2012版高考数学 3-2-1精品系列专题06 不等式（教师版）

用心 爱心 专心1 20122012 版高考数学版高考数学 3 2 13 2 1 精品系列专题精品系列专题 0606 不等式 教师版 不等式 教师版 考点定位考点定位 2012 2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布 20122012 考纲解读考纲解读 考纲解读 不等式的考查主要以中档题为主 以选填题为主 不等式的性质常与简易逻辑结合考查 不等式的解法主要以一元二次不等式为主 兼顾其它 如简单的分式不等式 绝对值不等 式 指对数不等式 与分段函数有关的不等式等 常与集合 选填题 导数 解答题中 对参数的分类讨论 结合 线性规划问题难度不大 基本不等式求最值是重点 要加强训 练 不等式的恒成立也应当重视 近几年考点分布近几年考点分布 的不等式问题是近几年考的较多的一种题型 特别是不等式恒成立问题中参数取值范 围的求法 3 不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系 通常以不等式与函数 三角 向量 数列 解析几何 数列的综合问题的形式出现 尤其是以导数或向量为背景的导数 或向量 不等式 函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题 问题多 属于中档题甚至是难题 对不等式的知识 方法与技巧要求较高 考点考点 pk pk 名师考点透析名师考点透析 考点一考点一 不等式的概念和性质 例 1 设不等式x2 2ax a 2 0 的解集为M 如果M 1 4 求实数a的取值范围 用心 爱心 专心2 即 21 0 0718 03 aa a a a 或 解得 2 a 7 18 M 1 4 时 a的取值范围是 1 7 18 名师点睛名师点睛 对二次不等式进行分类讨论 三种情况下分别计算 主要考查一元二次不 等式的求解和集合的关系的综合 例 2 不等式 2 313xxaa 对任意实数x恒成立 则实数a的取值范围为 A 1 4 B 2 5 w w w zxxk c o m C 1 2 D 1 2 考点二考点二算术平均数与几何平均数 例 3 设0 0 ab 若 11 333 ab ab 是与的等比中项 则的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 1 4 考点定位 本小题考查指数式和对数式的互化 以及均值不等式求最值的运用 考查了 变通能力 解析 因为333 ba 所以1 ba 4222 11 11 b a a b b a a b ba ba ba 当且仅当 b a a b 即 用心 爱心 专心3 2 1 ba时 成立 故选择 C 名师点睛名师点睛 对于均值不等式的运用 我们一般要关注不等式求最值时满足的三点 一 正 二定 三相等 需要从题目中挖掘有关定值的等式 考虑求最值时的方法 不等式法 单调性法 导数法等等来进行 最值问题使我们高频试题 要注意积累常用的方法 考点三考点三 线性规划 例 4 已知实数 x y 满足 2 2 3 yx yx x 则目标函数 z x 2y 的最小值是 名师点睛名师点睛 对于线性规划问题主要是作图 然后画图虚实要分 准确利用平移进行求 解有关的最值 该类试题也有逆向问题 含有参数问题的求解运用 需要灵活运用 例 5 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 B 原料 2 吨 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元 每吨 乙产品可获得利润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原料不超 过 18 吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12 万元 B 20 万元 C 25 万元 D 27 万元 答案答案 D 解析解析 设生产甲产品x吨 生产乙产品y吨 则有关系 A 原 料 B 原 料 甲产品x吨 3x 2x 乙产品 y吨 y 3y 则有 1832 133 0 0 yx yx y x 目标函数yxz35 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标 经验证知 当x 3 y 5 时可获得 最大利润为 27 万元 故选 D 名师点睛名师点睛 运用不等式解决现实生活中的最优解问题 比如材 料最省 容积最大 面积最大 利润最大等等问题 抽象不等式 准 确表示线性约束条件 然后结合图像求解 该类试题是高考中必考的 知识点 我们要多加以练习 考点四考点四 实际应用实际应用 3 4 0 6 O 3 13 0 y x9 13 用心 爱心 专心4 例 6 某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 台 每批都购入 x 台 x 是正整数 且每批均需付运费 4 元 储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入 书桌的总价值 不含运费 成正比 若每批购入 4 台 则该月需用去运费和保管费共 52 元 现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费 1 求该月需用去的运费和保管费的 总费用 f x 2 能否恰当地安排每批进货的数量 使资金够用 写出你的结论 并说明 理由 