 调查显示其 低碳族 的比例为2 1 数据如 图 1 所示 经过同学们的大力宣传 三个月后 又进行了一次调查 数据如图 2 所示 问 这时小区A是否达到 低碳小区 的标准 O 月排放量 百千克 户 频率 组距 0 46 0 23 0 10 0 07 1 2 3 4 5 图 2 O 月排放量 百千克 户 频率 组距 0 30 0 25 0 20 0 15 0 05 1 2 3 4 5 图 1 6 0 14 19 本小题满分 12 分 在直三棱柱 111 CBAABC 中 AD 平面 1 A BC 其垂足D落在直线 4 1 A B 上 1 求证 BABC 1 2 若 3 AD 2 BCAB P为AC的中点 求三棱 锥 BCAP 1 的体积 20 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 E到两点 1 1 0 F 2 1 0 F 的距离之和为2 2 设点 E的轨迹为曲线C 1 写出C的方程 2 设过点 2 1 0 F 的斜率为k 0k 的直线l与曲 线C交于不同的两点M N 点P在 y 轴上 且 PMPN 求点P纵坐标的取值范围 21 本小题满分 12 分 已知函数 xxxfln2 2 1 求函数 xf 的最大值 2 若函数 xf 与 x a xxg 有相同极值点 求实数a的值 若对于 3 1 21 e xx e为自然对数的底数 不等式 1 1 21 k xgxf 恒成立 求实 数k的取值范围 请考生在第 22 23 24 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 已知PA与圆O相切于点A 经过点O的割线PBC交 圆O于点 CB APC 的平分线分别交 ACAB 于 点 ED 1 证明 ADEAED 2 若 APAC 求 PC PA的值 A1 B1 C1 C B B D P 第19题 D P O C E A B 5 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系内 已知曲线 1 C 的方程为 2 2 cos2sin 40 以极点为原点 极 轴方向为x正半轴方向 利用相同单位长度建立平面直角坐标系 曲线 2 C 的参数方程为 51 4 5183 xt yt t为参数 1 求曲线 1 C 的直角坐标方程以及曲线 2 C 的普通方程 2 设点P为曲线 2 C 上的动点 过点P作曲线 1 C 的两条切线 求这两条切线所成角余弦 值的取值范围 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知常数a满足 11a 解关于x的不等式 11axx 6 2013 年河北正定中学高中毕业班第三次模拟考试试卷 数学试题 文科 答案 一 选择题 DDBBA CCCAC DB 二 填空题 i 55 3 4 3 1 n n 三 解答题 17 1 因为 35 a a 是方程 2 14450 xx 的两根 且数列 n a 的公差 0d 所以 35 5 9aa 公差 53 2 53 aa d 所以 5 521 n aandn 2 分 又当 1n 时 有 1 11 1 2 b bS 所以 1 1 3 b ks5u 当 2n 时 有 11 1 2 nnnnn bSSbb 所以 1 1 2 3 n n b n b 所以数列 n b 是首项为 1 3 公比为 1 3的等比数列 所以 1 111 333 n n n b 6 分 2 因为 21 3 nnn n n cab 则 123 135 333 n T 21 3n n 234 1135 3333 n T 1 2321 33 nn nn 由 得 23 2122 3333 n T 1 221 33 nn n 231 1 3 11121 2 3333 nn n 整理 得 1 1 3 n n n T 12 分 18 解 设三个 非低碳小区 为 CBA 两个 低碳小区 为 m n ks5u 用 yx 表示选定的两个小区 x yA B C m n 7 则从 5 个小区中任选两个小区 所有可能的结果有 10 个 它们是 A B A C A m A n B C B m B n C m C n m n 3 分 用D表示 选出的两个小区恰有一个为非低碳小区 这一事件 则D中的结果有 6 个 它们是 A m A n B m B n C m C n 故所求概率为 63 105 P D 6 分 II 