河北省石家庄市2011届高三数学第一次模拟考试 理 旧人教版

用心 爱心 专心 1 绝密 启用前试卷类型 A 20112011 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷理科数学理科数学 说明 1 本试卷共 4 页 包括三道大题 22 道小题 共 150 分 其中第一道大题为选择题 2 所有答案在答题卡上作答 在本试卷和草稿纸上作答无效 答题前请仔细阅读答题卡上的 注意事项 按照 注意事项 的规定答题 3 做选择题时 如需改动 请用橡皮将原选答案擦干净 再选涂其它答案 参考公式 如果事件 4 5 互斥 那么球的表面积公式 P A B P A P B 如果事件 A B 相互独立 那么其中表示球的半径 P A B P A P B 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概 率是 p 那么 n 次独立重复试验中事 件 A 恰好发生 k 次的概率其中 R 表示球的半径 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 已知 i 是虚数单位 复数的虚部为 A 1B 1C iD i 2 若 则 A 2 2 B 2 1 C 0 2 D 2 0 3 右图中的小网格由等大的小正方形拼成 向量 a 等于 A B C D 4 已知 且 则的值 为 用心 爱心 专心 2 A B C D 5 已知椭圆的焦点分别是 P 是椭圆上一点 若连结 F1 F2 P 三点恰好能 构成直角三角形 则点 P 到 y 轴的距离是 A B 3 C D 6 若多项式则的值为 A 10 B 45 C 9 D 45 7 已知 a b c 成等差数列 则直线 zx by c 0 被曲线 截得的弦长的 最小值为 A B 1 C D 2 8 已知且则下列结论正确的是 A B C D 9 设 x y 满足约束条件 若目标函数 z ax by a 0 b 0 的最大值为 6 则 的最小值为 A 1B 3C 2D 4 10 对于非空数集 A 若实数 M 满足对任意的恒有 则称 M 为 A 的上界 若 A 的所有 上界中存在最小值 则称此最小值为 A 的上确界 那么下列函数的值域中具有上确界的是 A B y xC y XD y lnx 11 在直三棱柱中 AC AA1 1 D F 分别为棱 AC AB 上的动点 不包括端点 若 C1F 丄 B1D 则线段 DF 长度的取值范围为 A B C D 12 设函数 其中 x 表示不超过 x 的最大整数 如 1 2 2 1 2 1 1 1 若直线与函数 y f x 的图象恰有三个不同的交点 则 k 用心 爱心 专心 3 的取值范围是 A B C D 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知直线与直线 若 则实数 a 的值是 14 三棱锥P ABC中 PB丄平面ABC AB BC 2 PB 2 则点B到平 面PAC的距离是 15 用直线 y m 和直线 y x 将区域分成若干块 现在用 5 种不同的颜色给这若干块 染色 每块只染一种颜色 且任意两块不同色 若共有 120 种不同的染色方法 则实数 m 的取 值范围是 16 已知中 角A B C的对边长分别是a b c 且满足 BE与 CF 分 别为边 AC AB 上的中线 则 BE 与 CF夹角的余弦值为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 在 ABC 中 角 A B C 的对边长分别是 a b c 若 I 求内角 B 的大小 II 若 b 2 求面积的最大值 18 本小题满分 12 分 如图所示 五面体 ABCDE 中 正的边长为 1 AE 丄平面 ABC CD AE 且 CD AE I 设 CE 与平面 ABE 所成的角为 a AE k k 0 若 求 A 的取值范围 II 在 I 的条件下 当 k 取得最大值时 求平面 BDE 与 平面 ABC 所成角的大小 19 本小题满分 12 分 用心 爱心 专心 4 已知函数 I 求函数 的单调区间 II 若 求 a 的取值范围 20 本小题满分 12 分 在 环境保护低碳生活知识竞赛 第一环节测试中 设有 A B C三道必答题 分值依次为 20 分 30 分 50 分 竞赛规定 若参赛选手连续两道题答题错误 则必答题总分记为零分 否 则各题得分之和记为必答题总分 已知某选手回答 A B C三道题正确的概率分别为 且回答各题时相互之间没有影响 I 若此选手可以自由选择答题顺序 求其必答题总分为 50 分的概率 II 若此选手按 A B C 的顺序答题 求其必答题总分 的分布列和数学期望 21 本小题满分 12 分 已知椭圆的上 下顶点分别为是椭圆上两个不同的动 点 I 求直线 A1M 与 A2N 交点的轨迹 C 的方程 II 若过点 F 0 2 的动直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 问在 y 轴上是否存在定 点 E 使得 若存在 求出 E 点的坐标 若不存在 说明理由 22 本小题满分 12 分 