名师点睛名师点睛 本试题是创新题目 主要考查函数的概念 基本不等式等基础知识 考查 数学建模能力 抽象概括能力以及数学阅读能力 这也是高考的趋势 我们要主语创新能 力的培养 数学建模思想的树立 三年高考三年高考 10 10 1111 1212 高考试题及其解析高考试题及其解析 1212 高考试题及其解析高考试题及其解析 一 选择题 1 2012 年高考 辽宁文理 设变量 x y 满足 150 200 10 y yx yx 则 2x 3y的最大值为 A 20 B 35 C 45 D 55 解析 画出可行域 根据图形可知当 x 5 y 15 时 2x 3y最大 最大值为 55 故选 D 点评 本题主要考查简单线性规划问题 难度适中 该类题通常可以先作图 找到最优解求出最值 也可 22 yx 14 yx 42 yx O 用心 爱心 专心5 以直接求出可行域的顶点坐标 代入目标函数进行验证确定出最值 2 2012 年高考 辽宁理 若 0 x 则下列不等式恒成立的是 A 2 1 x exx B 2 111 1 241 xx x C 2 1 cos1 2 xx D 2 1 ln 1 8 xxx 点评 本题主要考查导数公式 以及利用导数 通过函数的单调性与最值来证明不等式 考 查转化思想 推理论证能力 以及运算能力 难度较大 3 2012 年高考 重庆文 不等式 1 0 2 x x 的解集是为 A 1 B 2 C 2 1 D 2 1 解析 1 0 1 2 021 2 x xxx x 考点定位 本题考查解分式不等式时 利用等价变形转化为整式不等式解 4 2012 年高考 重庆理 设平面点集 22 1 0 1 1 1Ax yyxyBx yxy x 则AB 所表示 的平面图形的面积为 A 3 4 B 3 5 C 4 7 D 2 解析 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 22 yx x y xy x y xy x yxy 或则满足 上述条件的区域为如图所示的圆内部分 和 因为1 1 1 1 22 yx x y的图象 都关于直线 y x 对称 所以 和 区域的面积相等 和 区域的面积相等 即圆内部分 和 的面积之和为单位圆面积的一半 即 2 点评 考查线性规划中可行域的画法 突破常规 难度较大 需要考生有扎实的基础储备 和灵活的转化能力 而另一难点是要有敏锐的观察力 能看到图象的对称性 否则问题的 求解会落入定积分的复杂运算中 所以在复习中既要重视双基 又要善于创新 在变化中寻 找不变 考点定位 本小题主要考查二元一次不等式 组 与平面区域 圆的方程等基础知识 考查 用心 爱心 专心6 运算求解能力 考查数形结合思想 化归与转化思想 属于基础题 5 2012 年高考 重庆理 不等式0 12 1 x x 的解集为 A 1 2 1 B 1 2 1 C 1 2 1 D 1 2 1 解析 1 21 0 11 01 212 210 xx x x x x 考点定位 本题主要考查了分式不等式的解法 解题的关键是灵活运用不等式的性质 属 于基础试题 属基本题 6 2012 年高考 浙江文 若正数 x y 满足 x 3y 5xy 则 3x 4y 的最小值是 A 24 5 B 28 5 C 5D 6 7 2012 年高考 天津文 设变量 x y满足约束条件 01 042 022 x yx yx 则目标函数 32zxy 的最小值为 A 5 B 4 C 2 D 3 解析 做出不等式对应的可行域如图 由yxz23 得 22 3z xy 由图象可知当直线 22 3z xy 经过点 2 0 C时 直线 22 3z xy 的截距最大 而此时yxz23 最小为 423 yxz 选 B 8 2012 年高考 四川文 若变量 x y满足约束条件 3 212 212 0 0 xy xy xy x y 则34zxy 的最 大值是 用心 爱心 专心7 A 12B 26C 28D 33 解析 目标函数34zxy 可以变形为 44 3z xy 做函数xy 4 3 的平行线 当其经过点 B 4 4 时截距最大时 即 z 有最大值为34zxy 284443 点评 解决线性规划题目的常规步骤 一列 列出约束条件 二画 画出可行域 三作 作目标函数变形式的平行线 四求 求出最优解 9 2012 年高考 四川理 某公司生产甲 乙两种桶装产品 已知生产甲产品 1 桶需耗 A原料 1 千克 B原料 2 千克 生产乙产品 1 桶需耗A原料 2 千克 B原料 1 千克 每 桶甲产品的利润是 300 元 每桶乙产品的利润是 400 元 公司在生产这两种产品的计划 中 要求每天消耗A B原料都不超过 12 千克 通过合理安排生产计划 从每天生产的 甲 乙两种产品中 公司共可获得的最大利润是 A 1800 元B 2400 元C 2800 元D 3100 元 解方程组 12y2x 12yx2 4y 4x 即 A 4 4 280016001200 max Z 点评 解决线性规划题目的常规步骤 一列 列出约束条件 二画 画出可行域 三作 作目标函数变形式的平行线 四求 求出最优解 10 2012 年高考 陕西文 小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b a b 其全程的平均 时速为 v 则 A a v abB v abC ab vb 1 0c 给出下列三个结论 c a c b c ab 1 知 11 ab 又0c 所以 c a c b 正确 由指数函数的图像与性 质知 正确 由a b 1 0c 知11acbcc 由对数函数的图像与性质知 正确 点评 本题考查函数概念与基本初等函数 