河北省邯郸四中2013届高考数学复习《不等式性质》典型例题VIP

1 河北省邯郸四中河北省邯郸四中 20132013 届高考数学复习届高考数学复习 不等式性质不等式性质 典型例题典型例题 典型例题一典型例题一 例例 1 1 比较与的大小 其中 3 3 xx3Rx 解 解 xx3 3 2 33 2 xx 3 2 3 2 3 3 222 xx 4 3 2 3 2 x 0 4 3 xx33 2 说明 说明 由例 1 可以看出实数比较大小的依据是 baba 0 baba 0baba 0 典型例题二典型例题二 例例 2 2 比较与的大小 其中1 6 x 24 xx Rx 解 解 1 246 xxx 1 246 xxx 1 1 224 xxx 1 1 42 xx 1 1 1 222 xxx 1 1 222 xx 当时 1 x 246 1xxx 当时 1 x 1 246 xxx 说明 说明 两个实数比较大小 通常用作差法来进行 其一般步骤是 第一步 作差 第 二步 变形 常采用配方 因式分解等恒等变形手段 第三步 定号 贵州省是能确定是 大于 0 还是等于 0 还是小于 0 最后得结论 概括为 三步 结论 这里的 变形 2 一步最为关键 典型例题三典型例题三 例例 3 3 比较与 的大小 Rx 1 2 1 2 x xx 2 1 x1 2 xx 分析 分析 直接作差需要将与 展开 过程复杂 1 2 1 2 x xx 2 1 x1 2 xx 式子冗长 可否考虑根据两个式子特点 予以变形 再作差 解 解 1 2 1 2 x xx 1 x1 2 2 x xx 1 2 1 1 2 x x xxx 1 2 1 1 1 2 1 22 xxxxxx 1 2 1 1 1 22 xxxxx 1 2 1 1 2 1 22 xxx x xx 0 2 1 1 2 1 1 2 1 2 xxxx 则有时 恒成立 Rx 1 2 1 2 x xx 2 1 x1 2 xx 说明 说明 有的确问题直接作差不容易判断其符号 这时可根据两式的特点考虑先变形 到比较易于判断符号时 再作差 予以比较 如此例就是先变形后 再作差 典型例题四典型例题四 例例 4 4 设 比较与的大小 Rx x 1 1 x 1 解 解 作差 x x x x 1 1 1 1 2 1 当时 即 0 x0 1 2 x x x x 1 1 1 2 当 即时 01 x1 x0 1 2 x x x x 1 1 1 3 当但 即或时 01 x0 x01 x0 x0 1 2 x x 3 x x 1 1 1 说明 说明 如本题作差 变形 变形到最简形式时 由于式中含有字母 不能定号 必须 对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号 此时要注意分类合理恰当 典型例题五典型例题五 例例 5 5 比较与的大小 16 18 18 16 分析 分析 两个数是幂的形式 比较大小一般采用作商法 解 解 161616 2 16 18 16 28 9 2 1 8 9 16 1 16 18 16 18 1618 016 1 28 9 1 0 28 9 181618 16 说明 说明 求商法比大小的变形要围绕与 1 比大小进行 典型例题六典型例题六 例例 6 6 设 且 比较 与的大小 0 0 baba ba ba abb a 分析 分析 比较大小一般方法是求差法或求商法 利用不等式的性质进行变形 然后确定 大小 解 解 baabba ab ba b a ba ba ba 当时 0 ba0 1 ba b a 1 ba b a 当时 0 ab0 10 ba b a 1 ba b a 即 1 ba b a 1 ab ba ba ba 又 0 abb a abaa baba 说明 说明 求商法的基本步骤是 求商 变形 与 1 比大小从而确定两个数的大小 典型例题七典型例题七 例例 7 7 实数满足条件 dcba dcba 0 cbca 则有 0 dbda 4 A B bdca dbac C D dbca bdac 天津市 2001 年南开中学期末试题 分析 分析 先由条件 分析出与的关系 根据条件利用 用数轴数形结合比ba dc 出大小 解 解 与同侧 0 