用心 爱心 专心 5 已知数列中 I 求证 当且 I I 求证 e 为自然对数的底数 参考数据 ln3 1 1 ln4 1 4 2010 2011 年度石家庄市第一次模拟考试 理科数学答案 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 A 卷答案 1 5 ADCDA 6 10 BDDAB 11 12 CD B 卷答案 1 5 BDCDB 6 10 ADDBA 11 12 CD 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 13 1 或 2 14 2 15 3 3 16 0 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 解 I 解法一 0cos 2 cos BcaCb 由正弦定理得 BABCCBcossin2cossincossin 即BACBcossin2 sin 2 分 在ABC 中 ACB BAAcossin2sin 0sin A 3 分 2 1 cos B 3 2 B 5 分 解法二 因为0cos 2 cos BcaCb 由余弦定理 222222 2 0 22 abcacb bac abac 化简得 222 aaccb 2 分 E 用心 爱心 专心 6 又余弦定理 222 2cosacacBb 3 分 所以 1 cos 2 B 又 0 B 有 2 3 B 5 分 II 解法一 222 2cosbacacB 22 4acac 6 分 23acacac 4 3 ac 8 分 11433 sin 22323 ABC SacB 9 分 当且仅当 2 3 3 ac 时取得等号 10 分 解法二 由正弦定理知 B b C c sinsin 3 sin 3 34 3 2 sin 3 sin 2 sin sin A A B Cb c 6 分 ABC S Abcsin 2 1 3 0 sin 3 sin 3 34 AAA AAAsin sin 2 1 cos 2 3 3 34 AAA 2 sin 3 32 cossin2 2cos1 3 3 2sinAA 3 3 2cos 3 3 2sin AA 3 3 6 2sin 3 32 A 8 分 3 0 A 6 5 6 2 6 A 1 2 sin 6 2sin A 9 分 3 3 3 3 6 2sin 3 32 A 用心 爱心 专心 7 即ABC 的面积 ABC S 的最大值是 3 3 10 分 18 本小题满分 12 分 解 方法一 取AB中点M 连结CM EM 由 ABC 为正三角形 得CMAB 又 AEABC 面 则AECM 可知 CMABE 面 所以MEC 为CE与平面 ABE所成角 2 分 2 3 2 tan 1 4 CM EM k 4 分 因为 6 4 得 3 tan 1 3 得 2 2 2 k 6 分 延长ACED 交于点 连BS 可知平面BDE 平面ABC BS 7 分 由 CDAE 且 1 2 CDAE 又因为ACCSBC 1 从而ABBS 8 分 又AE 面ABC 由三垂线定理可知BEBS 即EBA 为平面BDE与平面ABC所成 的角 10 分 则tan2 AE EBA AB 从而平面BDE与面ABC所成的角的大小为arctan2 12 分 方法二 解 如图以 C 为坐标原点 CA CD 为 y z 轴 垂直于 CA CD 的直线 CT 为 x 轴 建立空间直角坐标系 如图 则 用心 爱心 专心 8 设 0 1 0 A 0 0 2 k D 0 1 Ek 3 1 0 22 B 2 分 取 AB 的中点 M 则 3 3 0 44 M 易知 ABE 的一个法向量为 3 3 0 44 CM 由题意 2 2 3 3 4 sin 39 2 1 1 1616 CE CM CECM k k 4 分 由 6 4 则 1 2 2 32 sin 2 2 1k 得 2 2 2 k 6 分 由 知k最大值为2 则当2k 时 设平面 BDE 法向量为x y z n 则 2 0 2 32 0 222 DEyz y BExz n n 取n 3 1 2 8 分 又平面 ABC 法向量为m 0 0 1 10 分 所以cos n m 23 3 231 所以平面 BDE 与平面 ABC 所成角大小 3 arccos 3 12 分 19 本小题满分 12 分 解 f x的定义域为 0 1 分 2 1 fxxa x 2 21xax x 0 x 用心 爱心 专心 9 设 2 21g xxax 只需讨论 g x在 0 上的符号 2 分 1 若0 4 a 即0a 由 g x过定点 0 1 知 g x在 0 上恒正 故 0fx f x在 0 上为增函数 3 分 2 若0 4 a 当 2 80a 时 即02 2a 时 知 0g x 当 2 2 x 时 取 故 0fx f x在 0 上为增函数 4 分 当 2 80a 时 由 2 210 xax 得 2 8 4 aa x 当 2 8 0 4 aa x 或 2 8 4 aa x 时 0g x 即 0fx 当 22 88 44 aaaa x 时 0g x 即 0fx 则 f x在 22 88 44 aaaa 上为减函数 在 2 8 0 4 aa 