中的指数函数的图像与性质 对数函数的图 像与性质 不等关系 考查了数形结合的思想 函数概念与基本初等函数 是常考知识点 14 2012 年高考 广东文 线性规划 已知变量x y满足约束条件 1 1 10 xy xy x 则2zxy 的最小值为 A 3B 1C 5 D 6 用心 爱心 专心9 解析 C 画出可行域 可知当代表直线过点A时 取到最小值 联立 1 1 x yx 解得 1 2 x y 所以2zxy 的最小值为5 15 2012 年高考 福建文 若直线2yx 上存在点 x y满足约束条件 30 230 xy xy xm 则 实数m的最大值为 A 1B 1C 3 2 D 2 16 2012 年高考 安徽文 若 x y满足约束条件 0 23 23 x xy xy 则xy 的最小值是 A 3 B 0C 3 2 D 3 解析 xy 的取值范围为 3 0 约束条件对应ABC 边际及内的区域 3 0 3 0 1 1 2 ABC 则 3 0 txy 17 2012 年高考 江西理 某农户计划种植黄瓜和韭菜 种植面积不超过 50 亩 投入资 金不超过 54 万元 假设种植黄瓜和韭菜的产量 成本和售价如下表 年产量 亩年种植成本 亩每吨售价 黄瓜4 吨1 2 万元0 55 万元 韭菜6 吨0 9 万元0 3 万元 为使一年的种植总利润 总利润 总销售收入 总种植成本 最大 那么黄瓜和韭菜的种植 面积 单位 亩 分别为 A 50 0B 30 0C 20 30D 0 50 解析 本题考查线性规划知识在实际问题中的应用 同时考查了数学建模的思想方法以及 实践能力 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x y 亩 总利润为 z 万元 则目标函数为 0 55 41 2 zxx 用心 爱心 专心10 0 3 60 9 yy 0 9xy 线性约束条件为 50 1 20 954 0 0 xy xy x y 即 50 43180 0 0 xy xy x y 作 出不等式组 50 43180 0 0 xy xy x y 表示的可行域 易求得点 0 50 30 20 0 45ABC 平移直线 0 9zxy 可知当直线0 9zxy 经过点 30 20B 即30 20 xy 时 z 取得最大 值 且 max 48z 万元 故选 B 点评 解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为 1 审题 仔细阅读 明确有哪些限 制条件 目标函数是什么 2 转化 设元 写出约束条件和目标函数 3 求解 关键 是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系 4 作答 就应用题提出 的问题作出回答 体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划 来年需要注意简单 的线性规划求最值问题 18 2012 年高考 湖北理 设 a b c x y z是正数 且 222 10abc 222 40 xyz 20axbycz 则 abc xyz A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 3 4 19 2012 年高考 广东理 已知变量x y满足约束条件 2 1 1 y xy xy 则 3zxy 的最大值为 A 12B 11C 3D 1 解析 B 画出可行域 可知当代表直线过点A时 取到最大值 联立 2 1 y yx 解得 3 2 x y 所 用心 爱心 专心11 以3zxy 的最大值为 11 20 2012 年高考 福建理 若函数2xy 图像上存在点 x y满足约束条件 30 230 xy xy xm 则实数m的最大值为 A 1 2 B 1C 3 2 D 2 解析 30 xy 与2yx 的交点为 1 2 所以只有1m 才能符合条件 B 正确 考点定位 本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域 考查分析判断能力 逻辑推理 能力和求解计算能力 21 2012 年高考 福建理 下列不等式一定成立的是 A 2 1 lg lg 0 4 xx x B 1 sin2 sin xxkkZ x C 2 12 xxxR D 2 1 1 1 xR x 二 填空题 22 2012 年高考 浙江文 设 z x 2y 其中实数 x y 满足 10 20 0 0 xy xy x y 则 z 的取值范 围是 23 2012 年高考 四川文 设 a b为正实数 现有下列命题 若 22 1ab 则1ab 若 11 1 ba 则1ab 若 1ab 则 1ab 若 33 1ab 则 1ab 其中的真命题有 写出所有真命题的编号 解析 若 a b 都小于 1 则 a b1 由 a2 b2 a b a b 1 所以 a b1 则 a b 1 若 a b 都小于 1 则 a b 0 时均有 a 1 x 1 x 2 ax 1 0 则 a 解析 本题按照一般思路 则可分为一下两种情况 A 2 1 10 10 ax xax 无解 B 2 1 10 10 ax xax 无解 因为受到经验的影响 会认为本题可能是错题或者解不出本题 其实在x 0 的整个区间上 我们可以将其分成两个区间 为什么 是两个 在各自的区间内恒正或恒负 如下答图 我们知道 函数y1 a 1 x 1 y2 x 2 ax 1 都过定点P 0 1 考查函数y1 a 1 x 1 令y 0 得M 1 1a 0 还可分析得 a 1 考查函数y2 x 2 ax 