夫琅禾费单缝衍射光强分析与探讨----修改

1 夫琅禾费单缝衍射光强分析与探讨 摘要 在夫琅禾费单缝衍射实验中 如果在透镜的物方焦面内沿着某一圆周改 变光源 S 的位置 让透镜出射的单色 平面光波都以相同的入射角 H0 入射到单缝衍射屏上 则单缝衍射光强分布均会 发生改变 说明衍射图样的光强分布不仅 和入射角 H0 以及衍射角 H 有关 而且和光源 S 的位置有关 考虑单缝衍射屏上光 波相位的分布和平面光波的入射方位 即 光源 S 的位置 的关系 采用矢量图解法对单缝衍射因子进行分析及计算 得到了 全面的夫琅禾费单缝衍射光强公式 关键词 单缝衍射 光强 光程差 斜入射 2 目录 1 夫琅禾费单缝衍射 一 1 1 1 单色点光源 S 位于透镜 L1的物方焦点时的装置及现象 1 1 2 用积分法来求夫琅禾费单缝衍射的光强 1 3 衍射光强的极值分布条件及特点 2 夫琅禾费单缝衍射 二 2 1 单色点光源 S 位于透镜 L1的物方焦面上时的装置 2 2 单缝衍射因子分析及计算 3 总结 3 1 夫琅禾费单缝衍射 一 1 1 单色点光源 S 位于透镜 L1的物方焦点时的装置及现象 如图 1 所示 单色点光源 S 置于凸透镜 L1 的物方焦平面上 从点光源发出的 光经过透镜以后变成平行光 垂直射到宽度约为十分之几毫米的狭缝上 缝后置 一凸透镜 L2 在 L2 象方焦平面上放置接收屏 则屏上显现出由一系列不连续的 明亮短线组成的衍射图样 如图 1 1 所示 改变缝的宽度 衍射图样也发生变化 缝 越宽 衍射图样越收缩 当缝宽足够大时 远大于波长 则衍射图样缩成一点 这 就是点光源 S 在透镜中所成的象 狭缝对光波在方向上的限制 使光在 x 方向上 产生衍射 生成一系列沿 x 方向排列的明亮的短线 这些短线好像是点光源的一 个扩展开的象 如果用氮生在光器作为光源 则可以把透镜 L1 去掉 使激光直接照射在单缝 上 并且去掉 L2 在缝后足够远处 几米 屏上可观察到夫琅禾费衍射图样 图 1 夫琅禾费单缝衍射装置若把点光源换成线光源 仍放在凸透镜 L1 的焦面上 并使 线光源平行于狭缝 这时衍射图样将成为明暗相间的直条纹 因线光源可看成由 许多独立的点光源 S1 S2 沿一直线排列组成 每个点光源产生一组独立的衍射 图样 每组衍射图样明暗分布完全相同 只是相互之间在平行于缝的方向土有一 个位移图 2 a 因而衍射图样为明暗相间的直条纹 好像是线光源的扩展的象 图 2 a 中 P1 横列是 S1 的扩展的象 应当注意 点光源经透镜后变为平行光 入射到狭缝上 所得到的单缝衍射图样并非是平行的直条纹 图 2 b 为不同缝 宽时线光源的单缝衍射图样 图 1 夫琅禾费单缝衍射装置 图 2 衍射图样 4 1 2 用积分法来求夫琅禾费单缝衍射的光强 积分法求夫琅禾费单缝衍射的光强 如图 3 建立坐标系 以缝中心处为原 点 O 在距 O 点 x 处取宽度为的一个平行于缝长的长条作为面元 面元面积为 x d 其中 l 为缝长 考虑衍射角为 的衍射光 它们会聚于屏幕上 p 点 它与透镜 x ld 主光轴和屏幕的交点相距为 y 作 OD 垂直于衍射光 由等光程原理 若设 O 点 0 p 到 P 点的光程为则该面元到 P 点的光程为 如令光在缝面上的 0 r sin 0 xrr 初位相为零 则该面元在 P 点引起的光振动为 dxxrwt r CK dE sin 2 cos 0 如上所述 在近轴条件下 可以视倾斜因子 K H 为常数 并把振幅分母中的 r 也视为常数 令 上式便简化为 ClkC dxxrwtCdE sin 2 cos 0 因此 P 点的合振动为 2 2 sin 2 cos 0 b b dxxrwtCE 2 2 sin 2 sin 2 cos sin2 0 b b xdxrwtC 2 2 sin 22 sin 2 cos sin2 00 b b xrwtdxrwtC 2 2 sin 22 sin sin2 0 b b xrwtC sin 2 22 sin sin 2 22 sin sin2 00 b rwt b rwtC 2 cos sin sin 2 sin2 0 rwt b C 2 cos sin sin sin 0 rwt b b bC 2 cos sin sin sin 0 rwt b b bC 式中 b 为缝宽 P 点光强为 2 0 