2 8 4 aa 上为增函数 5 分 综上可得 当2 2a 时 函数 f x 的单调增区间 0 当2 2a 时 函数 f x 的单调增区间为 2 8 0 4 aa 2 8 4 aa 函数 f x 的单调减区间为 22 88 44 aaaa 6 分 由条件可得 2 ln00 xxaxx 则当0 x 时 ln x ax x 恒成立 8 分 令 ln 0 x h xx x x 则 2 1ln xx h x x 9 分 方法一 令 2 1ln 0 k xxx x 用心 爱心 专心 10 则当0 x 时 1 20k xx x 所以 k x在 0 上为减函数 又 1 0 h 所以在 0 1 上 0h x 在 1 上 0h x 10 分 所以 h x在 0 1 上为增函数 在 1 上为减函数 所以 max 1 1h xh 所以1 a 12 分 方法二 当01x 时 2 10 ln0 xx 0h x 当1x 时 2 10 ln0 xx 0h x 10 分 所以 h x在 0 1 上为增函数 在 1 上为减函数 所以 max 1 1h xh 所以1 a 12 分 20 本小题满分 12 分 解 记总分得 50 分为事件 D 记 A B 答对 C 答错为事件 D1 记 A B 答错 C 答对为事件 D2 则 D D1 D2 且 D1 D2互斥 1 分 又 8 1 4 1 1 3 1 2 1 1 DP 3 分 36 1 4 1 3 1 1 2 1 3 3 2 2 2 A A DP 5 分 所以 1212 1111 83672 P DP DDP DP D 所以此选手可自由选择答题顺序 必答题总分为 50 分的概率为 11 72 6 分 可能的取值是0 30 50 70 80100 7 分 100 表示 A B C 三题均答对 则 24 1 4 1 3 1 2 1 100 P 8 分 同理 24 1 4 1 3 1 2 1 1 80 P 12 1 4 1 3 1 1 2 1 70 P 8 1 4 1 1 3 1 2 1 50 P 用心 爱心 专心 11 8 1 4 1 1 3 1 2 1 1 30 P 12 7 3 1 1 2 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 0 P 所以 的分布列为 100807050300 P 24 1 24 1 12 1 8 1 8 1 12 7 10 分 所以 的数学期望 1111170 10080705030 242412883 E 12 分 21 本小题满分 12 分 解 方法一 设直线MA1与NA2的交点为 yxP 21 AA 是椭圆1 3 2 2 y x的上 下顶点 12 03 03 AA 1 分 1 1 1 3 3 y AMyx x 1 2 1 3 3 y A Nyx x 两式相乘得 2 2 1 2 1 2 3 3x x y y 3 分 而 11 yxM在椭圆1 3 2 2 y x 1 0 x 上 所以1 3 2 1 2 1 y x 即3 3 2 1 2 1 x y 所以 22 33xy 4 分 又当0 x 时 不合题意 去掉顶点 直线MA1与NA2的交点的轨迹C的方程是 2 2 1 0 3 y xx 5 分 方法二 设直线MA1与NA2的交点为 yxP 用心 爱心 专心 12 21 AA 是椭圆1 3 2 2 y x的上 下顶点 12 03 03 AA 1 分 PMA 1 共线 PNA 2 共线 x y x y33 1 1 x y x y33 1 1 3 分 得 2 2 2 1 2 1 3 3 x y x y 又 1 3 2 1 2 1 y x即3 3 2 1 2 1 x y 3 3 2 2 x y 即 2 2 1 0 3 y xx 直线MA1与NA2的交点的轨迹C的方程是1 3 2 2 x y 0 x 5 分 假设存在满足条件的直线 由已知 其斜率一定存在 设其斜率为k 设 11 yxA 22 yxB 0 0 yE 由 2 2 2 1 3 ykx y x 得 3 014 3 222 kkxxk 3 1 3 4 2 21 2 21 k xx k k xx 6 分 11 2 AFxy 22 2 FBxy AFFB 21 xx 0 2 x 2 1 x x 0 2 OF 110 EAxyy 220 EBxyy 用心 爱心 专心 13 121020 EAEBxxyyyy 又 OFEAEB 0OFEAEB 0 2 0 020121 yyyyxx 即0 0201 yyyy 8 分 将2 11 kxy 2 22 kxy 2 1 x x 代入上式并整理得 0212121 22yxxxxxkx 9 分 当0 21 xx时 2 3 2 3 4 3 2 2 2 2 2 21 21 0 k k k k xx xkx y 当0 21 xx时 0 k 0212121 22yxxxxxkx 恒成立 11 分 所以 在y轴上存在定点E 使得 OFEAEB 点E的坐标为 2 3 0 12 分 22 本小题满分 12 分 I 证明 方法一 01 1 a 由 12 1 3 1 1 1 n nn a n a得0 2 a 于是易得0 n a 2 分 又 1 21 1 0 3 n nn n a aan n N 即 1 nn a