1 显然过点M 1 1a 0 代入得 2 1 10 11 a aa 解之得 3 0 2 aor 舍去0a 得答案 3 2 a 答案 3 2 a 30 2012 年高考 上海春 若不等式 2 10 xkxk 对 1 2 x 恒成立 则实数 k的取值范围是 答案 2 31 2012 年高考 陕西理 设函数 ln 0 21 0 xx f x xx D是由 x轴和曲线 yf x 及该曲线在点 1 0 处的切线所围成的封闭区域 则2zxy 在D上的最大值为 x y 1 1 用心 爱心 专心14 解析 1 0 2 0 x yfxx x 1 1 f 曲线 yf x 及该曲线在点 1 0 处的切线方程 为1yx 围成的封闭区域为三角形 2zxy 在点 0 1 处取得最大值 2 32 2012 年高考 江苏 已知正数a b c 满足 4ln53lnbcaacccacb 则 b a 的取值范围是 设 ab xy cc 则题目转化为 已知xy 满足 35 4 00 x xy xy ye x y 求 y x 的取值范围 作出 xy 所在平面区域 如图 求出 x y e的切 线的斜率e 设过切点 00 P xy 的切线为 0y exm m 则 00 000 yexmm e xxx 要 使它最小 须 0m y x 的最小值在 00 P xy 处 为e 此时 点 00 P xy 在 x y e上 A B之间 当 xy 对应点C 时 45 205 7 7 534 2012 yxyxy yx yxyxx y x 的最大值在C处 为 7 y x 的取 值范围为 7e 即 b a 的取值范围是 7e 33 2012 年高考 江苏 已知函数 2 f xxaxb a b R 的值域为 0 若关于 x 的不等式 f xc 的解集为 6 mm 则实数 c 的值为 用心 爱心 专心15 解析 由值域为 0 当 2 0 xaxb 时有 2 40ab V 即 2 4 a b 2 2 22 42 aa f xxaxbxaxx 2 2 a f xxc 解得 2 a cxc 22 aa cxc 不等式 f xc 的解集为 6 mm 26 22 aa ccc 解得9c 34 2012 年高考 大纲理 若 x y满足约束条件 10 30 330 xy xy xy 则3zxy 的最小值 为 解析 做出不等式所表示的区域如图 由yxz 3得zxy 3 平移直线xy3 由图象可知当直线经过点 1 0 C时 直线zxy 3的截距最 大 此时z最小 最小值为1 3 yxz 35 2012 年高考 安徽理 若 x y满足约束条件 0 23 23 x xy xy 则 xy 的取值范围为 解析 约束条件对应ABC 边际及内的区域 3 0 3 0 1 1 2 ABC 则 3 0 txy 1111 年高考试题及解析年高考试题及解析 1 陕西文 3 设0ab 则下列不等式中正确的是 A 2 ab abab B 2 ab aabb C 2 ab aabb D 2 ab abab 答案 B 解析 0ab aba aaabb bb 22 bbab b 用心 爱心 专心16 又 2 ab ab 所以 2 ab aabb 故选 B 2 陕西理 若关于 x 的不等式12axx 存在实数解 则实数a的取值范围是 3 广东文 5 5 不等式 不等式 2 210 xx 的解集是 的解集是 A A 1 1 2 B B 1 C C 1 2 D D 1 1 2 解析解析 D D 由题得由题得 2 1 10 1 12 012 2 xxxxxx或 所以选所以选 D D 4 广东理 9 9 不等式不等式130 xx 的解集是的解集是 解析解析 由题得由题得1 3 1 3 1 22 xxxxx 所以不等式的解集为所以不等式的解集为 1 xx 5 山东理 4 不等式1035 xx的解集为 A 7 5 B 6 4 C 75 D 64 6 江西文 15 对于xR 不等式1028xx 的解集为 解析 两种方法 方法一 分三段 当 x2 时 x 10 x 28 x 2 0 x 综上 方法二 用绝对值的几何意义 可以看成到两点 10 和 2 的距离差大于等于 8 的所有点的 集合 画出数轴线 找到 0 到 10 的距离为 1 d10 到 2 的距离为 2 d2 8 21 dd 用心 爱心 专心17 并当 x 往右移动 距离差会大于 8 所以满足条件的 x 的范围是0 x 7 湖南理 设Ryx 且0 xy 则 2 22 2 4 11 y xy x 的最小值为 8 重庆文 7 若函数 f x 1 2 x x 2 n 在xa 处取最小值 则a A 12 B 13 C 3 D 4 命题意图 本题考查利用均值不等式求最值 考查学生转化与化归能力 运运算求解 能力 是中档题 解析 x 2 f x 1 2 x x 1 22 2 x x 1 222 2 x x 4 当且仅当 1 2 2 x x 即x 3 时 即a 3 min fx 4 故选 C 9 重庆文 15 若实数 222 2222 aba babca b c a b cc 满足则的最大值是 命题意图 本题考查基本不等式的应用 指数 对数等相关知识 考查了转化与化归 思想 是难题 解析 2a b 22 ab 2 2a b 2a b 4 又 222 abc 2a b c 22 a bc 22 a bc 2 21 c c 2a b 4 即 2 21 c c 4 即 43 2 21 c c 0 2c 4 3 c 2 4 log 3 2 2log 3 c的最大值为 2 2log 3 答 案 2 2log 3 10 重庆理 7 已知 a 0 b 0 a b 2 则 14 y ab 的最小值是 