河南省洛阳市示范高中2012届高三数学下学期联考测试试题 理 新人教A版

用心 爱心 专心1 20122012 年洛阳市年洛阳市 示范高中联考高三理科数学试卷示范高中联考高三理科数学试卷 第第 I I 卷卷 一 选择题 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 复数 2 12 m z i i m R i是虚数单位 在复平面上对应的点不可能位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 下列函数中 在 1 1 内有零点且单调递增的是 A 1 2 logyx B 21 x y C 2 1 2 yx D 3 yx 3 阅读右侧的算法框图 输出结果S的值为 A 1 B 3 C 1 2 D 3 2 4 先后连掷两次骰子分别得到点数 m n 则向量 m n 与向量 1 1 的夹角 90 的概率是 A 1 2 B 1 3 C 7 12 D 5 12 5 已知tan2 则 2 cos2 sincos 的值为 A 3 B 3 C 2 D 2 6 一个棱锥的三视图如图 尺寸的长度单位为m 则该棱锥的全面积是 单位 m2 正视图 侧视图 俯视图 A 624 B 64 C 224 D 24 7 由曲线 32 xyxy 围成的封闭图形的面积为 用心 爱心 专心2 A 12 1 B 4 1 C 3 1 D 12 7 8 设等差数列 n a 的前n项和为 n S 若 9 72S 则 249 aaa 的值是 A 24 B 19 C 36 D 40 9 已知抛物线 22 2 22 2 0 1 xy ypx p ab 与双曲线 0 0 ba有相同的焦点 F 点 A 是两 曲线的交点 且 AF x轴 则双曲线的离心率为 A 2 15 B 12 C 13 D 2 122 10 三棱锥ABCS 的顶点都在同一球面上 且4 22 SCBCSBACSA 则该球的体积为 A 3 256 B 3 32 C 16 D 64 11 若a满足4lg xx b满足410 x x 函数 0 2 0 2 2 x xxbax xf 则关于x的方程xxf 的解的个数是 A 1B 2C 3D 4 12 如图 在直角梯形ABCD中 AD AB AB DC 1ADDC 2AB 动点P在以点C为圆心 且与直线 BD相切的圆上或圆内移动 设AP ADAB R 则 取值范围是 A 1 2 B 2 4 C 2 D 1 第第 卷卷 二 填空题 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 已知实数x y满足 3 01 094 y yx yx 则x 3y的最大值是 14 函数 sincos f xxx xR 的图象向左平移 m mR 个单位后 得到函数 用心 爱心 专心3 yfx 的图象 则m的最小值为 15 若椭圆 22 22 1 xy ab 的焦点在x轴上 过点 1 1 2 作圆 22 1xy 的切线 切点分别 为 A B 直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 则椭圆方程是 16 下表是某数学老师及他的爷爷 父亲和儿子的身高数据 父亲身高x cm 173170176 儿子身高y cm 170176182 因为儿子的身高与父亲的身高有关 该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高 为 参考公式 回归直线的方程是 axb y 其中 xbya xx yyxx b n i i n i ii 2 1 1 其中 i y是与 i x对应的回归估计值 参考数据 18 3 1 2 i i xx 18 3 1 i ii yyxx 三 解答题 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为a b c q q a2 1 p p cb 2 Ccos 且qp 求 I 求 sin A 的值 II 求三角函数式1 tan1 2cos2 C C 的取值范围 用心 爱心 专心4 18 本小题满分12分 某高中为了推进新课程改革 满足不同层次学生的需求 决定从高一年级开始 在每周的周一 周三 周五的课外活动期间同时开设数学 物理 化学 生物和信息 技术辅导讲座 每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲 座 也可以放弃任何一门科目的辅导讲座 规定 各科达到预先设定的人数时称为满 座 否则称为不满座 统计数据表明 各学科讲座各天的满座的概率如下表 根据上表 1 求数学辅导讲座在周一 周三 周五都不满座的概率 2 设周三各辅导讲座满座的科目数为 求随机变量 的分布列和数学期望 19 本小题满分12分 如图 四棱锥P ABCD 的底面ABCD为菱形 PA 平面ABCD 2PAAB EF 分别为CD PB 的中点 3AE 求证 平面AEF 平面PAB 求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值 20 本小题满分 12 分 用心 爱心 专心5 A CB E O D 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C经过点 2 2 1 P 且两焦点与短轴的一个端点 的连线构成等腰直角三角形 1 求椭圆的方程 2 动直线 0 3 1 Rnmnnymxl 交椭圆 C 于 A B 两点 试问 在坐标平 面上是否存在一个定点 T 使得以 AB 为直径的圆恒过点 T 若存在 求出点 T 的坐标 若不存在 请说明理由 21 本小题满分 12 分 已知函数 1 ln1 a f xxax x aR 当 1 2 a 时 讨论 f x的单调性 当0 a时 对于任意的 2nNn 且 证明 不等式 1111321 2 3 4 42 1 n ffff nn n 请考生在第请考生在第 2222 2323 2424 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答 时请写清题号 时请写清题号 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 直线AB经过 O上的点C 并且 CBCAOBOA O交直线OB于E D 连接CDEC I 求证 直线AB是 O的切线 II 若 2 1 tan CED O的半径为 3 求OA的长 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 用心 爱心 专心6 已知直线 t ty tx 2 3 2 1 1 为参数 曲线 1 C cos sin x y 为参数 