2012年高考数学 备考冲刺之易错点点睛系列 专题05 概率与统计(文科）（教师版）

用心 爱心 专心1 概率与统计概率与统计 一 高考预测一 高考预测 计数原理 概率统计部分是高中数学中使用课时最多的一个知识板块 高考对该部分 的考查分值也较多 从近几年的情况看 该部分考查的主要问题是排列组合应用问题 二 项式定理及其简单应用 随机抽样 样本估计总体 线性回归分析 独立性检验 古典概 型 几何概型 事件的独立性 随机变量的分布 期望和方差 正态分布的简单应用 在 试卷中一般是 2 3 个选择题 填空题 一个解答题 试题难度中等或者稍易 预计 2012 年该部分的基本考查方向还是这样 虽然可能出现一些适度创新 但考查的基本点不会发 生大的变化 计数原理 概率统计部分的复习要从整体上 从知识的相互关系上进行 概 率试题的核心是概率计算 其中事件之间的互斥 对立和独立性是概率计算的核心 排列 组合是进行概率计算的工具 在复习概率时要抓住概率计算的核心和这个工具 统计问题 的核心是样本数据的分布 反映样本数据的方法 样本频数表 样本频率分布表 频率分 布直方图 频率折线图 茎叶图 得到样本数据的方法是随机抽样 在复习统计部分时 要紧紧抓住这些图表和方法 把图表的含义弄清楚 这样剩下的问题就是有关的计算和对 统计思想的理解 如样本均值和方差的计算 用样本估计总体等 二 知识导学二 知识导学 3 对立事件是互斥事件的一种特殊情况 是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个 用心 爱心 专心2 事件 集合A的对立事件记作A 从集合的角度来看 事件A所含结果的集合正是全集U 中由事件A所含结果组成集合的补集 即A A U A A 对立事件一定是互斥事件 但互斥事件不一定是对立事件 要点 1 求等可能性事件 互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识 4 解决概率问题要注意解决概率问题要注意 四个步骤 一个结合四个步骤 一个结合 求概率的步骤是 第一步 确定 事件性质即所给的问题归结为四类事件中的某一种 第二步 判断事 等可能事件 互斥事件 独立事件 n次独立重复试验 件的运算即是至少有一个发生 还是同时发生 分别运用相加或相乘事件 第三 和事件 积事件 用心 爱心 专心3 步 运用公式求解第四步 答 即给提出的问题 1 kkn k nn m P A n P ABP AP B P A BP AP B P kC pp 等可能事件 互斥事件 独立事件 n次独立重复试验 有一个明确的答复 要点 2 2 抽抽样样方方法法与与总总体体分分布布的的估估计计 抽抽样样方方法法 要点 3 3 正正态态分分布布与与线线性性回回归归 1 1 正正态态分分布布的的概概念念及及主主要要性性质质 1 正态分布的概念如果连续型随机变量 的概率密度函数为 x 2 2 2 1 2 x f xe 其中 为常数 并且 0 则称服从正态分布 记为 R N 2 2 期望E 方差 2 D 3 正态分布的性质正态曲线具有下列性质 曲线在x 轴上方 并且关于直线x 对称 曲线在x 时处于最高点 由这一点向左右两边延伸时 曲线逐渐降低 曲线的对 称轴位置由 确定 曲线的形状由确定 越大 曲线越 矮胖 反之越 高瘦 用心 爱心 专心4 4 标准正态分布 当 0 1 时 服从标准的正态分布 记作 0 1 N 5 两个重要的公式 1 xx P abba 6 与二者联系 若 则 2 N 0 1 N 2 N 0 1 N 若 则 2 N ba P ab 三 易错点点睛三 易错点点睛 一 概念理解不清致错一 概念理解不清致错 错误解法 2 事件 A 朝上一面的点数为 1 3 5 事件 B 朝上一面的点数为 1 2 3 即以 A B 事件中重复的点数 1 3 P A B P A P B P A B 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 用心 爱心 专心5 错因分析 A B 事件中重复点数为 1 3 所以 P A B 这种错误解法在于简 6 2 单地类比应用容斥原理致错 BACardBCardACardBACard 正确解答 P A B P A P B P A B 3 2 6 2 2 1 2 1 正解 前 4 项的取值分为两种情形 4 3 2 1 0 iSi 若 1 3 项为 1 则余下 6 项中 3 项为 1 另 3 项为 1 即可 即 83 61 2 1 CP 若 1 2 项为正 为避免与第 类重复 则第 3 项必为 1 则后 5 项中只须 3 项为 1 余下 2 项为 1 即 83 52 2 1 CP 所求事件的概率为 