A 7 2 B 4 C 9 2 D 5 解析 选 C 因为 a b 2 所以 141414149 1452 2222 abbaba y abababa b A 用心 爱心 专心18 11 上海文 16 理 15 若 a bR 且0ab 则下列不等式中 恒成立的是 A 22 2abab B 2abab C 112 abab D 2 ba ab 12 浙江文 16 若实数 x y满足 22 1xyxy 则xy 的最大值是 解析 22222 1 1 1 2 xy xyxyxyxyxy 2 3 3 xy 13 浙江理 16 设 x y为实数 若 22 41 xyxy 则2xy 的最大值是 解析 22 4431xyxyxy 2222 3325 1 2 2 2 2 2228 xy xyxyxyxy 2 10 2 5 xy 故2xy 的最大值为 2 10 5 14 湖北文 8 直线与不等式组 0 0 2 4320 x y xy xy 表示平面区域的公共点 有 A 0 个 B 1 个 C 2 个D 无数个 解析 画出可行域 如图示 可得 B 0 2 A 2 4 C 5 0 D 0 20 3 E 0 10 故由图知有唯一交点 所以选 B 15 安徽文 6 设变量 x y 满足 xy1 xy1 x 则xy 的最大值和最小值分别为 A 1 1 B 2 2 C 1 2 D 2 1 用心 爱心 专心19 求出代入计算即可 16 山东文7 设变量 x y 满足约束条件 250 20 0 xy xy x 则目标函 数231zxy 的最大值为 A 11 B 10 C 9 D 8 5 答案 B 解析 画出平面区域表示的可行域如图所示 当直线231zxy 平移至点 A 3 1 时 目标函数231zxy 取得最大值为 10 故选 B 17 课标卷文 14 理 13 若变量yx 满足约束条 件 96 923 yx yx 则yxz2 的最小值为 解析 如图可知最优解是 4 5 所以 6 5 24 min z 点评 本题考查线性规划问题 求最优解事先要准确 画出线性区域是关键 18 全国文 4 若变量 x y 满足约束条件 6 32 1 xy xy x 则23zxy 的最小值为 A 17 B 14 C 5 D 3 6 yx y 9 yx 92 yx 32 yx ox 5 4 A 第 13 题图 用心 爱心 专心20 19 浙江文 3 若实数xy 满足不等式组 250 270 0 0 xy xy xy 则3xy 4的最小值是 A 13 B 15 C 20 D 28 解析 作出可行域 2503 2701 xyx xyy 由得 min 3 34 113zA 故选 20 天津文 2 2 设变量设变量 x y满足约束条件满足约束条件 1 40 340 x xy xy 则目标函数则目标函数3zxy 的最大的最大 值为值为 A 4A 4 B 0B 0 C C 4 3 D 4D 4 答案 D 解析 画出不等式表示的平面区域 容易求出最大值为 4 选 D 21 陕西文 11 如图 点 x y在四边形 ABCD 内部和边界上运动 那么2xy 的最小 值为 解析 令 20lxy 2 31 AB k 1 51 DC k 所以l过 1 1 C时在轴上截距最 大 即1 1xy 时2xy 有最小值为2 1 11 22 广东文 6 6 理 5 5 已知平面直角坐标系已知平面直角坐标系 xOy 上的区域上的区域D由不等式组由不等式组 02 2 2 x y xy 给给 定 若定 若 M x y 为为D上的动点 点上的动点 点A的坐标为的坐标为 2 1 则 则z OM OA 的最大值为 的最大值为 A A 3 3B B 4 4C C 3 2D D 4 2 用心 爱心 专心21 23 浙江理 5 设实数 x y满足不等式组 250 270 0 xy xy x y0 若 x y为整数 则34xy 的 最小值是 A 14 B 16 C 17 D 19 解析 作出可行域 503 2701 xyx xyy 由得 x y为整数 所以4 1xy min 3 44 116z 故选B 24 湖南文 14 设1 m 在约束条件 1 yx ymx xy 下 目标函数5zxy 的最大值为 4 则m的值为 25 湖南理 7 设 1 m在约束条件 1yx mxy xy 下 目标函数myxz 的最大值小于 2 则m的取值范围为 A 21 1 B 21 C 3 1 D 3 用心 爱心 专心22 26 湖北理 8 已知向量 3 2 axzbyz 且ab 若 x y满足不等式1xy 则 z 的取值范围为 A 2 2 B 2 3 C 3 2 D 3 3 解析 因为ab 故0a b 即2 3 0 xzyz 可得 23zxy 又因为 1xy 其图像为四条直线 1 1 1 1xyxyxyxy 所围成的正方形面 由线性 规划可计算得当0 1xy 时 33zxy 取到 max 3z 当 0 1xy 取到 min 3z 所以选 D 27 福建理 设不等式11 x2 的解集为 M I 求集合 M II 若 a b M 试比较 ab 1 与 a b 的大小 28 安徽理 设变量 x y满足1 xy 则2xy 的最大值和最小值分别为 用心 爱心 专心23 命题意图 本题考查线性规划问题 属容易题 解析 不等式1xy 对应的区域如图所示 当目标函数过点 0 1 0 1 时 分别取最小或最大值 所以2xy 的最大值和最小值分别为 2 2 故选 B 29 江西理 对于实数xy 若11 21 21xyxy 则的最大值为 答案 5 解析 画出图象 很容易得出答案 30 四川理 9 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人 