2012高三数学一轮复习 函数与数列（Ⅱ）单元练习题

用心 爱心 专心 1 高三数学单元练习题 高三数学单元练习题 函数与数列 函数与数列 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 不需要写出解答过程 请把答案直 接填空在答题卷相应位置上 1 等差数列 n a 的前 n 项和为 3 2 1 nSn 当首项 1 a 和公差 d 变化时 若 1185 aaa 是一个定值 则 3 2 1 nSn 中为定值的是 2 在等比数列 n a 中 若 794 4 1aaa 则 12 a 的值是 3 已知数列 n a 是以 2 为公差的等差数列 n S 是其前n项和 若 7 S 是数列 n S 中的唯一 最大项 则数列 n a 的首项 1 a 的取值范围是 4 在等差数列 n a 中 39 741 aaa 27 963 aaa 则数列 n a 的前 9 项之和 9 S 等于 5 若数列 n a 满足 10 2 1 1 1 nn nn n aa aa a 若 7 6 1 a 则 2008 a 6 已知数列 n a 满足 1 2a 1 32 nn aa nN 则 n a 7 在等差数列 n a 中 11 10 1 a a 若它的前 n 项和 n S 有最大值 则使 n S 取得最小正数的n 8 n S 为等差数列 n a 的前 n 项和 若 2 41 21 n n an an 则 2n n S S 9 已知数列 1 n nn a n n 为奇数 为偶数 则 123499100 aaaaaa 10 已知数列 1 2 3 n n a 将 n a 的各项排成三角形状 记 A m n 表示第m行第n列的项 则 10 8 A 11 已知数列 n a 的通项公式是 1 2 n n a 数列 n b 的通项公式是 nbn3 令集合 21 n aaaA 21 n bbbB Nn 将集合 BA 中的元素按从小到 大的顺序排列构成的数列记为 n c 则数列 n c 的前 28 项的和 28 S 12 设 1 a 2 a n a 是各项不为零的n 4 n 项等差数列 且公差 0 d 若将此 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 用心 爱心 专心 2 列删去某一项后 得到的数列 按原来顺序 是等比数列 则所有数对 d a n 1 所组成的集 合为 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 请在指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 13 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 log2 1 Sn n 1 求数列的通项公式 14 数列 n a 的首项 1 1 3 01 2 3 4 2 n n a aan 1 求 n a 的通项公式 2 设 32 nnn baa 比较 1 nn b b 的大小 其中n为正整数 15 已知数列 an a1 1 点 P an an 1 n N 在直线 x y 1 0 上 1 求数列 an 的通项公式 2 函数 123 1111 n f n nananana n N 且 n 2 求函数 f n 的最小值 3 设 1 n n b a Sn 表示数列 bn 的前 n 项和 试问 是否存在关于 n 的整式 g n 使得 S1 S2 S3 Sn 1 Sn 1 g n 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立 若存在 写出 g n 的解析式 并加以证明 若不存在 试说明理由 16 已知 1 42 x f xxR P1 x1 y1 P2 x2 y2 是函数 yf x 图象上两点 且线段 P1P2 中点 P 的横坐标是 1 2 1 求证 点 P 的纵坐标是定值 2 若数列 n a 的通项公式是 1 2 n n afmNn m m 求数列 n a 的前 m 项和 Sm 3 在 2 的条件下 若m N 时 不等式 1 1 mm mm aa SS 恒成立 求实数 a 的取值范围 17 第一行是等差数列 0 1 2 3 2008 将其相邻两项的和依次写下作为第二行 第 二行相邻两项的和依次写下作为第三行 依此类推 共写出 2008 行 0 