7 83 5 3 6 2 15 2 1 CCP 二 有序与无序不分致错二 有序与无序不分致错 例 3 甲 乙两人参加普法知识竞赛 共有 10 个不同的题目 其中选择题 6 个 判断 题 4 个 甲 乙依次各抽一题 求 1 甲抽到选择题 乙提到判断题的概率是多少 2 甲 乙两人中至少有 1 人抽到选择题的概率是多少 错误解法 1 甲从选择题抽到一题的结果为乙从判断题中抽到一题的结果为 1 6 C 1 4 C 用心 爱心 专心6 而甲 乙依次抽到一题的结果为 所求概率为 2 10 C 15 8 2 10 1 4 1 6 C CC 错因分析 甲 乙依次从 10 个题目各抽一题的结果 应当是先选后排 所以应为 2 10 A 为避免错误 对于基本事件总数也可这样做 甲抽取一道题目的结果应为种 乙再抽 1 10 C 取余下的 9 道题中的任一道的结果应为种 所以正确解答 1 9 C 15 4 1 9 1 10 1 4 1 6 CC CC 例 4 已知 8 支球队中有 3 支弱队 以抽签方式将这 8 支球队分为 A B 两组 每组 4 支 求 A B 两组中有一组恰有两支弱队的概率 错解 1 将 8 支球队均分为 A B 两组 共有种方法 A B 两组中有一组恰有两 4 4 4 8C C 支弱队的分法为 先从 3 支弱队取 2 支弱队 又从 5 支强队取 2 支强队 组成这一组共有 种方法 其它球队分在另一组 只有一种分法 所求事件的概率为 2 3 2 5C C 7 3 4 4 4 8 2 2 2 5 CC CC 错因分析 从基本事件的结果数来看 分组是讲求顺序的 那么指定事件 A B 组 中有一组有 2 支弱队 应分为两种情形 即 A 组有 或 B 组有 所以正确解答为 用心 爱心 专心7 正解 或 7 62 4 4 4 8 2 2 2 5 CC CC 7 6 2 2 4 4 4 8 2 2 2 5 ACC CC 说明 这道题也可从对立事件求解 3 支弱队分法同一组共有 种结果 1 5 1 5 CC 所求事件概率为 7 6 1 4 4 4 8 1 5 1 5 CC CC 三 分步与分类不清致错三 分步与分类不清致错 例 5 某人有 5 把不同的钥匙 逐把地试开某房门锁 试问他恰在第 3 次打开房门的 概率 错误解法 由于此人第一次开房门的概率为 若第一次未开 第 2 次能打开房门的 5 1 概率应为 所以此人第 3 次打开房门的概率为 4 1 3 1 例 5 某种射击比赛的规则是 开始时在距目标 100m 处射击 若命中记 3 分 同时停 止射击 若第一次未命中 进行第二次射击 但目标已在 150m 远处 这时命中记 2 分 同 时停止射击 若第 2 次仍未命中 还可以进行第 3 次射击 此时目标已在 200m 远处 若第 3 次命中则记 1 分 同时停止射击 若前 3 次都未命中 则记 0 分 已知身手甲在 100m 处 击中目标的概率为 他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比 且各次射击都是独 2 1 用心 爱心 专心8 立的 求 射手甲得 k 分的概率为 Pk 求 P3 P2 P1 P0的值 四 考虑不周致错四 考虑不周致错 例 6 某运动员射击一次所得环数的分布列如下 x x 78910 P0 20 20 20 2 现进行两次射击 以该运动员两次射击中最高的环数作为他的成绩记为 求 的 分布列 例 7 将 n 个球等可能地放入到 N n n 个有编号的盒子中 盒子中容纳球的个数不 限 求 A 某指定的 n 个盒子中恰有一球的概率 错误解法 将 n 个球等可能地放入到 N 个盒子中 共有 Nn种方法 而指定的 n 个盆中各有一球的放法有 n 种 则所求概率 m N n AP 错因分析 这种解法不全面 如果球是有编号的 则答案是对的 若球是不可辨认的 用心 爱心 专心9 则答案错了 若球是不可辨认的 则若考虑盒子中球的个数而不考虑放的是哪几个球 为 此 我们用 表示一个盒子 用 表示一个球 先将盒子按编号 12345n 把 n 个球放入 N 中盒子中 形如 1010011 10001 正好看作 N 1 个 1 和 n 个 0 的全排列 由于两边必为 1 所以排法只有种 而指定的 n 个盒子中恰有一 n nN C 1 球的放法只有 1 种 故 1 1 1 1 nN Nn C AP n nN 六六 混淆有放回与不放回致错混淆有放回与不放回致错 例 9 某产品有 3 只次品 7 只正品 每次取 1 只测试 取后不放回 求 1 恰好 到第 5 次 3 只次品全部被测出的概率 2 恰好到第 k 次 3 只次品全部被测出的概率 的最大值和最小值 kf 错解 1 P A 2 144 1 6 1 7 