有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡 车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车 某天需运往A地至少 72 吨的货物 派用的每辆车虚满 载且只运送一次 拍用的每吨甲型卡车虚配 2 名工人 运送一次可得利润 450 元 派用的每 辆乙型卡车虚配 1 名工人 运送一次可得利润 350 元 该公司合理计划党团派用两类卡车的 车辆数 可得最大利润 A 4650 元 B 4700 元 C 4900 元 D 5000 元 解析 设当天派出 x 辆甲卡车和 y 辆乙卡车 获得的利润是450350zxy x 和 y 需要 满足的条件是 80 70 12 219 10672 xy xyxy xyx yN 当 8 3 x y 时 max 450 8350 34650z 当 7 5 x y 时 max 450 7350 54900z 当 6 6 x y 时 max 450 6350 64800z 越往下的临界值越小 故选 C 31 江苏 解不等式 解不等式 21 3xx 32 辽宁文 理 已知函数 f x x 2 x 5 I 证明 3 f x 3 II 求不等式 f x x2 8x 15 的解集 用心 爱心 专心24 33 安徽理安徽理 19 本小题满分 12 分 设1 1 xy 证明 111 xyxy xyxy 1abc 证明loglogloglogloglog abcbca bcaabc 命题意图 本题考查不等式的基本性质 对数函数的性质和对数换底公式等基本知识 考查代数式恒定变形能力和推理论证能力 证明 由于1 1xy 所以要证明 111 xyxy xyxy 只要证明 2 1 xy xyyxxy 只要证明 2 1 0 xyxyxy xy 只要证明 1 1 0 xyxyxy 只要证明 1 1 1 0 xyxy 由于1 1xy 上式显然成立 所以原命题成立 设logabx logbcy 由换底公式得 log1 log log b c b a a cxy 1 logba x 用心 爱心 专心25 20102010 年高考试题及解析年高考试题及解析 一 选择题一 选择题 1 20102010 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 1010 设变量 x y 满足约束条 件 2 5100 80 xyo xy xy 则目标函数 z 3x 4y 的最大值和最 小值分别为 A 3 11 B 3 11 C 11 3 D 11 3 答案 A 解析 画出平面区域如图所示 可知当直线z 3x 4y平移到点 5 3 时 目标函数 z 3x 4y取得最大值 3 当直线z 3x 4y平移到点 3 5 时 目标函数z 3x 4y取得最小值 11 故选 A 命题意图 本题考查不等式中的线性规划知识 画出平面区域与正确理解目标函数 z 3x 4y的几何意义是解答好本题的关键 2 20102010 年高考全国卷年高考全国卷 I I 理科理科 3 3 若变量 x y满足约束条件 1 0 20 y xy xy 则 2zxy 的最大值为 A 4 B 3 C 2 D 1 2 B 命题意图 本小题主要考查线性规划知识 作图 识图能力及计算能力 解析 画出可行域 如右图 由图可知 当直线l经过点 A 1 1 时 z 最大 且最大值为 0 xy 1 O yx y 20 xy x A 0 20lxy L0 2 2 A 用心 爱心 专心26 max 1 2 1 3z 3 20102010 福建理福建理 8 8 设不等式组 x1 x 2y 30 yx 所表示的平面区域是 1 平面区域是 2 与 1 关于直线3490 xy 对称 对于 1 中的任意一点 A 与 2 中的任意一点 B AB的最 小值等于 A 28 5 B 4 C 12 5 D 2 命题意图 本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解 基本公式 点到直线的距离公式等 的应用 考查了转化与化归能力 4 2010 2010 天津理天津理 8 8 设函数 f x 2 1 2 log log x x 0 0 x x 若 f a f a 则实数 a 的取值范围 是 A 1 0 0 1 B 1 1 C 1 0 1 D 1 0 1 答案 C 解析 当0a 时 由 f a f a 得 21 2 loglog aa 即 22 1 loglog a a 即 1 a a 解得1a 当0a 时 由 f a f a 得 1 2 log a 2 loga 即 2 1 log a 用心 爱心 专心27 2 loga 即 1 a a 解得10a 故选 C 命题意图 本小题考查函数求值 不等式求解 对数函数的单调性等基础知识 考查同 学们分类讨论的数学思想 5 2010 2010 天津理天津理 9 9 设集合 A 1 xxaxR B 2 xxbxR 若 AB 则实数 a b必满足 A 3ab B 3ab C 3ab D 3ab 答案 D 解析 由题意可得 11Ax axa 对集合 B 有 2xb 或2xb 因 为AB 所以有21ba 或21ba 解得3ab 或3ab 即 3ab 选 D 命题意图 本小题考查绝对值不等式的解法 集合之间的关系等基础知识 考查同学们 数形结合的数学思想 6 20102010 广东理广东理 5 5 1 4 m 是 一元二次方程 2 0 xxm 有实数解的 A 充分非必要条件 B 充分必要条件 C 必要非充分条件 