2012版高三数学一轮 10.2 用样本估计总体与变量间的相关关系精品复习学案

1 20122012 版高三数学一轮精品复习学案 第十章版高三数学一轮精品复习学案 第十章 统计 统计案例统计 统计案例 10 210 2 用样本估计总体与变量间的相关关系用样本估计总体与变量间的相关关系 高考目标导航高考目标导航 一 用样本估计总体一 用样本估计总体 一一 考纲点击考纲点击 1 了解分布的意义和作用 会列频率分布表 会画频率分布直方图 频率折线图 茎叶图 理解它们各自的特点 2 理解样本数据标准差的意义和作用 会计算数据标准差 3 能从样本数据中提取基本的数字特征 如平均数 标准差 并给出合理的解释 4 会用样本的频率分布估计总体分布 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特 征 理解用样本估计总体的思想 5 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题 二二 热点提示热点提示 1 频率分布直方图 茎叶图 平均数 方差 标准差是考查的重点 同时考查对样本估 计总体的思想的理解 2 频率分布直方等内容经常与概率等知识相结合出题 3 题型以选择题和填空题为主 属于中低档题 二 变量间的相关关系二 变量间的相关关系 一一 考纲点击考纲点击 1 会作两个有关联变量的数据的散点图 会利用散点图认识变量间的相关关系 2 了解最小二乘法的思想 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 二二 热点提示热点提示 1 以考查线性回归系数为主 同时可考查利用散点图判断两个变量间的相关关系 2 以实际生活为背景 重在考查回归方程的求法 3 在高考题中本部分的命题主要是以选择 填空题为主 属于中档题目 考纲知识梳理考纲知识梳理 一 用样本估计总体一 用样本估计总体 1 1 作频率分布直方图的步骤作频率分布直方图的步骤 1 求极差 即一组数据中最大值与最小值的差 2 2 决定组距与组数 3 将数据分组 4 列频率分布表 5 画频率分布表 2 2 频率分布折线图和总体密度曲线频率分布折线图和总体密度曲线 1 频率分布折线图 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点 就得频率分布折线 图 2 总体密度曲线 随着样本容量的增加 作图所分的组数增加 组距减小 相应的频率折 线图会越来越接近于一条光滑曲线 即总体密度曲线 3 3 标准差和方差标准差和方差 1 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离 2 3 方差 n x是样本数据 n是样本容量 x是样本平均数 注注 现实中的总体所包含个体数往往是很多的 如何求得总体的平均数和标准差呢 通常 的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差 这与有样本的频率分布近 似代替总体分布是类似的 只要样本的代表性好 这样做就是合理的 也是可以接受的 4 4 利用频率分布直方图估计样本的数字特征利用频率分布直方图估计样本的数字特征 1 中位数 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 由此可以 估计中位数的值 2 平均数 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中 点的横坐标之和 3 众数 在频率分布直方图中 众数是最高的矩形的中点的横坐标 二 变量间的相关关系二 变量间的相关关系 1 1 两个变量的线性相关两个变量的线性相关 1 正相关 在散点图中 点散布在从左下角到右上角的区域 对于两个变量的这种相关关系 我们将 3 它称为正相关 2 负相关 在散点图中 点散布在从左上角到右下角的区域 两个变量的这种相关关系称为负相关 3 3 线性相关关系 回归直线线性相关关系 回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近 就称这两个变量之间具有线性 相关关系 这条直线叫做回归直线 2 2 回归方程回归方程 1 最小二乘法 求回归直线使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法 2 回归方程 方程 y bxa 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 1122 nn x yxyxy 的回归方程 期中 a b是待定参数 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx aybx 注注 相关关系与函数关系的异同点 相同点 两者均是指两个变量的关系 不同点 函数 关系是一种确定的关系 相关关系是一种非确定的关系 函数关系是一种因果关系 而相关 关系不一定是因果关系 也可能是伴随关系 要点名师透析要点名师透析 一 用样本估计总体一 用样本估计总体 一一 频率分布直方图在总体估计中的应用频率分布直方图在总体估计中的应用 相关链接相关链接 频率分布直方图反映样本的频率分布频率分布直方图反映样本的频率分布 1 频率分布直方图中横坐标表示组距 纵坐标表示 频率 组距 频率 组距 频率 组距 2 频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1 因此在频率分布直方图中组距是一个 固定值 所以各小长方形高的比也就是频率比 3 频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式 前者准确 后者直观 4 4 众数为最高矩形中点的横坐标 5 中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标 例题解析例题解析 例例 为了了解高一学生的体能情况 某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试 将所 得数据整理后 画出频率分布直方图 图中从左到右各小长方形面积之比为 2 4 17 15 