22 sin sin sin sin sin sin b b I b b bCI 5 式中 令 则上式可改写为 2 0 bCI sinb u ucI u u II 2 0 2 0 sin sin 这就是单缝衍射的光强分布公式 1 3 衍射光强的极值分布条件及特点 光强一阶导为零的的条件 0 sincos sin2sin2cossin2 sin 44 22 2 2 u uuuuu u uuuuu u u du d I du d 极值条件 1 u 0 2 3 0sin u uuusincos 光强二阶导 8 224 2 2 2sin2sin32cos 2 u uuuuuu du Id 1 单缝衍射光强中央极大值位置及光强 sin sin 0 00 sin sin sin a u 0 2 2 0 0 sin lim I u u II u 2 单缝衍射光强极小值位置 0 sin sin sin a u k a sin 2 1 k 0 2cos2 22 2 u u ud Id 0 sin 2 2 0 u u II 单缝衍射光强次极大值位置 由数值计算解方程 可以得 到次极大值位置 见图 在每两个相邻最小值之间有一最大值 这些最大值 的位置可由超越方程 解得 可以用图解法求得 的值 做直线 和正切曲线 它们的交点就是超越方程的解 0 u 43 1 1 u 46 2 2 u 47 3 3 u 48 4 4 u 6 图 6 相对光强计算结果 图 7 相对光强随 u 变化 由此可得分列于中央主最大两边的其他最大值 称为次最大 的位置为 aa 2 3 43 1 sin 10 aa 2 5 46 2 sin 20 aa 2 7 47 3 sin 30 a k k 2 1 sin 0 2 1 k 单缝夫琅和费衍射的零级亮条纹内究竟集中了多少光能 将利用函数的积分计usin 算各级衍射条纹内的光能分布 把这些 值代入 uI u u iIP 2 0 2 2 0 sin sin 可得各级次最大的相对光强 若以中央最大的光强为 1 即使振幅归一化 则对于 2 0 A 10 处 次最大光强依次为 20 30 0472 0 2 1 A0165 0 2 2 A0083 0 2 3 A 光强最大值与最小值的位置沿着垂直于缝的方向分布在它们之间 光强介乎最大值与最 小值之间 使用平行于缝的线光源时 衍射图样是明暗相间的直条纹 并向缝的两边展开 如图 7 所 示 2 夫琅禾费单缝衍射 二 2 1 单色点光源 S 位于透镜 L1的物方焦面上时的装置 图 1 为夫琅禾费单缝衍射实验装置示意图 1 2 单色的点光源 S 位于透镜 的光经透镜 L1 后入射于衍射屏 E E 上有一条宽度为 a 的细缝 其延伸方向沿 y 轴向 在 E 右方放置另一透镜 L2 即可在 L2 的像方焦面 F 上观察到夫琅禾费单 缝衍射图样 7 图 1 夫琅禾费单缝衍射实验装置示意图 由常见 5 光学 6 教材中夫琅禾费单缝衍射图样的光强公式 1 2 0 sin II 可知 夫琅禾费单缝衍射光强主要取决于单缝衍射因子 为单缝边缘对应点的衍射线间的 相位差之半 当单色点光源 S 位于透镜 L1 的物方焦点时 平面光波垂直入射于衍射屏 此 时 为衍射线与衍射屏 E 的法线之间的夹角 称衍射角 为单色光波的波 sina 长 a 为缝宽 当单色的点光源 S 位于透镜的物方焦平面内轴上时 则平面光波特殊斜入 1 L X 射于衍射屏 此时 为透镜出射的平面光波与衍射屏 的法线 sin sin 0 a 0 1 L 之间的夹角 称入射角 号表示入射线与衍射线在衍射屏 的法线同侧时取 号 反之取 号 文献 3 7 仅对以上两种特殊情形下的单缝衍射因子 进行分析计算 得到相应的衍射光 强公式 1 并利用此公式探讨单缝衍射光强分布特性 但是 笔者在实验中发现 如果在透镜 的焦平面内沿着某一圆周改变光源 S 的位置 让出射的平面光波都以相同的入射角 1 L 1 L 入射到衍射屏 上 则 平面上的衍射图样光强分布均会发生改变 而由 1 式知 只要入 0 射角以及衍射角 相同 那么 单缝衍射的光强分布均不会发生改变 这就说明夫琅禾费 0 单缝衍射图样的光强分布不仅和入射角以及衍射角 有关 而且和光源 S 的位置有关 0 光源 S 的位置不同 平面光波的入射方位不同 平面光波的入射方位导致光波到达衍射屏 时光波的相位分布不同 