D 非充分必要条件 7 20102010 四川理四川理 7 7 某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品 由乙车间加工出 B 产品 甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品 每千克 A 产品获利 40 元 乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品 每千克 B 产品获利 50 元 甲 乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工 每天甲 乙两车间耗费工时总和不得超 过 480 小时 甲 乙两车间每天总获利最大的生产计划为w A 甲车间加工原料 10 箱 乙车间加工原料 60 箱 B 甲车间加工原料 15 箱 乙车间加工原料 55 箱 C 甲车间加工原料 18 箱 乙车间加工原料 50 箱 D 甲车间加工原料 40 箱 乙车间加工原料 30 箱 解析 设甲车间加工原料 x 箱 乙车间加工原料 y 箱 则 70 106480 xy xy x yN 目标函数 z 280 x 300y 结合图象可得 当 x 15 y 55 时 z 最大本题也可以将答案逐项代入检验 答案 B y 0 x7 0 4 8 8 07 0 15 55 用心 爱心 专心28 8 20102010 四川理四川理 1212 设0abc 则 22 11 21025 aacc aba ab 的最小值是 A 2 B 4 C 2 5 D 5 解析 22 11 21025 aacc aba ab 22 11 5 acaabab aba ab 2 11 5 acaba ab aba ab 0 2 2 4 当且仅当 a 5c 0 ab 1 a a b 1 时等号成立如取 a 2 b 2 2 c 2 5 满足条件 答案 B 9 2010 2010 宁夏宁夏 1 1 已知集合 2 AxxR 4 BxxxZ 则AB A 0 2 B 0 2 C 0 2 D 0 1 2 答案 D 解析解析 由已知得 22 0 1 16 AxxB 所以 0 1 2 AB 10 2010 2010 宁夏宁夏 8 8 设偶函数 f x满足 3 8 0 f xxx 则 2 0 x f x A 24 x xx 或 B 04 x xx 或 C 06 x xx 或 D 22 x xx 或 11 20102010 北京理北京理 7 7 设不等式组 110 330 530 xy xy xy9 表示的平面区域为 D 若指数函数 y x a的图像上存在区域 D 上的点 则 a 的取值范围是 A 1 3 B 2 3 C 1 2 D 3 答案 A 解析 这是一道略微灵活的线性规划问题 作出区域 D 的图象 联系指数函数 x ya 的图 象 能够看出 当图象经过区域的边界点 2 9 时 a 可以取到最大值 3 而显然只要 a 用心 爱心 专心29 大于 1 图象必然经过区域内的点 12 20102010 江西理江西理 3 3 不等式 22xx xx 的解集是 A 0 2 B 0 C 2 D 0 0 13 20102010 浙江浙江 7 7 若实数yx 满足不等式组 330 230 10 xy xy xmy 且yx 的最大值为 9 则 实数 m n A 2 B 1 C 1 D 2 答案 C 14 2010 全国全国 2 理理 3 若变量 x y满足约束条件 1 325 x yx xy 则2zxy 的最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 命题意图 本试题主要考查简单的线性规划问题 解析 可行域是由A 1 1 B 1 4 C 1 1 构成的三角形 可知目标函数过 C 时最大 最大值为 3 故选 C 15 2010 全国全国 2 理理 5 不等式 2 6 0 1 xx x 的解集为 A 2 3x xx 或 B 213x xx 或 C 213xxx 或 D 2113xxx 或 16 20102010 上海理上海理 1818 某人要制作一个三角形 要求它的三条高的长度分别为 11 1 13 11 5 则此人能 A 不能作出这样的三角形 B 作出一个锐角三角形 C 作出一个直角三角形 D 作 出一个钝角三角形 答案 D 用心 爱心 专心30 17 2010 2010 年高考重庆市理科年高考重庆市理科 4 4 设变量 x y 满足约束条件 0 10 30 y xy xy 则 z 2x y 的最 大值为 A 2 B 4 C 6 D 8 答案 C 解析 不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点 B 3 0 的时候 z 取得最大值 6 18 2010 2010 重庆理重庆理 7 7 已知0 x 0y 228xyxy 则2xy 的最小值是 A 3 B 4 C 9 2 D 11 2 答案 B 解析 考察均值不等式 2 2 2 8 2 82 yx yxyx 整理得 032242 2 yxyx 即 08242 yxyx 又02 yx 42 yx 19 20102010 年上海市春季高考年上海市春季高考 16 16 答案 B 解析 由 121212 1 1 1 0MNa aaaaa 故MN 选 B 二 填空题 二 填空题 1 20102010 山东理山东理 1414 若对任意0 x 2 31 x a xx 恒成立 则a的取值范围是 答案 1 a 5 解析 因为x 0 所以 1 x 2 x 当且仅当x 1时取等号 所以有 2 