9 3 第 二小组频数为 12 1 第二小组的频率是多少 样本容量是多少 2 若次数在 110 以上 含 110 次 为达标 试估计该学生全体高一学生的达标率是多少 3 在这次测试中 学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内 请说明理由 思路解析思路解析 利用面积求得每组的频率 求样本容量 求频率和 求达标率 分析中位 数 解答解答 1 由已知可设每组的频率为 2x 4x 17x 15x 9x 3x 则 2x 4x 17x 15x 9x 3x 1 解得 x 0 02 则第二小组的频率为 0 02 4 0 08 样本容量为 12 0 08 150 2 次数在 110 次以上 含 110 次 的频率和为 17 0 02 15 0 02 9 0 02 3 0 02 0 88 则高一学生的达标率为 0 88 100 88 3 在这次测试中 学生跳绳次数的中位数落在第四组 因为中位数为平分频率分布直方 5 图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标 注注 利用样本的频率分布可近似地估计总体的分布 要比较准确地反映出总体分布的情况 必 须准确地作出频率分布表和频率分布直方图 充分利用所给的数据正确地作出估计 二二 用样本的分布估计总体用样本的分布估计总体 相关链接相关链接 茎叶图刻画数据的优点 1 所有的数据信息都可以从茎叶图中得到 2 茎叶图便于记录和表示 且能够展示数据的分布情况 注 当数据是两位有效数字时 用茎叶图显得容易 方便 而当样本数据较大和较多时 用 茎叶图表示 就显得不太方便 例题解析例题解析 例例 在某电脑杂志的一篇目文章中 每个句子的字数如下 10 28 31 17 23 27 18 15 26 24 20 19 36 27 14 25 15 22 11 24 27 17 在某报纸的一篇 文章中 每个句子中所含的字数如下 27 39 33 24 28 19 32 41 33 27 35 12 36 41 27 13 22 23 18 46 32 22 1 将这两组数据用茎叶图表示 2 将这两组数据进行比较分析 得到什么结论 思路解析思路解析 1 将十位数字作为茎 个位数字作为叶 逐一统计 2 根据茎叶图分析两组数 据 得到结论 解答解答 1 如图 2 电脑杂志上每个句子的字数集中在 10 30 之间 中位数为 22 5 而报纸上每个句子的 字数集中在 10 40 之间 中位数为 27 5 可以看出电脑杂志上每个句子的平均字数比报纸上 每个句子的平均字数要少 说明电脑杂志作为读物须通俗易懂 简明 三三 用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征 6 例例 甲乙二人参加某体育项目训练 近期的五次测试成绩得分情况如图 1 分别求出两人得分的平均数与方差 2 根据图和上面算得的结果 对两人的训练成绩作出评价 思路解析思路解析 1 先通过图象统计出甲 乙二人的成绩 2 利用公式求出平均数 方差 再 分析两人的成绩 作出评价 解答解答 1 由图象可得甲 乙两人五次测试的成绩分别为 甲 10 分 13 分 12 分 14 分 16 分 乙 13 分 14 分 12 分 12 分 14 分 222222 222222 10 13 12 14 16 13 5 13 14 12 12 14 13 5 1 10 13 13 13 12 13 14 13 16 13 4 5 1 13 13 14 13 12 13 12 13 14 13 0 8 5 x x s s 甲 乙 甲 乙 2 由 2 s甲 2 s乙可知乙的成绩较稳定 从折线图看 甲的成绩基本呈上升状态 而乙的成绩 上下波动 可知甲的成绩在不断提高 而乙的成绩则无明显提高 注注 1 运用方差解决问题时 注意到方差越大 波动越大 越不稳定 方差越小 波动越小 越稳定 2 平均数与方差都是重要的数字特征 是对总体的一种简单的描述 它们所反映的情况 有着重要的实际意义 平均数 中位数 众数描述其集中趋势 方差和标准差描述波动大小 3 3 平均数 方差的公式推广平均数 方差的公式推广 7 若数据 123 n x x xx 的平均数为x 那么 12 n mxa mxamxa 的平均数是 mxa 数据 123 n x x xx 的方差为 2 s a 2 2222 11 1 n sxxxnx n b 数据 12 n xa xaxa 的方差也为 2 s c 数据 12 n ax axax 的方差为 22 a s 二 变量间的相关关系二 变量间的相关关系 一一 利用散点图判断两个变量的相关关系利用散点图判断两个变量的相关关系 相关链接相关链接 1 1 散点图散点图 在散点图中 如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上 就用该函数来描述变量之间的 关系 即变量之间具有函数关系 如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近 变量之间就 有相关关系 如果所有的样本点都落在某一直线附近 变量之间就有线性相关关系 注注 函数关系是一种理想的关系模型 而相关关系是一种更为一般的情况 2 2 正相关 负相关正相关 负相关 从散点图可知 即一个变量的值由小变大时 另一个变量的值也由小变大 这种相关称为 正相关 如年龄的值由小变大时 体内脂肪含量也在由小变大 反之 如果一个变量的值由小变大时 另一个变量的值由大变小 这种相关称为负相关 例题解析例题解析 例例 在某地区的 12 30 岁居民中随机抽取了 10 个人的身高和体重的统计资料如表 根据上述数据 画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系 思路解析思路解析 1 用 x 轴表示身高 y 轴表示体重 逐一描出各组值对应的点 2 分析两个变 量是否存在相关关系 解答解答 以 x 轴表示身高 y 轴表示体重 可得到相应的散点图如图所示 8 由散点图可知 两者之间具有相关关系 且为正相关 二二 求回归方程求回归方程 相关链接相关链接 最小二乘法最小二乘法 1 最小二乘法是种有效地求回归方程的方法 