1 2 3 2005 2006 2007 2008 1 3 5 4011 4013 4015 4 8 8024 8028 1 由等差数列性质知 以上数表的每一行都是等差数列 记各行的公差组成数列 1 2 3 2008 i di 求通项公式 i d 2 各行的第一个数组成数列 1 2 3 2008 i bi 求数列 i b 所有各项的和 参参考答案 用心 爱心 专心 3 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 不需要写出解答过程 请把答案直 接填空在答题卷相应位置上 1 等差数列 n a 的前 n 项和为 3 2 1 nSn 当首项 1 a 和公差 d 变化时 若 1185 aaa 是一个定值 则 3 2 1 nSn 中为定值的是 15 S 2 在等比数列 n a 中 若 79 4aa 4 1a 则 12 a 的值是 4 3 已知数列 n a 是以 2 为公差的等差数列 n S 是其前n项和 若 7 S 是数列 n S 中的唯一 最大项 则数列 n a 的首项 1 a 的取值范围是 4 在等差数列 n a 中 39 741 aaa 27 963 aaa 则数列 n a 的前 9 项之和 9 S 等于99 5 若数列 n a 满足 10 2 1 1 1 nn nn n aa aa a 若 7 6 1 a 则 2008 a 7 5 6 如图甲是第七届国际数学教育大会 简称 ICME 7 的会徽图案 会徽的主体图案是由如图 乙的一连串直角三角形演化而成的 其中 OA1 A1A2 A2A3 A7A8 1 如果把图乙中的直角三 角形继续作下去 记 OA1 OA2 OAn 的长度构成数列 n a 则此数列的通项公式为 n 7 在等差数列 n a 中 11 10 1 a a 若它的前 n 项和 n S 有最大值 则使 n S 取得最小正数的n 19 8 n S 为等差数列 n a 的前 n 项和 若 2 41 21 n n an an 则 2n n S S 4 9 已知数列 1 n nn a n n 为奇数 为偶数 则 123499100 aaaaaa 5000 10 已知数列 1 2 3 n n a 将 n a 的各项排成三角形状 1 a 2 a 3 a 4 a 用心 爱心 专心 4 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 记 A m n 表示第m行第n列的项 则 10 8 A A 88 1 2 3 B 89 1 2 3 C 90 1 2 3 D 161 1 2 3 11 已知数列 n a 的通项公式是 1 2 n n a 数列 n b 的通项公式是 nbn3 令集合 21 n aaaA 21 n bbbB Nn 将集合 BA 中的元素按从小到 大的顺序排列构成的数列记为 n c 则数列 n c 的前 28 项的和 28 S 820 12 设 1 a 2 a n a 是各项不为零的n 4 n 项等差数列 且公差 0 d 若将此 列删去某一项后 得到的数列 按原来顺序 是等比数列 则所有数对 d a n 1 所组成的集 合为 4 4 4 1 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 请在指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 log2 1 Sn n 1 求数列的通项公式 解 Sn 满足 log2 1 Sn n 1 1 Sn 2n 1 Sn 2n 1 1 a1 3 an Sn Sn 1 2n 1 1 2n 1 2n n 2 an 的通项公式为 an 2 2 1 3 n n n 16 数列 n a 的首项 1 1 3 01 2 3 4 2 n n a aan 1 求 n a 的通项公式 1 1 1 1 1 2 n n aa 2 设 32 nnn baa 比较 1 nn b b 的大小 其中n为正整数 17 已知数列 an a1 1 点 P an an 1 n N 在直线 x y 1 0 上 1 求数列 an 的通项公式 2 函数 123 1111 n f n nananana n N 且 n 2 求函数 f n 的最小值 用心 爱心 专心 5 3 设 1 n n b a Sn 表示数列 bn 的前 n 项和 试问 是否存在关于 n 的整式 g n 使得 