中考数学压轴题二次函数与圆.doc

第四讲：二次函数与圆综合中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；例题精讲一、二次函数与圆综合【例1】 已知：抛物线与轴相交于两点，且（）若，且为正整数，求抛物线的解析式；（）若，求的取值范围；（）试判断是否存在，使经过点和点的圆与轴相切于点，若存在，求出的值；若不存在，试说明理由；（）若直线过点，与（）中的抛物线相交于两点，且使，求直线的解析式【解析】（）解法一：由题意得，解得，为正整数，解法二：由题意知，当时，（以下同解法一）解法三：，又（以下同解法一）解法四：令，即，（以下同解法三）（）解法一：，即 ，解得：的取值范围是解法二：由题意知，当时， 解得：的取值范围是解法三：由（）的解法三、四知，的取值范围是（）存在解法一：因为过两点的圆与轴相切于点，所以两点在轴的同侧， 由切割线定理知，即，解法二：连接圆心所在直线， 设直线与轴交于点，圆心为，则，在中， 即解得 （）设，则过分别向轴引垂线，垂足分别为 则所以由平行线分线段成比例定理知，因此，即过分别向轴引垂线，垂足分别为，则所以 ，或 当时，点直线过， 解得当时，点直线过， 解得故所求直线的解析式为：，或 【例2】 已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式 并且线段CM的长为（1）求抛物线的解析式。（2）设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长。（3）若以AB为直径作N，请你判断直线CM与N的位置关系，并说明理由。【解析】（1）解法一：由已知，直线CM：y=x2与y轴交于点C（0,2）抛物线过点C（0,2），所以c=2，抛物线的顶点M在直线CM上，所以，解得或若，点C、M重合，不合题意，舍去，所以即M过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在所以，解得，。所求抛物线为：或以下同下。解法二：由题意得,设点M的坐标为点M在直线上，由勾股定理得，=，即解方程组，得，或当时，设抛物线解析式为，抛物线过点，当时，设抛物线解析式为抛物线过点，所求抛物线为： 或（2）抛物线与x轴有两个交点，不合题意，舍去。抛物线应为：抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，得（3）AB是N的直径，r = ， N（2，0），又M（2，4），MN = 4设直线与x轴交于点D，则D（2，0），DN = 4，可得MN = DN，作NGCM于G，在= r 即圆心到直线CM的距离等于N的半径直线CM与N相切【例3】 已知：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，抛物线经过，两点试用含的代数式表示；设抛物线的顶点为，以为圆心，为半径的圆被轴分为劣弧和优弧两部分若将劣弧沿轴翻折，翻折后的劣弧落在内，它所在的圆恰与相切，求半径的长及抛物线的解析式；设点是满足()中条件的优弧上的一个动点，抛物线在轴上方的部分上是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【解析】解法一：一次函数的图象与轴交于点点的坐标为(，)抛物线经过、两点， 解法二：一次函数的图象与轴交于点点的坐标为()抛物线经过、两点抛物线的对称轴为直线，由抛物线的对称性可知，点在上，且又由()知抛物线的解析式为点的坐标为()当时，如图，设被轴分得的劣弧为，它沿轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与关于轴对称，设它的圆心为点与点也关于轴对称点在上，且与相切点为切点，为等腰直角三角形，点的纵坐标为，抛物线的解析式为当时，同理可得：抛物线的解析式为综上，半径的长为，抛物线的解析式为或 抛物线在轴上方的部分上存在点，使得设点的坐标为()，且当点在抛物线上时(如图)点是的优弧上的一点，过点作轴于点，由解得：(舍去)点的坐标为 当点在抛物线上时(如图)，同理可得，由解得：(舍去)点的坐标为 综上，存在满足条件的点，点的坐标为：或点评：本题是一道二次函数与圆的综合题，解决本题的关键是：作出将劣弧沿轴翻折后的弧所在圆，并充分利用轴对称的性质本题考点：1直线与圆的位置关系(切线的性质)；2轴对称；3等腰直角三角形的性质，4三角函数；5二次函数解析式的确定【例4】 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆交轴正半轴于点， 是的切线动点从点开始沿方向以每秒个单位长度的速度运动，点从点开始沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，且动点、从点和点同时出发，设运动时间为(秒)当时，得到、两点，求经过、三点的抛物线解析式及对称轴；当为何值时，直线与相切？