2012年高考数学二轮复习专题辅导资料 专题（5）数学方法之特殊解法

1 专题五 数学方法之特殊解法专题五 数学方法之特殊解法 考情分析 近年高考题尽量减少繁烦的运算 着力考查学生的逻辑思维与直觉思维能力 以及观 察 分析 比较 简捷的运算方法和推理技巧 突出了对学生数学素质的考查 试题运算 量不大 以认识型和思维型的题目为主 许多题目既可用通性 通法直接求解 也可用 特殊 方法求解 其中 配方法 待定系数法 换元法 参数法是几种常用的数学解题 方法 这些方法是数学思想的具体体现 是解决问题的手段 它们不仅有明确的内涵 而 且具有可操作性 有实施的步骤和作法 事半功倍是它们共同的效果 纵观近几年高考命题的趋势 在题目上还是很注意特殊解法应用 应为他起到避繁就 简 避免分类讨论 避免转化等作用 预测 2012 年的高考命题趋势为 1 部分涉及函数性质 三角函数变形及求值 方程不等式的参数最值 解析几何求 值等知识点的题目会用到这几种特殊解法 2 这些解题方法都对应更一般的解法 它们的规律不太容易把握 但它们在实际的 考试中会节省大量的时间 为后面的题目奠定基础 知识交汇 1 换元法 解数学题时 把某个式子看成一个整体 用一个变量去代替它 从而使问题得到 简化 这叫换元法 换元的实质是转化 关键是构造元和设元 理论依据是等量代换 目的是变换研究对象 将问题移至新对象的知识背景中去研究 从而使非标准型问题 标准化 复杂问题简单化 变得容易处理 换元法又称辅助元素法 变量代换法 通过引进新的变量 可以把分散的条件联 系起来 隐含的条件显露出来 或者把条件与结论联系起来 或者变为熟悉的形式 把复杂的计算和推证简化 它可以化高次为低次 化分式为整式 化无理式为有理式 化超越式为代数式 在研究方程 不等式 函数 数列 三角等问题中有广泛的应用 换元的方法有 局部换元 三角换元 均值换元等 局部换元又称整体换元 是 在已知或者未知中 某个代数式几次出现 而用一个字母来代替它从而简化问题 当 然有时候要通过变形才能发现 例如解不等式 4 2 2 0 先变形为设 xx 2 t t 0 而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题 x 三角换元 应用于去根号 或者变换为三角形式易求时 主要利用已知代数式中 与三角知识中有某点联系进行换元 如求函数 y 的值域时 易发现x1 x x 0 1 设 x sin 0 问题变成了熟悉的求三角函数值域 为什 2 2 么会想到如此设 其中主要应该是发现值域的联系 又有去根号的需要 如变量 x y 适合条件 x y r r 0 时 则可作三角代换 x rcos y rsin 化为三角 222 问题 均值换元 如遇到 x y S 形式时 设 x t y t 等等 S 2 S 2 我们使用换元法时 要遵循有利于运算 有利于标准化的原则 换元后要注重新 2 变量范围的选取 一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围 不能缩小也不能扩 大 如上几例中的 t 0 和 0 2 2 待定系数法 要确定变量间的函数关系 设出某些未知系数 然后根据所给条件来确定这些未知系 数的方法叫待定系数法 其理论依据是多项式恒等 也就是利用了多项式 f x g x 的 充要条件是 对于一个任意的 a 值 都有 f a g a 或者两个多项式各同类项的系数对 应相等 待定系数法解题的关键是依据已知 正确列出等式或方程 使用待定系数法 就是把 具有某种确定形式的数学问题 通过引入一些待定的系数 转化为方程组来解决 要判断 一个问题是否用待定系数法求解 主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表 达式 如果具有 就可以用待定系数法求解 例如分解因式 拆分分式 数列求和 求函 数式 求复数 解析几何中求曲线方程等 这些问题都具有确定的数学表达形式 所以都 可以用待定系数法求解 使用待定系数法 它解题的基本步骤是 第一步 确定所求问题含有待定系数的解析式 第二步 根据恒等的条件 列出一组含待定系数的方程 第三步 解方程组或者消去待定系数 从而使问题得到解决 3 参数法 参数法是指在解题过程中 通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变 量 参数 以此作为媒介 再进行分析和综合 从而解决问题 直线与二次曲线的参数方 程都是用参数法解题的例证 换元法也是引入参数的典型例子 辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的 联系的方式是丰富多采的 科学的任务 就是要揭示事物之间的内在联系 从而发现事物的变化规律 参数的作用就是刻画事物的 变化状态 揭示变化因素之间的内在联系 参数体现了近代数学中运动与变化的思想 其 观点已经渗透到中学数学的各个分支 运用参数法解题已经比较普遍 参数法解题的关键是恰到好处地引进参数 沟通已知和未知之间的内在联系 利用参 数提供的信息 顺利地解答问题 4 配方 凑 法 1 配方法是对数学式子进行一种定向变形 配成 完全平方 的技巧 通过配方 找到已知和未知的联系 从而化繁为简 何时配方 需要我们适当预测 并且合理运用 裂项 与 添项 配 与 凑 的技巧 从而完成配方 有时也将其称为 凑配法 最常见的配方是进行恒等变形 使数学式子出现完全平方 它主要适用于 已知或者 未知中含有二次方程 