5 8 7 9 2 10 3 21 0 10 3 1 10 3 3 23 55 CP 错因分析 错解 1 的错误的原因在于忽视了 不放回摸球 问题的每一次摸球是不 独立的 而错解 2 的错误的原因则在于忽视了 不放回摸球 问题的每一次摸球袋内球 的总数是变的 比前一次少一个 用心 爱心 专心10 正解 1 20 1 5 42 7 1 3 10 3 44 3 A ACC P 2 103 2 1 240 1 1 1 31 4 3 4 37 43 3 Zkkkk ACC P k k k 当时 当时 3 k 120 1 3 min fkf3 k 10 3 10 max fkf 四 典型习题导练四 典型习题导练 1 某校 2012 年推优班报名正在进行 甲 乙 丙 丁四名学生跃跃欲试 现有四门 学科 数学 物理 化学 信息技术 可供选择 每位学生只能任选其中一科 1 求恰有 两门学科被选择的概率 2 已知报名后 丁已指定被录取 另外甲被录取的概率为 乙 2 3 被录取的概率为 丙被录取的概率为 求甲 乙 丙三人中至少有两人被录取的概率 3 4 1 2 用心 爱心 专心11 共个基本结果 事件包含的基本结果有 4 4 16B 1 3 2 3 3 1 3 2 3 3 共个基本结果 所以所求事件的概率为 13 分 3 4 4 3 7 7 16 P B 3 某篮球队甲 乙两名队员在本赛季已结束的 8 场比赛中得分统计的茎叶图如下 I 比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小 II 从乙比赛得分在 20 分以下的 6 场比赛中随机抽取 2 场进行失误分析 求抽到恰好有 1 场得分不足 10 分的概 率 4 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计 随机抽取M名学生作为样本 得到 这M名学生参加社区服务的次数 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方 图如下 分组频数频率 10 15 100 25 15 20 24 n 20 25 m p 25 30 20 05 用心 爱心 专心12 求出表中 M p及图中a的值 若该校高三学生有 240 人 试估计该校 高三学生参加社区服务的次数在区间 10 15 内的人数 在所取样本中 从参加社 区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人 求至多一人参加社区服务次数在区间 25 30 内的概率 5 对某校高一年级的学生参加社区服务的次数进行统计 随机抽取 M 名学生作为样 本 得到这 M 名学生参加社区服务的次数 恨据此数据作出了右图所示的频数与频率的统 计表和频率分布直方图 I 求出表中 M p 及图中 a 的值 合计M 1 频率 组距 15252010 0 30 次数 a 用心 爱心 专心13 II 学校诀定对参加社区服务的学生进行表彰 对参加活动次数在 25 30 区间的每个学生 发放价值 80 元的学习用品 对参加活动次数在 20 25 区间的每个学生发放价值 60 元的学习用品 对参加活动次数在 15 20 区间的每个学生发放价值 40 元的学习用品 对参加活动次数在 10 15 区间的每个学生发放价值 20 元的学习用品 在所抽取的这 M 名学生中 任意取出 2 人 求此二人所获得学习用品价值之差的绝对值不超过 20 元的概 率 解析 由题可知 6 0 3 M 8 n M m p M 2 0 1 M 又682mM 解得20M 0 4n 4m 0 2p 故 15 20 组的频率与组距之比a为 0 08 4 分 设 此二人所获得学习用品价值之差的绝对值不超过 20 元 为事件A 包括如 下两类事件 此二人所获得学习用品价值之差为 0 元 此二人所获得学习用品价值之 差的绝对值为 20 元 分别记为事件B C 且事件B C互斥 则 2222 6842 2 20 50 190 CCCC P B C 111111 688442 2 20 88 190 C CC CC C P C C 10 分 508813869 19019019095 P AP BP C 故所抽取的两人所获得学习用品价值之 差的绝对值不超过 20 元的概率为 69 95 12 分 用心 爱心 专心14 记该工厂 质量合格 为事件 A 则从甲 乙两车间中各抽取 1 名技工完成合格零 件个数的基本事件 为 4 5 4 6 4 7 4 8 4 9 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9 7 5 7 6 7 7 7 8 7 9 9 