cbcaba c 与异侧 0 dbdaba d dcba 把标在数轴上 只有下面一种情况dcba 由此得出 此题选 D bdac 说明 说明 比较大小时可以借助于数轴 利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位 置 这样容易看出几个数之间的大小关系 尤其是比较的个数较多时适用 典型例题八典型例题八 例例 8 8 已知 求 的取值范围 11 ba31 baba 3 分析 分析 此题是给代数式的字母的范围 求另外代数式的范围 分为两步来进行 1 利 用待定系数法将代数式用和表示 2 利用不等式性质及题目条件确定ba 3ba ba 的范围 ba 3 解 解 设 byxayxbaybaxba 3 2 1 1 3 y x yx yx 由 2 得 231 2 21 baba 即731 ba 说明 说明 此题的一种典型错误做法 如下 即 31 11 baba 420 a20 a 024 13 11 b abba 即02 b 830 20 630 ba ba 此解法的错误原因是因为与是两个相互联系 相互制约的量 而不是各自独立的 ab 5 当取到最大值或最小值时 不一定能取到最值 所以用以上方法可能扩大变量ba ba 的范围 避免出错的方法是通过待定系数法 整体代入 见解题过程 典型例题九典型例题九 例例 9 9 判断下列各命题的真假 并说明理由 1 若 则 22 bcac ba 2 若 则ba 11 ba 3 若 则0 cba b c a c 4 若 则dcba dbca 5 若 则caba 0 2 bca 6 若 则 Nmba mm ba 分析分析 利用不等式的性质来判断命题的真假 解解 1 是真命题 0 222 cbcacba bcac c 22 2 0 1 2 可用赋值法 有 是假命题 2 3 ba ba 11 也可这样说明 ab ab ba 11 只能确定 ba 0 ab 但的符号无法确定 从而的符号确定不了 所以无法得到 实际上ab ba 11 ba 11 有 11 0 ba abba 11 0 ba abba 3 与 2 类似 由 从而是假命题 ba b c a c c ba 0 11 b c a c ba 4 取特殊值 3 2 1 5 dcba 有 是假命题 dbca 定理 3 的推论是同向不等式可相加 但同向不等式相减不一定成立 只有异向不等式 6 可相减 即 dbcadcba 5 是真命题 bca bcab b ca aba a ba 2 2 0 0 0 6 定理 4 成立的条件为必须是正数 举反例 则有2 4 3 mba mm ba 说明说明 在利用不等式的性质解题时 一定要注意性质定理成立的条件 要说明一个命 题是假命题可通过举反例 典型例题十典型例题十 例例 1010 求证 0 0 11 ba ba ba 分析 分析 把已知的大小关系转化为差数的正负 再利用不等式的性质完成推理 证明 证明 利用不等式的性质 得 0 00 1111 0 ab ab ba abba baba 0 0 号号 ba ba ba 典型例题十一典型例题十一 例例 1111 若 则下面不等式中成立的一个是 dcba A B cbda bdac C D d b c a bcad 解 解 由不等式的性质知 A B C 成立的条件都不充分 所以选 D 其实 D 正是异向不等式相减的结果 bcad cddc baba 说明 说明 本的解法都是不等式性质的基本应用 对于不等式的基本性质要逐条掌握准确 以便灵活应用 典型例题十二典型例题十二 例例 1212 若 则下面各式中恒成立的是 11 7 A B 02 12 C D 01 11 分析分析 本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形 应看到 已知条件中含有 两个内容 即 和 根据不等式的性质 可得 11 11 11 继而得到且 故 因此选 A 0 22 0 02 典型例题十三典型例题十三 例例 1313 若 则一定成立的不等式是 cba A B C D cbca acab cbca cba 111 分析 分析 A 错 当时有 同样 B 错 D 