2012年高考数学 冲刺60天解题策略 专题二 三角函数与平面向量 第四节 平面向量与几何的综合应用

用心 爱心 专心1 三角函数与平面向量三角函数与平面向量 平面向量与几何的综合应用内容为每年高考必考内容 多以选择题 填空题 形式考 查平面向量相关概念的几何意义及与平面几何知识的综合应用 或作为题设条件与解析几 何知识综合以解答题形式出现 分值在 4 12 分左右 难度系数在 0 3 0 6 之间 考试要求考试要求 理解平面向量的概念 两个向量平行或共线及相等的几何意义 掌握向量的 加减法运算及数乘运算几何意义 了解向量线性运算的性质及其几何意义 了解平面向 量基本定理及其意义 理解平面向量的数量积的含义 了解平面向量的数量积与向量投 影的关系 能用数量积表示两向量的夹角 会用数量积判断两向量的垂直关系 会用向 量方法解决简单的平面几何问题和简单力学问题及其他一些实际问题 题型题型 一一 平面向量加减法及数乘运算的几何意义应用平面向量加减法及数乘运算的几何意义应用 例例 1 1 已知为平面上四点 且 则 O A M B 1 OMOBOA 1 2 A 点M在线段AB上 B 点B在线段AM上 C 点A在线段BM上 D O A M B四点共线 在中 点D在AB上 CD平分ACB 若 ABCACBa CAb 1a 则 A B C 2b CD 12 33 ab 21 33 ab 34 55 ab D 43 55 ab 点拨 点拨 考查了平面向量的加减法运算 利用数乘运算几何意义根据来判断点M 1 2 的位置 考查向量的基本运算和三角形的角平分线定理 关键在于确定点D在AB上的位 置 由角平分线定理得出D为AB的三等分点 结合向量的基本运算求解 解 解 选 B 根据题意知 则 OMOBOAOAOBOAOA 即 由判断出点 在线段AB的延长线上 OMOAOBOA AMAB 1 2 即点B在线段AM上 选 B 因为CD平分ACB 由角平分线定理得 所以 为AB的三等 2 1 ADCA DBCB 分点 且 故 22 33 ADABCBCA 2121 3333 CDCAADCBCAab 易错点 易错点 没有根据来判断点M的位置 同学对角平分线定理不熟悉 导致求 1 2 解出错 变式与引申变式与引申 1 1 已知和点M满足 若存在实数使得ABC 0MAMBMC m 成立 则 ABACmAM m A 2 B 3 C 4 D 5 2 设分别是的三边上的点 且 D E FABC BCCAAB 2 DCBD 2 CEEA 用心 爱心 专心2 则与 2 AFFB ADBECF BC A 反向平行 B 同向平行 C 互相垂直 D 既不平行也不垂直 题型二题型二 平面向平面向量基本定理及数量积的几何意义应用量基本定理及数量积的几何意义应用 例例 2 2 在正六边形中 点是内 包括边界 的动点 若ABCDEFPCDE 则的取值范围是 APABAF R 已知 设 如果 OAa OBb OCc ODd OEe tR 3ac 那么 为何值时 三点在一条直线上 2bd et ab t C D E 点拨 点拨 利用平面向量基本定理和向量加法的平行四边形法则 通过画图数形结合解出 或者用平面向量基本定理及线性规划的知识来解出 向量个数较多 应选准一对作为基 底 利用平面向量共线充要条件列出方程求解 解 解 方法一 的取值范围是 从特例试一试 当点与重合时 如图 3 4PC 确定 过点作和 即和 的平行线得 易知241 AC CABAFEDCDAGCFA 2 1 所以 同理点与重合时 也可以得 点与重合3 PE3 PD 时 所以 2 4 方法二 如图建立直角坐标系 设六边形的边长为 2 各个顶点的坐标分242 别是 1 3 A 1 3 B 2 0 C 1 3 D 1 3 E 2 0 F 令 那么 P x y 1 3 APxy 2 0 AB 1 3 AF 由得 二者联立APABAF 12x 33y 有 因为点在内 包括边界 所以点21x 33y PCDE P 必在直线和的下方 同时在直线的上方 求出直线和的方程 DECDCECDCE 根据线性规划知识得到点满足的约束条件是 把分别换成P 3 3 2 3 2 3 y yx yx xy 得 作图验证可知 当点与重合时 21 33 2 2 3 PC2 即 点与重合时 即 所以的取值范围1 3 PD2 4 是 3 4 由题设知 23 3 CDdcba CEectatb C D E三点在一条直线 上的充要条件是存在实数k 使得CEkCD 即 3 32tatbkakb 整理得 33 2 tk akt b 若 a b 共线 则t可为任意实数 若 a b 不共线 则有 330 20 tk tk 解之得 6 5 t 所以综上所述 当 a b 共线时 则t可为任意实数 当 a b 不共线时 6 5 t G 图241 A B C D E F 图242 x C y F ED A B o P 用心 爱心 专心3 易错点 易错点 对平面向量基本定理概念不清晰 利用向量加法进行平行四边形法则作图不到 位 判断的取值出错 不能正确选准一对向量来作为基底去表示 没 CEkCD 有对是否共线进行分类讨论 a b 变式与引申变式与引申 3 3 已知在平面直角坐标系中 2 0 A 1 3 B O 为原点 且 OBOAOM 其中1 均为实数 若N 