5 9 6 9 7 9 8 9 9 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 共 25 种 8 分事件 A 包含的 基本事件为 4 8 4 9 5 7 5 8 5 9 7 5 7 6 7 7 7 8 7 9 9 5 9 6 9 7 9 8 9 9 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 共 20 种 10 分 所以 204 255 P A 7 2012 年 2 月份 从银行房贷部门得到好消息 首套住房贷款 利率将回归基准利率 某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计 如图所示 求本周该银行所发放贷款的贷款年限的标准差 求在本周内一位购房者贷款年限不超过 20年的概率 用心 爱心 专心15 求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限 取过剩近似整数值 8 某学校共有教职工 900 人 分成三个批次进行继续教育培训 在三个批次中男 女 教职工人数如左表所示 已知在全体教职工中随机抽取 1 名 抽到第二批次中女教职工的 概率是 0 16 求x的值 现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取 54 名做培训效果的 调查 问应在第三批次中抽取教职工多少名 已知96 96yz 求第三批次中女 教职工比男教职工多的概率 第一 批次 第二 批次 第三 批次 女教 职工 196 x y 男教 职工 204156 z 用心 爱心 专心16 9 某日用品按行业质量标准分成五个等级 等级系数 X 依次为 1 2 3 4 5 现从一批 日用品中随机抽取 20 件 对其等级系数进行统计分析 得到频率分布表如下表所示 若所抽取的 20 件日用品中 等级系数为 2 的恰有 4 件 求a b c的值 在 的条件下 从等级为 4 的 2 件日用品和 等级为 5 的 3 件日用品中任取两件 假定每件日用品被取出 的可能性相同 写出所有可能的结果 并求这两件日用品 的等级系数恰好相等的概率 解析 由频率分布表得 115010450 ba 即 2 分因为抽取 20 件日用品中 等级系30 ba 数为 2 的恰有 4 件 所以解得 5 分20 20 4 b 10 a 21020 c 从而所以 6 分 10350 cb a 22010 c b a 等 级 频 数 频率 1c a 24b 390 45 420 1 530 15 合 计 201 用心 爱心 专心17 从日用品 中任取两件 所有可能的结果为 21 x x 321 y y y 21323121322212312111 x x y yyyyyy xy xy xy xy xy x 9 分 设事件 A 表示 从日用品 中任取两件 其等级系数相等 则 A 包含 21 x x 321 y y y 的基本事件共 4 个 基本事件总数为 10 11 分 22312121 y yy yy yx x 故所求的概率 13 分40 10 4 A P 10 某大学对该校参加某项活动的志愿者实施 社会教育实施 学分考核 该大学考 核只有合格和优秀两个等次 若某志愿者考核为合格 授予个学分 考核为优秀 授予0 5 个学分 假设该校志愿者甲 乙考核为优秀的概率分别为 乙考核合格且丙考核1 4 5 2 3 优秀的概率为 甲 乙 丙三人考核所得等次相互独立 求在这次考核中 志愿者 2 9 甲 乙 丙三人中至少有一名考核为优秀的概率 求在这次考核中 甲 乙 丙三名 志愿者所得学分之和为的概率 2 5 11 已知某单位有 50 名职工 现要从中抽取 10 名职工 将全体职工随机按 1 50 编 号 并按编号顺序平均分成 10 组 按各组内抽取的编号依次增加 5 进行系统抽样 若 第 1 组抽出的号码为 2 写出所有被抽出职工的号码 分别统计这 10 名职工的体重 单位 公斤 获得体重数据的茎叶图如图所示 求该样本的方差 在 的条件下 从体重不轻于 73 公斤 73 公斤 的职工中抽取 2 人 求体重为 76 公斤的职工被抽取到的 概率 用心 爱心 专心18 解析 抽出的 10 名职工的号码分别为 2 7 12 17 22 27 32 37 42 47 4 分 因为 10 名职工的平均体重为 81 70 73 76 78 79 62 65 67 59 x 1 10 71 所以样本方差为 s2 102 12 22 52 72 82 92 62 42 122 52 8 分 1 10 从 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤的职工 