并写出此时点和点的坐标；在的条件下，抛物线对称轴上存在一点，使最小，求出点N的坐标并说明理由【解析】 由题意得，的坐标分别为，设抛物线解析式为，则，所求抛物线为对称轴为直线： 设时，与切于点连结，则，又，分别平分和而，即，由于时间只能取正数，所以即当运动时间时，与相切此时：， 点关于直线的对称点为，则直线的解析式为：直线交直线于，此时最小，【例5】 如图，点，以点为圆心、为半径的圆与轴交于点已知抛物过点和，与轴交于点 求点的坐标，并画出抛物线的大致图象 点在抛物线上，点为此抛物线对称轴上一个动点，求 最小值 是过点的的切线，点是切点，求所在直线的解析式【解析】由已知，得，抛物线过点和，则，解得则抛物线的解析式为，故(说明：抛物线的大致图象要过点、，其开口方向、顶点和对称轴相对准确)如图，抛物线对称轴是，抛物线上，过点作轴于点，则，又与关于对称轴l对称，的最小值CAMBxyODEQPK图lCAMBxyODE图当在第四象限时，如图，连结和由已知，得是的切线，则又，又在和中，则设所在直线的解析式为，过点，解得直线的解析式为又直线过原点，且，则的解析式为当在第一象限时，易得四边形为矩形，此时，直线的解析式为点评：本题难度不大，第问中，求距离和最短问题是我们在学习轴对称时的一个典型问题；第问需注意，过圆外一点引圆的切线有两条考点：1二次函数解析式的确定；2轴对称；3切线的性质；4一次函数解析式的确定【例6】 在平面直角坐标系中，已知直线经过点和点，直线的函数表达式为，与相交于点是一个动圆，圆心在直线上运动，设圆心的横坐标是过点作轴，垂足是点 填空：直线的函数表达式是 ，交点的坐标是 ，的度数是 ； 当和直线相切时，请证明点到直线的距离等于的半径，并写出 时的值 当和直线不相离时，已知的半径，记四边形的面积为(其中点是直线与的交点)是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的值；若不存在，请说明理由【解析】 ， 设和直线相切时的一种情况如图甲所示，是切点，连接，则过点作的垂线，垂足为，则， 所以 当点在射线上，和直线相切时，同理可证取时，或 当和直线不相离时，则，由知，分两种情况讨论： 如图乙，当时， 当时，(满足)，有最大值此时(或) 当时，显然和直线相切，即时，最大此时 综合以上和，当或时，存在S的最大值，其最大面积为 点评：本题共3问，这3问之间难度递增，且环环相扣，解决后面的问题时要注意应用前面的结论，解决第问时要先确定的取值范围，然后分类讨论考点：1一次函数解析式的确定；2等边三角形的判定及性质；3直线与圆的位置关系；4全等三角形；5两函数图象交点坐标的确定；6二次函数的最值【答案】（1），；（2）或；（3）当或时，存在S的最大值，其最大面积为【例7】 已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴一次函数的图象与 二次函数的图象交于两点(在的左侧)，且点坐标为平行于轴的直线过点 求一次函数与二次函数的解析式； 判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明； 把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？