设 与 1 C相交于BA 两点 求 AB 若把曲线 1 C上各点的横坐标压缩为原来的 2 1 倍 纵坐标压缩为原来的 2 3 倍 得 到曲线 2 C 设点P是曲线 2 C上的一个动点 求它到直线 的距离的最小值 24 本小题满分10分 选修4 5 不等式选讲 设 ln 1 2 3 f xxm x m R 当 1m 时 求函数 f x 的定义域 若当 7 1 4 x 0f x 恒成立 求实数m的取值范围 高三理科数学答案高三理科数学答案 1 5 ABDDA 6 10 AAABB 11 12 CA 13 1 14 2 15 22 1 54 xy 16 185cm 17 解 I qp cbCa 2cos2 2 分 根据正弦定理 得CBCAsinsin2cossin2 又 sinsinsincoscossinBACACAC 4 分 1 sincossin 2 CAC 0sin C 2 1 cos A 又0A 3 A sinA 2 3 6 分 用心 爱心 专心7 II 原式CCC C C CC C C cossin2cos21 cos sin 1 sin cos2 11 tan1 2cos2 2 22 8 分 4 2sin 22cos2sin CCC 10 分 3 2 0 C 12 13 4 2 4 C 1 4 2sin 2 2 C 2 4 2sin 21 C Cf的值域是 2 1 12 分 18 解 I 设数学辅导讲座在周一 周三 周五都不满座为事件 A 则 1221 1 1 1 23318 P A 4 分 II 的可能值得为 0 1 2 3 4 5 4 121 0 1 1 2348 P A 134 4 112121 1 1 1 1 223238 PC A AAA 22213 44 1121127 2 1 1 1 22322324 PCC AAAAA 33222 44 1121121 3 1 1 1 2232233 PCC AAAAAA 433 4 121121 4 1 1 2322316 PC AAAA 4 121 5 2324 P A 9 分 所以随机变量 的分布列如下 012345 P 1 48 1 8 7 24 1 3 3 16 1 24 10 分 故 1171318 012345 48824316243 E AAAAAA 12 分 19 证明 四边形ABCD是菱形 用心 爱心 专心8 2ADCDAB 在 ADE 中 3AE 1DE 222 ADDEAE 90AED 即AECD 又AB CD AE AB 2分 PA 平面ABCD AE 平面ABCD PA AE 又 PA ABA AE 平面PAB 4分 又 AE 平面AEF 平面AEF 平面PAB 6分 解法一 由 1 知AE 平面PAB 而AE 平面PAE 平面PAE 平面PAB 6分 PA 平面ABCD PA CD 由 知AE CD 又PA AEA CD 平面PAE 又CD 平面PCD 平面PCD 平面PAE 8分 平面PAE是平面PAB与平面PCD的公垂面 所以 APE 就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角 9分 在Rt PAE 中 222 347PEAEPA 即 7PE 10分 又 2PA 22 7 cos 77 APE 所以 平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为 2 7 7 12分 理 解法二 以A为原点 AB AE分别为x轴 y 轴的正方向 建立空间直角 坐标系 Axyz 如图所示 因为 2PAAB 3AE 所以 用心 爱心 专心9 0 0 0 A 0 0 2 P 0 3 0 E 1 3 0 C 6分 则 0 3 2 PE 1 0 0 CE 0 3 0 AE 7分 由 知AE 平面PAB 故平面PAB的一个法向量为 1 0 1 0 n 8分 设平面PCD的一个法向量为 2 nx y z 则 2 2 0 0 n PE n CE A A 即 320 0 yz x 令 2y 则 2 0 2 3 n 10分 12 12 12 22 7 cos 77 n n n n nn A A 所以 平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为 2 7 7 12分 20 1 1 2 2 2 y x 4 分 2 i 若 n 0 1 0 22 yxxl圆圆 ii 若 m 0 9 16 3 1 3 1 22 yxyl圆圆且过定点 0 1 6 分 iii 2222 22 1 0 416 0 2 03 39 22 mxnyn mmnxmnxn xy 时 设 A x1 y1 B x2 y2 则以 AB 为直径的圆的方程为 x x1 x x2 y y1 y y2 0 8 分 用心 爱心 专心10 2 9 18 2 3 2 2 9 16 2 3 4 22 22 21 22 2 21 22 2 21 22 21 nm mn yy nm n yy nm n xx nm mn xx 且且 圆方程为 0 2 9 1815 3 2 2 3 4 22 22 22 2 22 22 nm mn y nm n x nm mn yx 将 0 1 代入显然成立 故存在 T 0 1 符合题意 12 分 21 解析 I 原函数的定义域为 0 因为 2 22 111 aaxxa fxa xxx 当0a 时 22 11 0 xx fxfxx xx 令得所以此时函数 1 f x 在上是 增函数 在 0 1 上是减函数 当0a 时 令 2 2 2 1 1 axxa fxaxxa x 得 解得 1 11xx a 或 舍去 此时函数 f x在 1 上增函数 在 0 1 上是减函数 当 1 0 2 a 时 令 2 2 2 1 1 axxa fxaxxa x 得 解得 1 11 2 x 此时函数 f x在 1 1 1 a 上是增函数 在 0 1 和 1 1 a 上是减函数 6 分 II 由 I 知 0a 时 1 1 1 f xLnx x 在上是增函数 1 0 xf xf x 时 设 22 1 1 1 g xf xxLnxxx x 则 33 222 1121 1 221 2 xxxxx g xx xxxx 2 2210 xx 恒成立 1 0 xg xg x 时 单调递减 2 1 1 0 1xg xgf xx 时 即 用心 爱心 专心11 又 2 111111 0 1 1 1 211 f x f xxxxxx 111111111111 1 2 3 4 23243511ffff nnn 1111321 1 22142 1 n nnn n 不等式得证 12 分 22 证明 如图 连接 OC OA OB CA CB OCAB OC 是圆的半径 AB 是圆的切线 3 分 ED是直径 90 90ECDE