二次不等式 二次函数 二次代数式的讨论与求解等问题 2 配凑法 从整体考察 通过恰当的配凑 使问题明了化 简单化从而达到比较容 易解决问题的方法 常见的配凑方法有 裂项法 错位相减法 常量代换法等 思想方法 1 配方 凑 法典例解析 例 1 1 11 江苏 7 已知 则的值为 2 4 tan x x x 2tan tan 解析 3 2 2 tan 1 1tantan1tan4 4 tantan 2tan 443 tan229 tan 1 41tan x xxx xx x x x x 2 已知长方体的全面积为 11 其 12 条棱的长度之和为 24 则这个长方体的一条 对角线长为 A B C 5 D 63214 分析 设长方体三条棱长分别为x y z 则依条件得 2 xy yz zx 11 4 x y z 24 而欲求的对角线长为 因此需将对称式写成基本对称式 222 zyx 222 zyx x y z及xy yz zx的组合形式 完成这种组合的常用手段是配方法 故 62 11 25 2 2222 xzyzxyzyxzyx 应选C 5 222 zyx 点评 本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式 观察和分 析三个数学式 容易发现使用配方法将三个数学式进行联系 即联系了已知和未知 从而 求解 这也是我们使用配方法的一种解题模式 例 2 1 设F1和F2为双曲线的两个焦点 点P在双曲线上且满足1 4 2 2 y x F1PF2 90 则 F1PF2的面积是 A 1 B C 2 D 2 5 5 分析 欲求 1 而由已知能得到什么呢 2 1 21 21 PFPFS FPF 由 F1PF2 90 得 2 20 2 2 2 1 PFPF 又根据双曲线的定义得 PF1 PF2 4 3 那么 2 3 两式与要求的三角形 面积有何联系呢 我们发现将 3 式完全平方 即可找到三个式子之间的关系 即 16 2 21 2 2 2 1 2 21 PFPFPFPFPFPF 故24 2 1 16 2 1 2 2 2 121 PFPFPFPF 选 A 1 2 1 21 21 PFPFS FPF 点评 配方法实现了 平方和 与 和的平方 的相互转化 2 设方程 x kx 2 0 的两实根为 p q 若 7 成立 求实数 k 的 2 p q 2 q p 2 取值范围 4 解析 方程 x kx 2 0 的两实根为 p q 由韦达定理得 p q k pq 2 2 p q 2 q p 2 pq pq 44 2 pqp q pq 22222 2 2 pqpqp q pq 2222 2 22 7 解得 k 或 k k 22 48 4 1010 又 p q 为方程 x kx 2 0 的两实根 k 8 0 即 k 2或 k 2 22 2 2 综合起来 k 的取值范围是 k 或者 k 102 22 210 点评 关于实系数一元二次方程问题 总是先考虑根的判别式 已知方程有两根 时 可以恰当运用韦达定理 本题由韦达定理得到 p q pq 后 观察已知不等式 从其结 构特征联想到先通分后配方 表示成 p q 与 pq 的组合式 假如本题不对 讨论 结 果将出错 即使有些题目可能结果相同 去掉对 的讨论 但解答是不严密 不完整 的 这一点我们要尤为注意和重视 2 待定系数法典例解析 例 3 11 江苏 12 在平面直角坐标系中 已知点 P 是函数xOy 的图象上的动点 该图象在 P 处的切线 交 y 轴于点 M 过点 P 作 的垂 0 xexf x ll 线交 y 轴于点 N 设线段 MN 的中点的纵坐标为 t 则 t 的最大值是 解析 设则 0 0 x P x e 000 00 0 1 xxx l yeexxMx e 过点 P 作 的垂线 l 0000 00 0 xxxx yeexxNex e 000000 000 11 1 22 xxxxxx tx eex eex ee 00 0 1 1 2 xx teex 所以 t 在上单调增 在单调减 0 1 1 max 11 2 te e 例 4 11 安徽文 17 设直线 0 2 1 1 21212211 kkkkxkylxkyl满足其中实数 I 证明与相交 1 l 2 l II 证明与的交点在椭圆 1 l 2 l 22 2x y 1上 分析 本题考查直线与直线的位置关系 线线相交的判断与证明 点在曲线上的判断 与证明 椭圆方程等基本知识 考查推理论证能力和运算求解能力 证明 I 反证法 假设是l1与l2不相交 则l1与l2平行 有 k1 k2 代入 5 k1k2 2 0 得 0 2 2 1 k 此与 k1为实数的事实相矛盾 从而相交 2121 llkk与即 II 方法一 由方程组 1 1 2 1 xky xky 解得交点P的坐标为 yx 2 12 12 12 kk kk y kk x 而 1 4 4 2 28 2 22 2 2 2 1 2 2 2 1 21 2 1 2 2 21 2 1 2 22 12 122 12 22 kk kk kkkk kkkk kk kk kk yx 此即表明交点 12 22 上在椭圆 yxyxP 方法二 交点P的坐标满足 yx 0 2 11 02 1 1 0 1 1 21 2 1 2 1 x y x y kk x y k x y k x xky xky 得代入 从而故知 整理后 得 12 22 yx 所以交点P在椭圆 12 22 上 yx 3 换元法典例解析 例 5 1 06 江苏卷 设a为实数 