【特色训练】11．1平方根与立方根

1111 1 1 平方根与立方根平方根与立方根 专题专练专题专练 专题一专题一 平方根平方根 一 概念一 概念 本专题有二个重要概念 即 平方根 算术平方根 这二个概念既有相同点 又有本质区 别 很容易混淆 为了更好地区分它们 列表比较如下 平方根算术平方根 概念如果一个数 x 的平方等于 a 那么 这个数 x 叫做 a 的平方根 即 若 x2 a 则 x 叫做 a 的平方根 一个正数 a 的正的平方根叫做 a 的 算术平方根 即 若 x2 a x 0 则 x 叫做 a 的算术平方根 表示方法 aa a 的取值范围 a 0a 0 性质正数的平方根有二个 它们是互为 相反数 0 的平方根是 0 负数没 有平方根 一个正数有一个算术平方根 0 的 算术平方根等于 0 负数没有算术平方根 重要结论 a 2 a a 0 2 a a a 为全体实数 a 2 a a 0 2 a a a 为全体实数 平方根与算术平 方根的联系 平方根包含算术平方根 算术平方根是平方根中的一个 平方根和算术平方根都是只有非负数才有 求平方根和算术平方根都是开平方运算 且都是开平方运算的逆运算 0 的平方根是 0 0 的算术平方根也是 0 注意 在本专题中要正确理解注意 在本专题中要正确理解 a a a的意义的意义 a a 0 表示非负数 a 的平方根 正数 a 的平方根有二个 它们是互为相反数 a a 0 表示非负数 a 的算术平方根 它是一个非负数 即a 0 a 0 a a 0 表示的是非负数 a 的负的平方根 或非负数 a 的算术平方根的相反数 a a a当 a 0 时 它们都没有意义 二 运算二 运算 学习平方根 要过好运算关 即 开平方运算 开平方 求一个非负数 a 的平方根的运算叫开平方 开平方是一种新的运算 与我们以 前学习的加 减 乘 除 乘方一样是一种运算 平方根是开平方的结果 开平方与平方互为逆运算 开平方与其它运算不一样 其它运算的结果是唯一的 而开平方的结果可能有二个 一 个 不存在 三 注意算术平方根两个非负性的应用三 注意算术平方根两个非负性的应用 任何一个非负数的算术平方根都是非负数 即a 0 a 0 对于二次根式a 隐含着一个重要条件 被开方数是一个非负数 即 a 0 当 a 为非负数时 a的最小值为 0 即a 0 四 典型例题剖析四 典型例题剖析 例例 1 4 的算术平方根是 A 2 B 2 C 2 D 16 剖析 剖析 本题考查算术平方根的概念 根据算术平方根的定义可以直接得到 4 的算术平方 根是 2 选 A 例例 2 81的平方根是 剖析剖析本题考查了二个知识 其一 81的意义 它表示的是 81 的算术平方根 即 9 其二 9 的平方根 即 3 所以本题答案为 3 评注 本题很容易错填 9 其原因是对81的意义不明确 本题有二步计算 一是 81 9 二是 9 的平方根是 3 例例 3 若 2m 4 与 3m 1 是同一个数的两个不同的平方根 则 m 的值是 A 3 B 1 C 3 或 1 D 1 剖析 剖析 根据平方根的性质 正数的平方根有两个 并且这两个平方根互为相反数 负数没 有平方根 0 的平方根是 0 所以有 2m 4 3m 1 0 得出 m 1 本题选 B 例例 4 解方程 16x2 25 0 剖析 剖析 要求满足方程未知数 x 的值 可以象解一元一次方程那样 把方程变形 先求出 x2 的值 再开方求出 x 的值 解 由 16x2 25 0 所以 x2 16 25 所以 x 16 25 4 5 例例 5 一块板长 3 米 宽 2 米 它的对角线长为13米 不用计算器试估计它的对角线长 是多少 结果精确到 0 01 剖析 剖析 本题是一道估算题 它考查的是平方与开平方的互逆运算关系 借助平方 容易得 到 解 解 设对角线的长为 x 由已知得 x2 13 9 13 16 因为 32 9 42 16 所以 3 x 4 又因为 3 62 12 96 3 72 13 69 所以 3 6 x 3 7 又因 3 6052 12 996025 3 6062 13 003236 所以 3 605 x 3 606 精确到百分位 可得对角线的长约为 36 1 米 例例 6 物体从某一高度自由落下 物体下落的高度 s 与下落的时间 t 之间的关系可用公式 s 1 2 gt2表示 