【考点】二次函数与圆综合，直线与圆位置关系的确定，切线的性质及判定【难度】5星【题型】解答【关键词】2006年，山东潍坊【解析】 把代入得，一次函数的解析式为； 二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴，设二次函数解析式为，把代入得，二次函数解析式为 由，解得或，过点分别作直线的垂线，垂足为，则，直角梯形的中位线长为，过作垂直于直线于点，则，的长等于中点到直线的距离的2倍，以为直径的圆与直线相切 平移后二次函数解析式为，令，得，过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点，要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离，此时，半径为2，面积为，设圆心为中点为，连，则，在三角形中，而，当时，过三点的圆面积最小，最小面积为点评：本题综合了函数与圆的有关知识，题目设计比较新颖，本题亮点在第(2)(3)问，这两问都需要确定圆心位置，要求学生较好的掌握圆的有关性质，并能灵活运用考点：1一次函数，二次函数解析式的确定；2直线与圆的位置关系，3二次函数图象的平移；4圆心的性质；5点到直线垂线段最短【答案】（1）一次函数的解析式为；二次函数解析式为（2）以为直径的圆与直线相切（3）当时，过三点的圆面积最小，最小面积为【例8】 如图1，的半径为，正方形顶点坐标为，顶点在上运动 当点运动到与点、在同一条直线上时，试证明直线与相切； 当直线与相切时，求所在直线对应的函数关系式； 设点的横坐标为，正方形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值【考点】二次函数与圆综合，切线的性质及判定，坐标与面积【难度】5星【题型】解答【关键词】2008年，江苏宿迁【解析】 四边形为正方形，、在同一条直线上，直线与相切； 直线与相切分两种情况：如图2， 设点在第二象限时，过作轴于点，设此时的正方形的边长为，则，解得或(舍去)由得，故直线的函数关系式为；如图3，设点在第四象限时，过作轴于点，设此时的正方形的边长为，则，解得或(舍去)由得，故直线的函数关系式为 设，则，由得【答案】（1）直线与相切；（2）或；（3），【例9】 如图，已知点从出发，以个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆设点运动了秒，求： 点的坐标（用含的代数式表示）； 当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的值【考点】二次函数与圆综合，动点与几何，切线的性质及判定【难度】5星【题型】解答【关键词】2008年，江苏无锡【解析】 过作轴于，点的坐标为 当与相切时（如图1），切点为，此时，（4分）当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，过作于，则， 当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，则， 过作轴于，则，化简，得，解得，所求的值是，和 【答案】（1）点的坐标为；（2）所求的值是，和【例10】 已知：抛物线，顶点，与轴交于、两点， 求这条抛物线的解析式 如图，以为直径作圆，与抛物线交于点，与抛物线对称轴交于点，依次连接、，点为线段上一个动点(与、两点不重合)，过点作于，于，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由 在的条件下，若点是线段上一点，过点作，分别与边、相交于点、(与、不重合，与、不重合)，请判断是否成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由【考点】二次函数与圆综合【难度】5星【题型】解答【关键词】2008年，山东济南【解析】 设抛物线的解析式为将代入：，抛物线的解析式为，即： 是定值，为直径， 同理： + ： 直线为抛物线对称轴， 垂直平分为等腰直角三角形 7分如图，过点作于，由已知及作法可知，四边形是矩形，且在和中，且 8分在和中， 由、知：【答案】（1）；（2）是定值，；（3）成立【例11】 如图，已知点的坐标是，点的坐标是，以为直径作，交轴的负半轴于点，连接、，过、三点作抛物线 求抛物线的解析式； 点是延长线上一点，的平分线交于点，连结，求直线的解析式； 在的条件下，抛物线上是否存在点，使得？