1 0 则 MN的最小值 是 4 已知 1 点在内 且 30 设OA OB 3 OA OB 0CAOB AOC 则等于 OC mOAnOB m nR n m A B 3 C D 3 1 3 3 3 题型三题型三 平面向量与平面几何综合的问题平面向量与平面几何综合的问题 例 例 已知中 过重心G的直线交AB于P 交边AC于Q 设的面积ABC APQ 为 的面积为 2 S APpPB AQqQC 则 pq pq 1 SABC 1 2 S S 的取值范围是 已知圆的半径为 为该圆的两条切线 为两切点 那么的O PA PBABPA PB 最小值为 42 32 42 2 32 2 点拨 点拨 令通过引入中间变量根据三 12 ABa ACb APa AQb PQPG 角形的重心和平面向量的基本定理演算出和之间的关系式 用的三角函数形pqAPB 式表示出 再使用均值不等式得到答案 或者建立适当的坐标系 使用向量数量PA PB 积的坐标运算形式求解 解 解 1 pq pq 1 2 S S 4 1 9 2 设因为G是 12 ABa ACb APa AQb ABC的重心 故 1 3 AGab 又 1 11 33 PGAGAPab 21 PQAQAPba 因为PG 与PQ 共线 所以 即PQPG 用心 爱心 专心4 112 11 0 33 ab 又a 与b 不共线 所以 11 1 3 及 2 1 3 消去 得 1212 3 能重合 故 1 2 S S 4 1 9 2 选 D 方法一 如图 令 244 0APB cosPA PBPA PB 22 2 22 22 1 22 tan 222 1sin 12sin cos cos 12sin 2sinsin 令 2 sin 01 2 xx 1 1 2 1 232 23 xx PA PBx xx 方法二 以圆心 O 的坐标原点 以 OP 为轴 建立坐标系 圆的方程为 x 22 1xy 设 11 A x y 11 B xy 0 0 P x 由 222 10110111001 2PA PBxxyxxyxx xxy AOPA 11101 0 x yxxy 22 110110 01xx xyx x 所以有 222 11001 2PA PBxx xxy 22222 10110 2 1 232 23xxxxx 易错点 易错点 没有正确引入中间变量使得和之间的关系式运算出错 对的三pqPA PB B 图244 P A O 用心 爱心 专心5 角形式化简方向偏离正确结构或建立坐标系没有利用得出 难以继续演AOPA 10 1x x 算 题型四题型四 平面向量与圆锥曲线综合的问题平面向量与圆锥曲线综合的问题 例例 4 4 如图 已知双曲线 直线与一条246 C 22 22 1 xy ab 00 ab 2 1 a lx c 渐近线交于点是双曲线的右焦点 为坐标原点 l2 M FCO 1证 OMMF 若 且双曲线的离心率 求双曲线的方程 1MF C 6 2 e C 在 的条件下 直线过点与双曲线右支交于不同的两l3 0 1 A 点 且在之间 满足 试判断的范围 P QP A QAPAQ 并 用代数方法给出证明 注注 考虑课程标准和教材关于双曲线的准线方程不作要求 所以题目里给出的直线 实际上就是双曲线的右准线 2 1 a lx c 点拨 点拨 由题意写出点的坐标 判断即可 M F0OM MF 由离心率和建立关于方程组求解出的值 1MF a b a b 由题意可初步猜想出 用直线与圆锥曲线的位置关系来进一步推证 01 解 解 因为 渐近线 所以又 2 1 a lx c 2 b lyx a 2 aab M cc 0 F c 得出 有 222 cab 2 aab OM cc 22 aabbab MFc cccc 用心 爱心 专心6 所以 2222 22 a ba b OM MF cc 0 OMMF 因为 所以 即 又 故 6 2 e 2 2 1 2 b e a 22 2ab 1MF 422 22 1 ba b cc 解得 即所求的双曲线的方程为 222 2 1 b ba c 22 12ba C x y 2 2 2 1 由题意可得 证明 设 点 由01 3 l1ykx 1122 P xyQ xy 和 22 22xy 1ykx 联立消去得出方程 因为与双曲线右支交于不同的两点y 22 1 2 440kxkx 3 lC 得出不等式组 化简得 解得 P Q 2 22 12 2 12 2 1 20 1616 1 2 0 4 0 1 2 4 0 1 2 k kk k xx k x x k 2 2 2 2 1 0 1 20 k k k k 又 有成立 故 2 1 2 k APAQ 1122 1 1 xyxy 12 xx 消得 2 2 4 1 1 2 k x k 2 2 2 4 1 2 x k 2 x 2 1 因为 有成立 得出 22 222 1642 2 4 1 2 2121 kk kkk 2 1 2 k 2 021 1k 2 1 4 解得且 根据题意知在之间 所以的取值范围是 1 P A Q 0 1 易错点 易错点 在第 问中字母的代数式运算出错 解得且之后 不结合题意分析 1 的取值范围 变式与引申变式与引申 7 7 已知定点 1 0 和B 1 0 是圆上的一动点 AP 22 3 4 4xy 则的最大值是 最小值是 22 