2012高中数学 第七章 圆的标准方程教学案 苏教版

用心 爱心 专心1 圆的标准方程圆的标准方程 一 教学目标 一 知识教学点 使学生掌握圆的标准方程的特点 能根据所给有关圆心 半径的具体条件准确地写出 圆的标准方程 能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径 解决一些简单的实际问题 并会推导圆的标准方程 二 能力训练点 通过圆的标准方程的推导 培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题 的能力 三 学科渗透点 圆基于初中的知识 同时又是初中的知识的加深 使学生懂得知识的连续性 通过圆 的标准方程 可解决一些如圆拱桥的实际问题 说明理论既来源于实践 又服务于实践 可以适时进行辩证唯物主义思想教育 二 教材分析 1 重点 1 圆的标准方程的推导步骤 2 根据具体条件正确写出圆的标准方程 解决办法 1 通过设问 消除难点 并详细讲解 2 多多练习 讲解 2 难点 运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题 解决办法 使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意 再建立适当的直角坐标 系 使圆的标准方程形式简单 最后解决实际问题 三 活动设计 问答 讲授 设问 演板 重点讲解 归纳小结 阅读 四 教学过程 一 复习提问 前面 大家学习了圆的概念 哪一位同学来回答 问题 1 具有什么性质的点的轨迹称为圆 用心 爱心 专心2 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 教师在黑板上画一个圆 问题 2 图 2 9 中哪个点是定点 哪个点是动点 动点具有什么性质 圆心和半径都 反映了圆的什么特点 圆心 C 是定点 圆周上的点 M 是动点 它们到圆心距离等于定长 MC r 圆心和半径 分别确定了圆的位置和大小 问题 3 求曲线的方程的一般步骤是什么 其中哪几个步骤必不可少 求曲线方程的一般步骤为 1 建立适当的直角坐标系 用 x y 表示曲线上任意点 M 的坐标 简称建系设点 图 2 9 2 写出适合条件 P 的点 M 的集合 P M P M 简称写点集 3 用坐标表示条件 P M 列出方程 f x y 0 简称列方程 4 化方程 f x y 0 为最简形式 简称化简方程 5 证明化简后的方程就是所求曲线的方程 简称证明 其中步骤 1 3 4 必不可少 下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程 用心 爱心 专心3 二 建立圆的标准方程 1 建系设点 由学生在黑板上画出直角坐标系 并问有无不同建立坐标系的方法 教师指出 这两 种建立坐标系的方法都对 原点在圆心这是特殊情况 现在仅就一般情况推导 因为 C 是 定点 可设 C a b 半径 r 且设圆上任一点 M 坐标为 x y 2 写点集 根据定义 圆就是集合 P M MC r 3 列方程 由两点间的距离公式得 4 化简方程 将上式两边平方得 x a 2 y b 2 r2 1 方程 1 就是圆心是 C a b 半径是 r 的圆的方程 我们把它叫做圆的标准方程 这时 请大家思考下面一个问题 问题 5 圆的方程形式有什么特点 当圆心在原点时 圆的方程是什么 这是二元二次方程 展开后没有 xy 项 括号内变数 x y 的系数都是 1 点 a b r 分别表示圆心的坐标和圆的半径 当圆心在原点即 C 0 0 时 方程为 x2 y2 r2 教师指出 圆心和半径分别确定了圆的位置和大小 从而确定了圆 所以 只要 a b r 三个量确定了且 r 0 圆的方程就给定了 这就是说要确定圆的方程 必须具备 三个独立的条件 注意 确定 a b r 可以根据条件 利用待定系数法来解决 三 圆的标准方程的应用 例 1 写出下列各圆的方程 请四位同学演板 1 圆心在原点 半径是 3 用心 爱心 专心4 3 经过点 P 5 1 圆心在点 C 8 3 4 圆心在点 C 1 3 并且和直线 3x 4y 7 0 相切 教师纠错 分别给出正确答案 1 x2 y2 9 2 x 3 2 y 4 2 5 指出 要求能够用圆心坐标 半径长熟练地写出圆的标准方程 例 2 说出下列圆的圆心和半径 学生回答 1 x 3 2 y 2 2 5 2 x 4 2 y 3 2 7 3 x 2 2 y2 4 教师指出 已知圆的标准方程 要能够熟练地求出它的圆心和半径 例 3 1 已知两点 P1 4 9 和 P2 6 3 求以 P1P2 为直径的圆的方程 2 试判断 点 M 6 9 N 3 3 Q 5 3 是在圆上 在圆内 还是在圆外 解 1 分析一 从确定圆的条件考虑 需要求圆心和半径 可用待定系数解决 解法一 学生口答 设圆心 C a b 半径 r 则由 C 为 P1P2 的中点得 又由两点间的距离公式得 所求圆的方程为 用心 爱心 专心5 x 5 2 y 6 2 10 分析二 从图形上动点 P 性质考虑 用求曲线方程的一般方法解决 解法二 给出板书 直径上的四周角是直角 对于圆上任一点 P x y 有 PP1 PP2 化简得 x2 y2 10 x 12y 51 0 即 x 5 2 y 6 2 10 为所求圆的方程 解 2 学生阅读课本 分别计算点到圆心的距离 因此 点 M 在圆上 点 N 在圆外 点 Q 在圆内 这时 教师小结本题 1 求圆的方程的方法 1 待定系数法 确定 a b r 2 轨迹法 求曲线方程的一般方法 2 点与圆的位置关系 用心 爱心 专心6 设点到圆心的距离为 d 圆半径为 r 1 点在圆上 d r 2 点在圆外 d r 3 点在圆内 d r 3 以 A x1 y1 B x2 y2 为直径端点的圆的方程为 x x1 x x2 y y1 y y2 0 证明留作作业 例 4 图 2 10 是某圆拱桥的 孔圆拱的示意图 该圆拱跨度 AB 20m 拱高 OP 4m 在建造时每隔 4m 需用一个支柱支撑 求支柱 A2P2 的长度 精确到 0 01m 此例由学生阅读课本 教师巡视并做如下提示 1 先要建立适当直角坐标系 使圆的标准方程形式简单 便于计算 2 用待定系数法求圆的标准方程 3 要注意 P2 的横坐标 x 2 0 纵坐标 y 0 所以 A2P2 的长度只有一解 四 本课小结 1 圆的方程的推导步骤 2 圆的方程的特点 点 a b r 分别表示圆心坐标和圆的半径 3 求圆的方程的两种方法 1 待定系数法 2 轨迹法 五 布置作业 1 求下列条件所决定的圆的方程 1 圆心为 C 3 5 并且与直线 x 7y 2 0 相切 2 过点 A 3 2 圆心在直线 y 2x 上 且与直线 y 2x 5 相切 用心 爱心 专心7 2 已知 一个圆的直径端点是 A x1 y1 B x2 y2 证明 圆的方程是 x x1 x x2 y y1 y y2 0 3 一个等腰三角形底边上的高等于 5 底边两端点的坐标是 4 0 和 4 0 求它 的外接圆的方程 4 赵州桥的跨度是 37 4m 圆拱高约为 7 2m 求这座圆拱桥的拱圆的方程 作业答案 1 1 x 3 2 y 5 2 32 2 因为直径的端点为 A x1 y1 B x2