而单缝衍射因子 取决于衍射屏 上光波的相位分布 同时 夫琅禾 费单缝衍射光强主要取决于单缝衍射因子 因此 夫琅禾费单缝衍射光强分布就取决于单色 的点光源 S 在透镜的物方焦面上的位置 即平面光波的入射方式 1 L 本文采用矢量图解法分析平面光波的入射方位和到达衍射屏 时的光波相位间的关系 对单缝衍射因子 进行分析及计算 进而得到全面的夫琅禾费单缝衍射光强公式 2 2 单缝衍射因子分析及计算 如图 2 所示 将单缝波面分割成许多宽度相等且极窄的条形元波带 图中从上到下各元 波带在场点 P 的振幅相等 但相位逐次落后 故图 3 中各元波带相应的元矢量长度相同 但辐 角逐渐增大 将所有这些元矢量首尾相接 即得到代表 P 点光场振幅的场矢量 显然 当元 8 波带无限变窄时矢量合成图由多边形的一部分变成圆的一部分 图中线段 OM 和 ON 分别表 示 0 和 0 的情况 单缝的边缘衍射线间的光程差设为 可以求出边缘光线的相位差为 令 2 则边缘光线的相位差为 2 2 设圆弧半径为 R 由图 3 的几何关系可得 sin 0 AA 于是可得到观察屏上衍射图样的光强表达式同 1 式 这里 平面光波的入射方式包含了所有 的入射方式 利用上面矢量图解法对光强公式的简单推导可以看出 单缝衍射光强的分布完全取决于 单缝衍射因子 而单缝衍射因子 取决于单缝的边缘对应点的衍射线间的光程差 或相位 差 此光程差分为两部分 一部分为平面光波到达衍射屏 时单缝边缘对应点光波的光程 差 一部分由于单缝的衍射而产生的衍射线间的光程差 由于单缝的衍射而产生的光程差对 平面光波所有入射方位都是相同的 因此 实验中单缝衍射光强的变化是由于单缝衍射因子 的变化而引起的 而单缝衍射因子 的变化是由于平面光波到达衍射屏 时单缝边缘对应 点光波的光程差发生了改变 如图 4 所示 光源 S 在透镜的物方焦平面 平面 内某一任意位置 光源 S 的方 1 L YOX 位角用同 y 方向之间的夹角表示 它发出的光经透镜斜入射到衍射屏 SO 900 1 L 面垂直于纸面 平面光波的入射角为 衍射屏 位于 xoy 平面内 上的单狭缝延伸 0 方向沿着 y 轴方向 A B 两点分别为单狭缝边缘对应点 单狭缝宽度 a 被放大 衍射aAB 屏 的法线方向为 z 轴的正方向 9 图 4 平面光波任意方向入射光路示意图 衍射屏 内单缝上斜虚线为分别过 A 和 B 两点的等相位线 即平面光波等相位面和 平面交线 过 A 点作过 B 点的等相位线的垂线 垂足为 C 点 B 和 C 两点的相位相等 设 我们总能找到过 A 和 C 两点的入射线的平面 不难证明 过 A 和 C 两点的法线均 0 aAC 在此平面内 如虚线所示 且 平面垂直于 平面 单缝上边缘对应点 A 和 B 的衍射线间的 光程差为 A 和 C 两点衍射线间的光程差 过 A 点作入射线 2 的垂线 垂足为 D 则 A 和 C 两 点的衍射线间的光程差为 00sin sin aa 在直角 ABC 中 其中为过 B 点的等相位线与 X 轴间的夹角 利用几何关 sin 0 aa 系 我们不难证明 光源 S 的方位角和 B 点的等相位线与 X 轴间的夹角相等 则 A 和 B 两点的衍射线间的光程差为 0 sinsinsin aa 同时考虑 A 和 B 两点的衍射线间的相位差为 则单缝衍射因子 2 2 sinsin sin 2 1 0 a 将 2 式代入 1 式可以得到单缝夫琅禾费衍射光强公式的普遍形式为 3 2 0 0 2 0 sinsin sin sinsin sinsin a IIP 其中 为光源 S 的方位角 其余物理量同 1 式 当光源 S 位于透镜的物方焦点 F 时 方位角 平面光波垂直入射于衍 1 L0 0sin 射屏 单缝上各点光波相位相等 由 2 式知 在这种理想入射情形下 夫琅禾费单缝衍射因子 10 为 当光源 S 位于透镜的物方焦平面的轴上时 方位角 0 但入射角不等 sina 1 L Y 0 于 0 此时 平面光波特殊斜入射于衍射屏 狭缝上光波的等相位线和 X 轴平行 由 2 式知 在 这种特殊斜入射情形下 夫琅禾费单缝衍射因子和垂直入射这种理想情形完全相同 当光源 S 位于透镜的物方焦平面内 X 轴上时 方位角 入射角为 此时 平面光波仍然特 1 L 90 0 殊斜入射于衍射屏 文献 4 5 中的斜入射就