没有考虑各数取零和正0 cbacbca 负号的关系 所以也不对 故选 C 因为不等式两边同时加上一个任意数 此题是 原不等式成立 c 说明 说明 这类题可以采用特例法 令即得 C 成立 0 c 典型例题十四典型例题十四 例例 1414 已知 求证 0 cfeba bceacf 分析 分析 要证明的式子中 左右均为二项差 其中都有一项是两字母积的形式 因此在 证明时 对两项积要注意性质的使用 对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来 处理 证明 证明 bcaccba 0 bcac 又 由同向加性可得 efbceacf 说明 说明 此题还可采用异向减性来处理 做这类题 bceacfbcacef 过程并不复杂 关键是记准性质 并能正确地应用 典型例题十五典型例题十五 例例 1515 已知集合求 2 145 A 2 AyyxxBxxxRI BA 分析 分析 要求 需要先求集合和 从已知来看 的范围容易求 的元BA ABAB 素由可以推算 但在推算过程中 要注意运用不等式的性质 Ay 解 解 0145 2 RIxx 且 8 7 2 x 720145 2 xxxxxA 7 2 yAy 2 5 24 yxy 5 5 4 xx 55 x 55 xxB 52 xxBA 说明 说明 本题中的条件 意在明确集合中的元素为 若去掉此条件 会出现RI AR 不确定的情况 比如 的实数和的整数显然是有区别的 另外 这72 x72 x 里集合的元素是通过集合的元素求出的 解题时 一定要看清 BA 典型例题十六典型例题十六 例例 1616 设和都是非零实数 求不等式和同时成立的充要条件 abba ba 11 分析 分析 本题是求两个不等式同时成立的充要条件 因此 这两个不等式不能分开来讨 论 如果分开讨论 则成立的条件就是本身 而成立的条件则是与ba ba ba 11 a 同号 且 但这个条件只是的一个充分条件 并且与第一个不等式是bba ba 11 ba 矛盾的 所以必须研究这两个不等式同时成立的条件 显然 应该从求它们同时成立的必 要条件入手 解 解 先求 同时成立的必要条件 即当 同时成立时 与ba ba 11 ba ba 11 a 应具备什么条件 b 由 得 ba ba 11 0 0 ab ab ba 由可知 再由知 即与异号 因此0 ba0 ab0 ab ab 0 abab 是不等式与同时成立的必要条件 ba 0ba ba 11 再求 同时成立的充分条件 ba ba 11 9 事实上 当时 必有 且 因而成立 从而ba 0ba 0 1 0 1 baba 11 是不等式 同时成立的充分条件 ba 0ba ba 11 因此 两个不等式 同时成立的充要条件是 ba ba 11 ba 0 说明 说明 本题结果表明 与同时成立 其充要条件是为正数 为负ba ba 11 ab 数 这与成立的条件 不要混淆 解本题是从必要条件入手的 即若 ba 11 0 abab 同时成立 则要研究从不等式和看与的大小有什么关系 ba ba 11 ba 11 ba ab 从中得出结论 再把这个结论作为一个充分条件去验证及能否ba 0ba ba 11 同时成立 从而解决了本题 典型例题十七典型例题十七 例例 1717 已知函数满足 则应满足caxxf 2 5 2 1 1 1 4 ff 3 f A B 26 3 7 f15 3 4 f C D 20 3 1 f 3 35 3 3 28 f 分析 分析 如果能用与将 线性 表示出 就可 1 f 2 f 3 f 2 1 3 nfmff 利用不等式的基本性质 由 的取值范围 推出满足的条件 1 f 2 f 3 f 解 解 4 2 1 cafcaf 1 4 2 3 1 1 2 3 1 ffcffa 故 1 4 2 3 1 1 2 39 3 ffffcaf 1 3 5 2 3 8 ff 由不等式的基本性质 得 20 3 1 30 40 2 3 8 3 8 5 2 1 3 20 1 3 5 3 5 1 1 4 f ff ff 故选 C 10 说明 说明 1 也可设 由代 定系数法求得 2 1 3 nfmff 3 5 m 3 8 n 2 下面的错误是值得引以为