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由【考点】二次函数与圆综合【难度】5星【题型】解答【关键词】2008年，四川资阳【解析】 以为直径作，交轴的负半轴于点，又，又， 又，解得 (负值舍去)，3分设抛物线解析式为，解得，二次函数的解析式为，即 为的直径，且， 点是延长线上一点，的平分线交于点，连结交于点，则， 设直线的解析式为 解得直线的解析式为 假设在抛物线上存在点，使得，方法一：设射线交于点，则分两种情况(如答案图1所示)：，把点、绕点逆时针旋转，使点与点重合，则点与点重合，因此，点符合，用待定系数法可求出直线解析式为 解方程组得 点坐标为，坐标为不符合题意，舍去，点关于轴对称的点的坐标为也符合，用待定系数法可求出直线解析式为 解方程组得 点坐标为，坐标为不符合题意，舍去 符合条件的点有两个：，方法二：分两种情况(如答案图2所示)：当时，能使，用待定系数法可求出直线解析式为又，设直线的解析式为把代入可求，直线解析式为 解方程组得 点坐标为，坐标为不符合题意，舍去在线段上取一点，使时，得，由知，直线解析式为取，得，又，直线解析式为 解方程组得 点坐标为，坐标为不符合题意，舍去符合条件的点有两个：，方法三：分两种情况(如答案图3所示)：求点坐标同解法二 过点作的平行线，交圆于，此时，由题知直线的解析式为，又 可求得的解析式为，设，作轴交与轴与，连结，在中，利用勾股定理可得，由与可得，的解析式为， 解方程组得 点坐标为，坐标为不符合题意，舍去符合条件的点有两个：，【答案】（1）；（2）；（3）符合条件的点有两个：，【例12】 已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点， 求的值及抛物线顶点坐标； 过的三点的交轴于另一点，连结并延长交于点，过点的的切线分别交轴、轴于点，求直线的解析式； 在条件下，设为上的动点(不与重合)，连结交轴于点，问是否存在一个常数，始终满足，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由【考点】二次函数与圆综合，【难度】5星【题型】解答【关键词】2005年，荆门【解析】 由抛物线可知，点的坐标为，且设，则有又是的斜边上的高， ，即，解得或，而，故只能取这时，故抛物线的顶点坐标为 解法一：由已知得：抛物线的对称轴是，也是的对称轴，连结是的直径，直线，垂直平分，点的坐标为且，又，由两点的坐标易求直线的解析式为：可设直线的解析式为，把代入求得故直线的解析式为解法二：令，解得即，根据圆的对称性，易知：半径为，在中，同理，而，在中，点的坐标为在中，点的坐标为直线的解析式为 解法一：存在常数，满足连结由垂径定理可知，(或利用) 又，即在中，(或利用解法二：存在常数，满足设由相交弦定理得，即化简得：，即【答案】（1），；（2）；（3）存在常数，满足【例13】 已知二次函数的图象经过点，并与轴交于点和点，顶点为 求这个二次函数的解析式，并在直角坐标系中画出该二次函数的图象； 设为线段上的一点，满足，求点的坐标； 在轴上是否存在一点，使以为圆心的圆与所在的直线及轴都相切？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数与圆综合，切线的性质及判定【难度】5星【题型】解答【关键词】2004年，山西【解析】 二次函数的图象过点，得 ，解得这个二次函数的解析式为：由解析式可求，画出二次函数的图象 解法一：易证：又已知：，易求， 解法二：过作轴，垂足为设抛物线的对称轴交轴于亦可证，易求：， 存在过作，垂足分别为，设交轴于，的延长线交轴于是等腰直角三角形，是的内切圆圆心，又且，得，在轴的负半轴上，存在一点M同理，得 即在轴上存在满足条件的两个点点评：本题综合了二次函数，圆与相似等知识，解决第(2)问时需注意为等腰直角三角形，于是，从而利用相似可以求解；第(3)问需注意分类讨论考点：1二次函数解析式的确定；2抛物线顶点坐标；3直线与圆的位置关系；4三角形内心【答案】（1）；（2）；（3）在轴上存在满足条件的两个点，【例14】 已知的半径为，以为原点，建立如图所示的直角坐标系有一个正方形，顶点的坐标为，顶点在轴上方，顶点在上运动 当点运动到与点、在一条直线上时，与相切吗？如果相切，请说明理由，并求出所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由； 设点的横坐标为，正方形的面积为，求出与的函数关系式，并求出的最大值和最小值【考点】二次函数与圆综合，坐标与面积【难度】5星【题型】解答【关键词】2005年，常州【解析】 与相切在一直线上，所以是的切线与相切时，有两种情况：切点在第二象限时(如图)，设正方形的边长为，则，解得，或(舍去)过点作于，则，所以点的坐标是(，) 所在直线对应的函数表达式为切点在第四象限时(如图)，设正方形的边长为，则，解得 (舍去)，或 过点作于，则，点的坐标是(，)所在直线对应的函数表达式为 如图，过点作于，连接，则 ，的最大值为，