由图 1 可知月碳排放量不超过300千克的成为 低碳族 8 分 由图 2 可知 三个月后的低碳族的比例为0 07 0 230 460 760 75 所以三个月后小区A达到了 低碳小区 标准 12 分 19 证明 三棱柱 111 CBAABC 为直三棱柱 AA1 平面ABC 又 BC 平面ABC BCAA 1 AD 平面 1 ABC 且 BC 平面 1 ABC BCAD 又 1 AA 平面 ABA1 AD 平面 ABA1 AADAA 1 BC 平面 1 A AB 又 BA1 平面 BCA1 BABC 1 5 分 2 在直三棱柱 111 CBAABC 中 AA1 AB AD 平面 1 ABC 其垂足D落在直线 1 AB 上 BAAD 1 在Rt ABD 中 3AD AB BC 2 3 sin 2 AD ABD AB 0 60ABD 在 1 RtABA 中 tanAAAB 0 1 602 3 8 分 由 1 知BC 平面 1 A AB AB 平面 ABA1 从而 ABBC 222 2 1 2 1 BCABS ABC P为AC的中点 1 2 1 ABCBCP SS 10 分 ks5u BCAP V 1 1 1 112 3 1 2 3 333 ABCPBCP VSA A 12 分 8 20 解 由题设知 1212 2 2 EFEFFF 根据椭圆的定义 E的轨迹是焦点为 1 F 2 F 长轴长为2 2的椭圆 设其方程为 22 22 10 xy ab ab 则 1c 2a 1b 所以C的方程为 2 2 1 2 x y 4 分 II 依题设直线l的方程为 1 yk x 将 1 yk x 代入 2 2 1 2 x y 并整理得 2222 21 4220kxk xk 2 880k 6 分 设 11 M x y 22 N xy 则 2 12 2 4 21 k xx k 2 12 2 22 21 k x x k 设MN的中点为Q 则 2 2 2 21 Q k x k 2 1 21 QQ k yk x k 即 2 22 2 21 21 kk Q kk 8 分 因为 0k 所以直线MN的垂直平分线的方程为 2 22 12 2121 kk yx kkk 令 0 x 解得 2 1 1 21 2 P k y k k k 10 分 当 0k 时 因为 1 22 2k k 所以 2 0 4 P y 当 0k 时 因为 1 22 2k k 所以 2 0 4 P y 综上得点P纵坐标的取值范围是 22 0 0 44 12 分 21 1 2112 20 xx fxxx xx 1 分 9 由 0 0 fx x 得0 1x 由 0 0 fx x 得 1x f x 在 0 1 上为增函数 在 1 上为减函数 3 分 函数 f x 的最大值为 11f 4 分 2 2 1 aa g xxgx xx 由 1 知 1x 是函数 f x 的极值点 又 函数 f x 与 a g xx x 有相同极值点 1x 是函数 g x 的极值点 110ga 解得 1a 经验证 当 1a 时 函数 g x 在 1x 时取到极小值 符合题意 6 分 2 11 2 11 392ln3fff ee 易知 2 1 92ln321 e 即 1 31fff e ks5u 111 minmax 1 3 392ln3 11xf xff xf e 由 知 2 11 1g xxgx xx 当 1 1x e 时 0gx 当 1 3x 时 0gx 故 g x 在 1 1 e 上为减函数 在 1 3 上为增函数 11110 12 33 33 gegg ee 而 1101 2 13 3 eggg ee 10 222 minmax 110 3 12 3 3 xg xgg xg e 9 分 1 当10k 即 1k 时 对于 12 1 3x x e 不等式 12 1 1 f xg x k 恒成立 12 max 1kf xg x 12 max 1kf xg x 12 111 23f xg xfg 3 12 1 1kkk 又 2 当 10k 即 1k 时 对于 12 1 3x x e 不等式 12 1 1 f xg x k 恒成立 12 min 1kf xg x 12 min 1kf xg x 12 1037 3392ln32ln3 33 f xg xfg 3434 2ln3 1 2ln3 33 kkk 又 综上 所求实数k的取值范围为 34 2ln31 3 12 分 22 1 PA 是切线 AB 是弦 BAP C 又 APD CPE BAP