S1 S2 S3 Sn 1 Sn 1 g n 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立 若存在 写出 g n 的解析式 并加以证明 若不存在 试说明理由 18 已知 1 42 x f xxR P1 x1 y1 P2 x2 y2 是函数 yf x 图象上两点 且线段 P1P2 中点 P 的横坐标是 1 2 1 求证 点 P 的纵坐标是定值 2 若数列 n a 的通项公式 是 1 2 n n afmNn m m 求数列 n a 的前 m 项和 Sm 3 在 2 的条件下 若 mN 时 不等式 1 1 mm mm aa SS 恒成立 求实数 a 的取值范围 解 1 由 2 1 2 21 xx 知 x1 x2 1 则 2 1 24 2 4 24 1 24 1 24 1 211 1 11 1 1 x x xxx yy 故点 P 的纵坐标是 4 1 为定值 6 分 2 已知 21 aaSm 21 mmm ffa 1 1 ff m m 又 21mmm aaS 21 1m m m m m ffaa 1 1 ff m 二式相加 得 2 2211 m m mm m mm ffffS 1 2 11 fff mm m 因为 2 1 1 k m km m k m 1 故 2 1 m km m k ff 又 6 1 1 f 从而 13 12 1 mSm 12 分 3 由 1 1 m m m m S a S a 得 0 12 2313 1 m a m m a 对 Nm 恒成立 显然 a 0 当 a 0 时 由 0 2313 1 m a m 得 0 m a 而当 m 为偶数时 0 m a 不成立 所以 a0 时 因为 0 m a 则由式 得 13 3 13 23 1 mm m a 又 13 3 m 随 m 的增大而减小 所以 当 m 1 时 13 3 1 m 有最大值 2 5 故 2 5 a 18 分 用心 爱心 专心 6 19 2008 湖北 已知数列 n a 和 n b 满足 1 a 1 2 4 1 321 3 n nnnn aanban 其中 为实数 n为正整数 对任意实数 证明数列 n a 不是等比数列 试判断数列 n b 是否为等比数列 并证明你的结论 设0 ab n S 为数列 n b 的前n项和 是否存在实数 使得对任意正整数n 都 有 n aSb 若存在 求 的取值范围 若不存在 说明理由 解 证明 假设存在一个实数 使 an 是等比数列 则有 a22 a1a3 即 094 9 4 94 9 4 4 9 4 3 3 2 222 矛盾 所以 an 不是等比数列 解 因为 bn 1 1 n 1 an 1 3 n 1 21 1 n 1 3 2 an 2n 14 3 2 1 n an 3n 21 3 2 bn 又 b1x 18 所以 当 18 bn 0 n N 此时 bn 不是等比数列 当 18 时 b1 18 0 由上可知 bn 0 3 2 1 n a b b n N 故当 18 时 数列 bn 是以 18 为首项 3 2 为公比的等比数列 由 知 当 18 bn 0 Sn 0 不满足题目要求 18 故知 bn 18 3 2 n 1 于是可得 Sn 3 2 1 18 5 3 n 要使 a Sn b 对任意正整数 n 成立 即 a 5 3 18 1 3 2 n b n N 用心 爱心 专心 7 则令 得 2 1 3 2 1 18 5 3 3 2 1 nf ba nn 当 n 为正奇数时 1 f n 1 9 5 3 5 nfn为正偶数时 当 f n 的最大值为 f 1 3 5 f n 的最小值为 f 2 9 5 于是 由 式得9 5 a 5 3 18 18318 5 3 abb 当 a3a 存在实数 使得对任意正整数 n 都有 a Sn 2 20 第一行是等差数列 0 1 2 3 2008 将其相邻两项的和依次写下作为第二行 第 二行相邻两项的和依次写下作为第三行 依此类推 共写出 2008 行 0 1 2 3 2005 2006 2007 2008 1 3 5 4011 4013 4015 4 8 8024 8028 1 由等差数列性质知 以上数表的每一行都是等差数列 记各行的公差组成数列 1 2 3 2008 i di 求通项公式 i d 2 各行的第一个数组成数列 1 2 3 2008 i bi 求数列 i b 所有各项的和 解 1 1 1 1 1 1 2