其中 g 10 米 秒 2 若物体下落的高度是 180 米 那么下落的时间是多 少秒 剖析 剖析 本题是一道贴近生活的实际问题 只须代入数值计算即可 解解 因为 s 1 2 gt2 所以当 s 180 米时 得 180 1 2 10t2 所以 t2 36 所以 t 6 因为时间不能为负 所以 t 6 即物体下落的时间为 6 秒 专题练习一专题练习一 1 16 的平方根是 A 4 B 4 C 4 D 8 2 9的算术平方根 A 3 B 3 C 3 D 3 3 下列各式成立的是 A 9 3 B 2 9 81 C 2 3 3 D 2 3 3 4 一个数 a 有两个不同的平方根为 2m 1 m 7 则这个数 a 是 5 解方程 2 1 x 1 2 32 6 将一块面积为 30m2的正方形铁皮的四个角各剪去一个面积为 2m2的小正方形 剩下的部 分刚好能作一个无盖的长方体运输箱 求此运输箱底面的边长 可借助于计算器 结果精 确到 0 01m 专题二 立方根专题二 立方根 一 概念一 概念 立方根与平方根类似 为了更好的学习 列表比较之 立方根平方根 概念如果一个数 x 的立方等于 a 那么这个数 x 叫做 a 的立 方根 即 若 x3 a 则 x 叫 做 a 的立方根 如果一个数 x 的平方等于 a 那么这个数 x 叫做 a 的平 方根 即 若 x2 a 则 x 叫 做 a 的平方根 表示方法 3 a a a 的取值范围a 为全体实数 a 0 性质正数的立方根有一个 是正 的 负数的立方根有一个 是负的 0 的立方根是 0 正数的平方根有二个 它们 是互为相反数 0 的平方根 是 0 负数没有平方根 重要结论 aa 33 a 全体实数 aa 3 3 a 全体实数 2 a a a 全体实数 a 2 a a 0 二 运算二 运算 开立方 求一个数 a 的立方根的运算叫开立方 开立方和开平方统称为开方 加 减 乘 除 乘方 开方称为实数运算中的三级运算 开立方与立方互为逆运算 开立方的结果是唯一的 任何一个实数都有唯一的一个立方根 三 典型例题剖析三 典型例题剖析 例例 1 1 8 的立方根是 A 2 1 B 2 1 C 2 1 D 不存在 剖析 剖析 根据立方根的概念直接得到为 2 1 选 B 例例 2 下列说法中正确的是 3 的立方根是 27 1 27 的立方根是 1 3 64 的立方根是 4 0 的立方根是 0 A B C D 剖析 剖析 本题考查的是立方根的概念 对照概念可知 只有 是正确的 所以选 D 例例 3 下列说法中错误的是 A 负数没有立方根 B 1 的立方根是 1 C 3 8的平方根是 2 D 立方根等于它本身的数有 3 个 剖析 剖析 本题考查的是立方根与平方根性质的区别 要认真区分 否则很容易出错 显然 A 是错误的 因为任何实数都有立方根 所以选 A 例例 4 4 已知 x 两个不同的平方根是 2a 3 和 1 3a y 的立方根为 a 求 x y 的值 剖析 剖析 根据平方根的性质有 2a 3 1 3a 0 所以 a 4 x 的平方根就是 2a 3 11 1 3a 11 于是 x 121 根据立方根的性质 y a3 64 所以 x y 185 例例 5 已知 a2 4 b3 27 求 ab的值 剖析 剖析 本题包含了分类讨论思想 解解 由 a2 4 得 a 2 由 b3 27 得 b 3 所以 当 a 2 b 3 时 ab 23 27 当 a 2 b 3 进 ab 2 3 27 例例 6 6 将半径为 12cm 的铁球熔化 重新铸造出 8 个半径相同的小铁球 不计损耗 小铁球 的半径是多少厘米 球的体积公式为 V 4 3 R3 剖析 剖析 本题是一个帖近生活的实际问题 根据熔化前后 总体积相等 列方程求解 解解 设小铁球的半径为 x 根据题意得 4 3 123 8 4 3 x3 解得 x3 216 所以 每个小球的半径为 x 6cm 专项练习二专项练习二 1 8 的立方根是 A 不存在 B 2 C 2 D 2 2 下列说法中正确的是 A 1 的立方根是 1 B 负数没有立方根 C 2 的立方根是2 D 任何实数都有一个立方根 3 一个数的立方根等于它本身 这个数是 4 用计算器计算 41 3 2007 保留 4 个有效数字 5 8 x 1 3 27 0 6 王老师有棱长为 40 25cm 的两