设函数的最大xxxaxf 111 2 值为g a 设 t 求t的取值范围 并把f x 表示为t的函数m t xx 11 求g a 解析 令11txx 要使有 t 意义 必须 1 x 0 且 1 x 0 即 1 x 1 6 t 0 22 22 1 2 4 tx t 的取值范围是由 得 2 2 22 1 11 2 xt m t a t 2 1 1 2 t 2 1 2 2 2 atta t 由题意知 g a 即为函数的最大值 2 1 2 2 2 m tatta t 注意到直线是抛物线的对称轴 分以下几种情况讨论 1 t a 2 1 2 m tatta 1 当 a 0 时 函数 y m t 的图象是开口向上的抛物线的一段 2 2 t 由 0 知 m t 在上单调递增 g a m 2 a 2 1 t a 2 2 2 当 a 0 时 m t t g a 2 2 2 t 3 当 a0 求 f x 2a sinx cosx sinx cosx 2a 的最大值和最小值 2 解析 设 sinx cosx t 则 t 由 sinx cosx 1 2sinx cosx22 2 得 sinx cosx t 2 1 2 f x g t t 2a a 0 t 1 2 2 1 2 22 7 t 时 取最小值 2a 2a 2 2 2 1 2 当 2a 时 t 取最大值 2a 2a 22 2 2 1 2 当 0 2a 时 t 2a 取最大值 2 1 2 f x 的最小值为 2a 2a 最大值为 2 2 1 2 1 2 0 2 2 22 2 1 2 2 2 2 a aaa 点评 此题属于局部换元法 设 sinx cosx t 后 抓住 sinx cosx 与 sinx cosx 的内在联系 将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题 使得容易求 解 换元过程中一定要注意新的参数的范围 t 与 sinx cosx 对应 否22 则将会出错 本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法 即由对称轴与闭 区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论 一般地 在遇到题目已知和未知中含有 sinx 与 cosx 的和 差 积等而求三角式的最 大值和最小值的题型时 即函数为 f sinx cosx sinxcsox 经常用到这样设元的换元 法 转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究 例 6 点P x y 在椭圆上移动时 求函数u x2 2xy 4y2 x 2y的最大值 1 4 2 2 y x 解析 点P x y 在椭圆上移动 1 4 2 2 y x 可设 sin cos2 y x 于是yxyxyxu242 22 sin2cos2sin4cossin4cos4 22 1sincos sin cos2 2 令 t sincos t 4 sin 2cossin 2 于是u t 2 3 2 1 2 1 2 22 ttt2 当t 即时 u有最大值 21 4 sin 8 2k k Z 时 4 226 max u 4 参数法典例解析 例 7 11 辽宁文 21 如图 已知椭圆C1的中心在原点O 长轴左 右端点M N在 x轴上 椭圆C2的短轴为MN 且C1 C2的离心率都为e 直线l MN l与C1交于两点 与C2交于两点 这四点按纵坐标从大到小依次为A B C D I 设 求与的比值 1 2 e BCAD II 当e变化时 是否存在直线l 使得BO AN 并说明理 由 解 I 因为 C1 C2的离心率相同 故依题意可设 22222 12 2242 1 1 0 xyb yx CCab abaa 设直线 分别与 C1 C2的方程联立 求得 l xtta 4 分 2222 ab A tatB tat ba 当表示 A B 的纵坐标 可知 13 22 AB ebayy 时分别用 2 2 2 3 2 4 B A yb BCAD ya II t 0 时的l不符合题意 时 BO AN 当且仅当 BO 的斜率kBO与 AN 的斜率kAN0t 相等 即 2222 ba atat ab tta 解得 22 222 1 abe ta abe 因为 2 2 12 01 1 1 2 e taee e 又所以解得 所以当时 不存在直线l 使得 BO AN 2 0 2 e 当时 存在直线l使得 BO AN 2 1 2 e 点评 设问形式的存在性问题很常规 但是题目内容却多年不见 考查了点参数问题 根本不需要设直线方程 更没有直线与圆锥曲线的联立 这是大部分学生所不适应的 本 题设交点坐标为参数 设而不求 以这些参数为桥梁建立 t 的表达式求解 9 例 8 实数 a b c 满足 a b c 1 求 a b c 的最小值 222 分析 由 a b c 1 想到 均值换元法 于是引入了新的参数 即设 a t b t c t 代入 a b c 可求 1 3 1 1 3 2 1 3 3 222 解析 由 a b c 1 设 a t b t c t 其中 1 3 1 1 3 2 1 3 3 t t t 0 123 a b c t t t t t t 222 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1 3 2 3 123 t t t t t t 1 2 2 2 3 2 1 3 1 2 2