它保证了各点与此直线在整体上最接近 最能反映样本观测数据的规律 2 最小二乘法估计的一般步骤 作出散点图 判断是否线性相关 如果是 则用公式求 a b 写出回归方程 根据方程进行估计 注 如果两个变量不具有线性相关关系 即使求出回归方程也毫无意义 而且用其进行估 计和预测也是不可信的 例题解析例题解析 例例 如表 其提供了某厂节能降耗技术改造生产甲产品过程中记录的产量 x 吨 与相应 的生产能耗 y 吨标准煤 的几组对应数据 1 请画出表中数据的散点图 2 请根据表中提供的数据 用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归方程 y bxa 思路解析思路解析 作散点图 求出 44 2 11 iii ii x yxx y 求 b a 得回归方程 解答解答 1 题设所给数据 可得散点图如图 9 2 对照数据 计算得 4 2 1 86 i i x 3456 4 5 4 x 2 5344 5 3 5 4 y 4 1 66 5 ii i x y 所以 由最小二乘法确定的回归方程的系数为 4 1 42 2 2 1 4 66 54 4 5 3 5 0 7 864 4 5 4 3 50 7 4 50 35 ii i i i x yx y b xx aybx A 因此 所求的线性回归方程为 0 70 35yx 三三 利用回归方程对总体进行估计利用回归方程对总体进行估计 例例 炼钢是一个氧化降碳的过程 钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短 必须掌 握钢水含碳量和冶炼时间的关系 如果已测得炉料熔化完毕时 钢水的含碳量 x 与冶炼时间 y 从炉料熔化完毕到出钢的时间 的一列数据 如表所示 1 作出散点图 你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗 2 求回归方程 3 预测当钢水含碳量为 160 时 应冶炼多少分钟 思路解析思路解析 1 将表中的各对数据在平面直角坐标系中描点 得到散点图 2 按求回归方 10 程的步骤和公式 写出回归方程 3 利用回归方程分析 解答解答 1 可作散点图如图所示 由图可知它们呈线性相关关系 2 10 1 10 2 2 1 10 159 8 172 1 267 10 172 1 267 159 830 47 1 26730 47 ii i i i x yxy xyb xx aybx yx 3 把 x 160 代入得 y 172 25 分钟 预测当钢水含碳量为 160 时 应冶炼 172 25 分钟 注注 利用回归方程可以进行预测估计总体 回归方程将部分观测值所反映的规律进行延 伸 是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制 依据自变量的取值估计和预报因变 量值的基础和依据 有广泛的应用 感悟高考真题感悟高考真题 1 2011 2011 江西高考文科江西高考文科 7 7 为了普及环保知识 增强环保意识 某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试 得分 十分制 如图所示 假设得分值的中位数为 众数为 e m 平均值为 则 0 mx 11 A e m 0 mx B e m 0 mx C e m 0 mx D 中位数 众数 B 平均数 中位数 众数 C 中位数 众数 0 02 注 注 方差与平均数在反映样本的特征上一定要区分开 14 2011 2011 天津模拟天津模拟 如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶图 去 掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的平均数和方差分别为 解析 去掉一个最低分 79 和一个最高分 93 还剩 5 个数据 则 84 84 84 86 87 85 x 1 5 s2 84 85 2 3 86 85 2 87 85 2 1 6 1 5 答案 85 1 6 15 某市有 200 名学生参加数学竞赛 现随机调阅了 60 名学生的答卷 成绩如表 则样本的数学平均成绩为 标准差为 精确到 0 01 解析 平均成绩 19 4 65 156 217 128 39 3 x6s1 22 60 答案 6 1 22 16 叫做变量 y 与 x 之间的相关系数 解答 解答 1 2 2 1 2 2 1 n i i n i i n i ii ynyxnx yxnyx r 三 解答题三 解答题 17 为估计一次性木质筷子的用量 1999 年从某县共 600 家高 中 低档饭店抽取 10 家作 样本 这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为 0 6 3 7 2 2 1 5 2 8 1 7 1 2 2 1 3 2 1 0 1 通过对样本的计算 估计该县 1999 年消耗了多少盒一次性筷子 每年按 350 个营业 日计算 2 2001 年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查 调查的结果是 10 个样本饭店 每个饭店平均每天使用一次性筷子 2 42 盒 求该县 2000 年 2001 年这两 年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率 2001 年该县饭店数 全年营业天数均与 1999 年相同 3 在 2 的条件下 若生产一套学生桌椅需木材 0 07m3 求该县 2001 年使用一次性筷 子的木材可以生产多少套学生桌椅 计算中需用的有关数据为 每盒筷子 100 双 每双筷子 的质量为 5g 所用木材的密度为 0 5 103kg m3 4 假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量 如何利用统计知识去做 简要地用文字表述出来 解析 解析 1 0 2 0 12 31 22 17 18 25 12 27 36 0 10 1 x 所以 该县 1999 年消耗一次性筷子为 2 600 350 420000 盒 2 设平均每年增长的百分率为X