共有 10 种不同的取法 73 76 73 78 73 79 73 81 76 78 76 79 76 81 78 79 78 81 79 81 故所求概率为P A 13 分 4 10 2 5 故 4 分 5 00 15 1 0 15 2 0 15 3xyxzy 由 1 知 2011 年 2 6 月我国 CPI 的数据为 4 9 5 0 5 1 5 2 5 3 其平均数为 6 分 1 4 95 05 1 5 25 3 5 1 5 x 用心 爱心 专心19 其方差为 7 分 222222 1 4 95 1 5 05 1 5 1 5 1 5 25 1 5 35 1 5 s 8 分 0 01 13 某校为了解学生的视力情况 随机抽查了一部分学生的视力 将调查结果分组 分组区间为 3 9 4 2 4 2 4 5 5 1 5 4 经过数据处理 得到如下频率 分布表 分组 频 数 频率 3 9 4 2 30 06 4 2 4 5 60 12 4 5 4 8 25x 4 8 5 1 yz 5 1 5 4 20 04 用心 爱心 专心20 合计 n1 00 求频率分布表中未知量n x y z的值 从样本中视力在 3 9 4 2 和 5 1 5 4 的所有同学中随机抽取两人 求两人的视力差的绝对值低于 0 5 的概率 14 口袋中有 6 个大小相同的小球 其中 1 个小球标有数字 3 2 个小球标有数字 2 3 个小球标有数字 1 每次从中任取一个小球 取后放回 连续抽取两次 I 求两 次取出的小球所标数字不同的概率 II 记两次取出的小球所标数字之和为 求事件 的概率5 解析解析 分别记事件第 次抽取的小球标有数字 1 2 3 为 i iii A B C 则 1 2i 111 236 iii P AP BP C 取出的两个小球所标数字相同的概率为 222 121212 1117 23618 P A AB BC C 取出的两个小球所标数字不同的概率 121212 711 1 1 1818 P A AB BC C 记事件 为 则i J C5 6j 51212 111 2 369 P CP BCC B 故事件 的概率为 2 612 11 636 P CP C C 5 56 115 93636 P CP C 用心 爱心 专心21 15 袋内装有 6 个球 每个球上都有标有从 1 到 6 的一个号码 设号码为的球重n 单位 克 这些球等可能地从袋里取出 不受重量 号码的影响 1 126 2 nn 如果任意取出 1 个球 求其重量大于号码数的概率 2 如果不放回地任意取出 2 个球 求它们重量相等的概率 16 在研究色盲与性别的关系调查中 调查了男性人 其中有人患色盲 调查48038 的个女性中520 人患色盲 1 根据以上的数据建立一个的列联表 2 若认为 性别与患色62 2 盲有关系 则出错的概率会是多少 参考数据 10 0 706 2 2 KP 010 0 635 6 2 KP 001 0828 10 2 KP 解析 1 患色盲不患色盲总计 男 38442480 女 6514520 总计 449561000 6 分 2 假设 性别与患色盲没有关系 H 用心 爱心 专心22 先算出的观测值 9 分 则有K 2 1000 38 5144426 27 14 48052044956 k 即是 H 成立的概率不超过 若认为 性别与患色盲有关系 则 2 10 808 0 001P K 0 001 出错的概率为 12 分0 001 17 对人们的休闲方式的一次调查中 共调查了 100 人 其中女性 60 人 男性 40 人 女性中有 38 人主要的休闲方式是看电视 另外 22 人主要的休闲方式是运动 男性中 有 15 人主要的休闲方式是看电视 另外 25 人主要的休闲方式是运动 1 根据以上数据 建立一个 2 2 列联表 2 判断性别与休闲方式是否有关 参考公式 2 2 n adbc K ab cd ac bd nabcd 2 P Kk 0 50 0 40 0 25 0 15 0 10 0 05 0 025 0 010 0 005 0 001 k 0 455 0 708 1 323 2 072 2 706 3 84 5 024 6 635 7 879 1 0 83 参考数据 60 40 53 47 5978400 620 620 384400 384400 59784 6 4298 18 时维壬辰 序属仲春 值春耕播种时机 某中学生物研究性学习小组对春季昼夜 温差大小与水稻发芽率之间的关系进行研究 记录了实验室 4 月 10 日至 4 月 14 日的每天 昼夜温差与每天每 50 颗稻籽浸泡后的发芽数 得到如下资料 用心 爱心 专