x111 1 x 3x 12 35 x 3 x 即 2 x x 3x 1 的最大值为 1 5 故 1 a 5 命题意图 本题考查了分式不等式恒成立问题以及参数问题的求解 考查了同学们的转 化能力 属中档题 2 20102010 全国全国 I I 理理 1313 不等式 2 211xx 的解集是 用心 爱心 专心31 2 0 2 命题意图 本小题主要考查根式不等式的解法 利用平方去掉根号是解根式不 等式的基本思路 也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致 解析 原不等式等价于 22 21 1 10 xx x 解得 0 x 2 3 2010 2010 天津理天津理 16 16 设函数 2 1f xx 对任意 3 2 x 2 4 1 4 x fm f xf xf m m 恒成立 则实数 m 的取值范围是 4 2010 2010 湖北理湖北理 1212 己知2zxy 式中变量 x y满足约束条件 1 2 yx xy x 则z的最大值 为 答案 5 解析 依题意 画出可行域 如图示 则对于目标函数 y 2x z 当直线经过 A 2 1 时 z 取到最大值 max 5Z 5 2010 2010 湖北理湖北理 1515 设00ab 称 2ab ab 为 a b 的调和平均数 如图 C 为线殴 AB 上的点 且 AC a CB b O 为 AB 中点 以 AB 为直径作半圆 过点 C 作 OD 的垂线 垂足 为 E 连结 OD AD BD 过点 C 作 OD 的垂线 垂足为 E 则图中线段 OD 的长度是 a b 的算术平均数 线段 的长度是 a b 的几何平均数 线段 的 长度是 a b 的调和平均数 答案 CD CE 解析 在 Rt ADB 中 DC 为高 则由射影定理可得 2 CDAC CB 故 CDab 即 CD 长度为 a b 的几何平均数 将 OC 用心 爱心 专心32 222 ababab aCDabOD 代入OD CEOC CD 可得 ab CEab ab 故 2 22 2 ab OEOCCE ab 所以 ED OD OE 2ab ab 故 DE 的长度为 a b 的调和平均数 6 2010 2010 安徽理安徽理 13 13 设 x y满足约束条件 220 840 0 0 xy xy xy 若目标函数 0 0zabxy ab 的最大值为 8 则ab 的最小值为 规律总结 线性规划问题首先作出可行域 若为封闭区域 即几条直线围成的区域 则 区域端点的值是目标函数取得最大或最小值 求出直线交点坐标代入得4ab 要想求 ab 的最小值 显然要利用基本不等式 7 20102010 江苏江苏 1212 设实数 x y 满足 3 2 xy 8 4 y x2 9 则 4 3 y x 的最大值是 8 20102010 陕西理陕西理 1414 铁矿石A和B的含铁率a 冶炼每万吨铁矿石的 2 CO的排放量b及每 万吨铁矿石的价格c如下表 ab 万吨 c 百万元 A50 13 B70 0 56 某冶炼厂至少要生产 1 9 万吨 铁 若要求 2 CO的排放量不超过2 万吨 则购买铁矿石的 最少费用为 百万元 答案 15 用心 爱心 专心33 解析解析 设铁矿石A购买了x万吨 铁矿石B购买了y万吨 购买铁矿石的费用为z百万 元 则由题设知 本题即求实数yx 满足约束条件 0 0 25 0 9 1 70 50 y x yx yx 即 0 0 42 1975 y x yx yx 时 yxz63 的最小值 作不等式组 对应的平面区域 如图阴影部分所示 现让直线yxz63 即 zxy 6 1 2 1 平移分析即知 当直线经过点P时 z取得最小值 又解方程组 42 1975 yx yx 得点P坐标为 2 1 故152613 min z 9 20102010 辽宁理辽宁理 1414 已知14xy 且23xy 则23zxy 的取值范围是 答案用区间表示 10 20102010 上海理上海理 1 1 不等式 2 0 4 x x 的解集是 答案 4 2 解析 原不等式等价于 4 2 0 xx 解得42x 故原不等式的解集为 x y O2 4 P 7 19 5 19 用心 爱心 专心34 4 2 三 解答题 三 解答题 1 20102010 广东理广东理 1919 本小题满分 12 分 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐 已知 一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C 一个单 位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C 另外 该儿 童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的 维生素 C 如果一个单位的午餐 晚餐的费用分别是 2 5 元和 4 元 那么要满足上述的营养 要求 并且花费最少 应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐 2 20102010 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 2121 设 11 A x y 22 B xy是平面直角坐标系xOy上的两点 现定义由点A到点B的一种折线距离 A B 为 2121 A Bxxyy 对于平面 xOy上给定的不同的两点 11 A x y 22 B xy 1 若点 C x y是平面xOy上的点 试证明 A CC BA