数据包络分析法(DEA)概述

1 数据包络分析法数据包络分析法 DEA 概述概述 数据包络分析 Data Envelopment Analysis 简称 DEA 方法是 运用数学工具评价经济系统生产前沿面有效性的非参数方法 它适 应用于多投入多产出的多目标决策单元的绩效评价 这种方法以相 对效率为基础 根据多指标投入与多指标产出对相同类型的决策单 元进行相对有效性评价 应用该方法进行绩效评价的另一个特点是 它不需要以参数形式规定生产前沿函数 并且允许生产前沿函数可 以因为单位的不同而不同 不需要弄清楚各个评价决策单元的输入 与输出之间的关联方式 只需要最终用极值的方法 以相对效益这 个变量作为总体上的衡量标准 以决策单元 DMU 各输入输出的权 重向量为变量 从最有利于决策的角度进行评价 从而避免了人为 因素确定各指标的权重而使得研究结果的客观性收到影响 这种方 法采用数学规划模型 对所有决策单元的输出都 一视同仁 这 些输入输出的价值设定与虚拟系数有关 有利于找出那些决策单元 相对效益偏低的原因 该方法以经验数据为基础 逻辑上合理 故 能够衡量个决策单元由一定量大投入产生预期的输出的能力 并且 能够计算在非 DEA 有效的决策单元中 投入没有发挥作用的程度 最为重要的是应用该方法还有可能进一步估计某个决策单元达到相 对有效时 其产出应该增加多少 输入可以减少多少等 2 数据包络模型 又称为数据包络模型 又称为 DEADEA 模型 描述模型 描述 数据包络分析 DEA 由美国著名运筹学家 A Charnes 等人在 1978 年以相对效率概念为基础发展起来的一种新的绩效评价方法 这种方法是以决策单元 Decision Making Unit 简称 DMU 的投入 产出指标的权重系数为变量 借助于数学规划模型将决策单元投影 到 DEA 生产前沿面上 通过比较决策单元偏离 DEA 生产前沿面的 程度来对被评价决策单元的相对有效性进行综合绩效评价 其基本 思路是 通过对投入产出数据的综合分析 得出每个 DMU 综合相对 效率的数量指标 确定各 DMU 是否为 DEA 有效 下面我们先描述 DEA 模型 假设有 n 个待评价的对象 又称之为 n 个决策单元 DMU 每 个决策单元都有 m 种类型的投入及 s 种类型的产出 它们所对应的 权重向量分别记为 这 n 个决策单元中第 j 个的投入和产出量用向量分别记作 其中 为第 j 个决策单元对第 i 种类型输入的投入总量 为第 j 个决策单元对第 r 种类型输出的产出总量 且 为 第 i 种输入指标的权重系数 为第 r 种产出指标的权重系数 且 则每个决策单元 DMU 投入与产出比的相对效率评价指数如 下 通过适当选取权重向量 V 和 U 的值 使对每个 j 均满足 现对某第个决策单元进行绩效评价 则以第个决策单元的效率 指数为目标 以所有的待评的决策单元的效率指数为约束 第个 决策单元简记为 故可以得到一般的 DEA 优化模型如下 上面的模型是分式规划规划问题模型 为了方便计算 通过适 当的变换 我们可以将其化为一个等价的线性规划数学模型 并且 引进阿基米德穷小量 在实数范围内表示的是大于 0 但小于任 意正数的量 构成了具有非阿基米德无穷小量的的模型 它的对偶线性规划问题模型如下 其中 均为对偶变量 m 维单位向量 s 维单位向量 和均 松弛变量 模型是假定生产技术是固定规模报酬的 后来 Banker Chames and Cooper 又对模型进行推广 他们把固定 规模报酬假设改为非递增规模报 则在上述的 DEA 模型的基础上需 增加一个约束条件 在此假设下非递增规模报酬时的技术 效率为 如果我们把固定规模报酬假设改为可变规模报酬 variable Returns to Scale 简记 VRS 则 DEA 模型中的上述约束 条件应改为 从而得到的如下新的 DEA 模型 线性规划模型在可变规模报酬 VRS 条件下求得的相对效率称为 纯技术效率 在 CRS 假设条件下得到的相对效率称为技术效率 又 称为总体效率 它是规模效率与纯技术效率的乘积 因此 可以根 据 C2R 模型 4 3 和 VRS 模型 4 4 来确定规模效率 模型 4 3 表明 当第 j0个决策单元产出 Y0保持不变的情况 下 应尽量保证投入量 X0按照同一比例减少 假设上述规划问题模 型 4 3 求得最优解为 则有 若 且 则称被评价决策单元相对于其它决策单元而言 DEA 有效 此时该决策单元既满足技术有效又满足规模有效 若 但不同时等于零向量 则称被评价决策单元为弱 DEA 有效 这时该被评价的决策单元不是同时技术有效和规模有效 此时需要应用 VRS 模型 4 4 进一步进行计算 如果 则称 此被评价的决策单元为非 DEA 有效 值得注意的是 VRS 模型 4 4 是在对 C2R 模型 4 3 计算 的基础上进行的分析 用以确定是否为纯技术有效 由于总体效率 表现为规模效率和纯技术效率之积 根据上述的分析并通过模型 4 3 和 4 4 容易求得规模效率值 另外 对于非 DEA 有效的决策单元 需要通过进一步的分析讨 论并求出被评价的决策单元 DMU 在 DEA 相对于有效面上的投影 即新决策单元 则新决策单元相对于原来的决策单元而言是 DEA 有效的 设为第 j0个决策单元对应于在 DEA 的相对有效面上的投影 则它们之间的转换关系可以表示为如下公 式 根据上述公式 4 5 可以