PAPB 用心 爱心 专心7 本节主要考查本节主要考查 知识点有平面向量的加减法 向量共线定理 平面向量的基本定理 向量 的数量积的几何意义及运算 平面向量平行和垂直位置关系 演绎推理能力 运算能力 创新意识 数形结合思想 函数 不等式思想 分类讨论思想 化归转化思想和应用向 量法分析解决问题 点评点评 认识向量的几何特性 对于向量问题一定要结合图形进行研究 掌握平面向量相关 概念的几何意义 正确地运用向量的各种运算来处理向量与几何的综合应用问题 如例 1 例 2 要善于利用向量 数 与 形 两方面的特征 理解向量数量积的定义 运 算律 性质几何意义 并能灵活应用处理与向量的夹角 模长和垂直的相关问题 平面 向量能与中学数学内容的许多主干知识综合 形成知识交汇点 注意向量在知识的交汇点 处命题 要关注平面向量与三角形等平面几何知识相结合的综合问题 如例 及平面向 量作为解析几何问题的已知条件与之交织在一起的综合问题 例 平面向量重视考查 综合能力 体现了向量的工具性及学生分析问题 解决问题的能力 学生要善于运用向量 方法解题 树立运用向量知识解题的意识 知晓三角形五 心 向量形式的充要条件 设为所在平面上一点 角所对边长分别为 则OABC A B C a b c 为的外心 OABC 222 OAOBOC 为的重心 OABC 0OAOBOC 为的垂心 OABC OA OBOB OCOC OA 为的内心 OABC 0aOAbOBcOC 为的的旁心 OABC A aOAbOBcOC 习题 习题 1 已知非零向量与满足 0 且 则 AB AC ABAC ABAC BC ABAC ABAC 1 2 ABC为 A 三边均不相等的三角形 B 直角三角形 C 等腰非等边三角形 D 等边三角 形 2 设 P 为内一点 且 则的面积与面积之比为 ABC 31 45 APABAC ABP ABC A B C D 1 4 3 4 1 5 4 5 3 已知 关于的函数 在上有极值 则与20ab x 32 11 32 yxa xa b x Ra 夹角的范围b 是 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A 1 2 B 2 3 C 2 1 1 求以线段 AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 用心 爱心 专心8 2 设实数 t 满足 OCtAB OC 0 求 t 的值 5 已知椭圆 斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A B 两点 1 39 22 yx 1 3 a OBOAb 1 判断与是否共线 a b 2 设 M 为椭圆上任 意一点 且 证明 为定 OBOAOM R 22 值 答案答案 变式与引申变式与引申 3 3 解 解 的最小值是 2 23 由OMOAOB 及1 知 MN 点 与点 共线 所以的最小值是点到直线的距离 在中求ABMN NABRt ABN 解得最小值是 2 23 MN 4 解 解 选 B 由已知判断出点C在上 且1 3 0 OAOBOA OB ABAOC 设A点坐标为 1 0 B点的坐标为 0 C点的坐标为 x y 30o 3 3 4 3 4 建立方程解出 所以 3 OC mOAnOB m nR 3 4 m 1 4 n m n 变式与引申变式与引申 5 5 解 解 选 如答图 过作于点 C241 AAHBC H 取中点 由题意知 BCDsin B AB sin C AC AH OPOA 即 又因为 sin sin ABAC B ABC AC ABAC AHAH ABAC AP AH A HC D B 答图241 A C B P O 答图242 用心 爱心 专心9 A B P C M N D 得ABAC 2AD 2 APAD AH 所以的轨迹一定通过的重心 PABC 6 6 解 解 最小值为 如答图 2 242 PAPBPC 2PO PC 2 POPC 等号在 即为的中点时 2 2 2 POPC 2 POPC POC 成立 变式与引申变式与引申 7 7 解 解 的最大值为 最小值为 22 PAPB 10020 分析 因为 为B的中点 所以故可利用向量把A2 PAPBPO 问题转化为求向量的最值 如答图 2 6 设圆心为C 由已知可得 OP 又由中点公式得 1 0 1 0 OAOB 0 1OAOBOA OB 所以2PAPBPO 22 2 2PAPBPAPBPA PB 2 2 2 POOAOPOBOP 22 4222 POOA OBOPOPOAOB 又因为 点在圆上 所以 2 22OP 3 4 OC P 22 3 4 4xy 且 所以有5 2 OCCP OPOCCP OCCPOPOCCPOCCP 3OCCP 7OCCP 即 所以的最大值为 37OP 222 2022100PAPBOP 22 PAPB 100 最小值为 20 习题习题 2 42 4 1 选D 非零向量与满足 0 即角A的平分线垂直于BC 所以 ABAC ABAC BC AB AC 又 所以 即 A 故 ABC为等边三角形 ABAC ABAC 1 2 cos A 1 23 2 选 C 解析 如图 过 P 作 PM AC PN AB 因为 31 45 APA