线性代数习题答案.doc

姓名_ 班级_ 学号_ 任课老师_ 第一章 行列式一、 温习巩固1.2.3. 解一、按行或列展开；解二、利用性质：4.5.6.7.8.9.10. 注：均未知，故不能出现类似之情况。11.12. 13. 指明每下列行列式计算中每一步所依据的行列式的性质.解：1）行列式某行（列）每一个元素都可表示成两个数之和，则行列式可拆成两个行列式之和；2）性质同1）；3）行列式中若某行（列）元素为零，则行列式等于零；4)行列式定义。二、 练习提高1. 求证: .证明：左端右端2. 用行列式性质证明证明：3. 用行列式性质证明.证明：，故4. 今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马”。马主曰：“我马食半牛”。今欲衰偿之，问各出几何？解：设牛、马、羊主出栗为斗，则有以下方程，解得 注：若写“设牛、马、羊出栗为斗”，则题设主谓搭配错误。合并同类项解得所求证。5. 问取何值时，齐次线性方程组有非零解？解：方程组的系数行列式，由克拉默法则可知当，即时，方程组有非零解。6. 用克拉默法则求解方程组解： 继而有 三、 思考与深化1. 证明对于任何实数及三阶行列式总有证明：右端+即为所证。2. 在计算不定积分时，需将被积函数作如下分解：其中为待定常数，试求之解：将被积函数分解式的右端通分并比较等式两端，可得如下方程组： 解方程组得 3. 考虑三元线性方程组其系数行列式.说明下列各等号成立的理由，并由此证明克拉默法则证明：利用行列式性质容易证得！4. 若二阶行列式的四个元素为的排列，这样的行列式共有24个。问这24个二阶行列式的和是多少？解： 故有所求为零。第二章 矩阵一、温习巩固 1 设，求（1）；（2）；（3）；（4）若有，求。解：（1）；（2）； （3）；（4）。2 设，求（1）；（2）；（3）。解：（1）；（2）；（3）。3 已知，设，求（1）用矩阵表示与，与的关系；（2）用矩阵乘法求与的关系。解：（1）设，则有； （2），即。4已知 （1）计算及。（2）对于任意矩阵是否有成立，成立的条件是什么？（3）对于任意矩阵展开，？解：（1）， 。 （2）一般有；所以的充分必要条件是。 （3）；。5设求（1）；（2）。解：（1）；（2）易知，则有数学归纳法可得，其中为从中取的组合数；又因为，可知6 求下列矩阵的伴随矩阵，并计算及。(1) ； (2) 。解：(1)，；(2) ，。7求下列矩阵的逆矩阵：(1) (其中)；(2) ；(3) 。解：(1) ； (2) ；(3) 。8设，由初等矩阵与初等变换的关系计算（1）； （2）；（3）； （4）。 解：（1）； （2）； （3）；（4）。9若可逆矩阵作如下变化，则相应的有怎样的变化？（1）中行与行互换；（2）中行乘上非零数；（3）时中行乘上数加到第行。 解：（1），即；（2），即；（3），即。10把下列矩阵化为简化行阶梯形及标准形。（1） ；（2） 。解：（1）；（2）。11利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵。（1） ；（2） 。解：（1），则；（2），则。12求下列矩阵的秩，并找到该矩阵一个最高阶非零子式。（1） ；（2） 。解：（1），秩为2，即为2阶非零子式；（2） ，则矩阵的秩为3，即为原矩阵的最高阶非零子式。二、练习提高1举反例说明下列命题是错误的：（1）若，则；（2）若，且，则； （3）若，则；（4）若，且，则。解：此题例子甚多，请自解！2判断以下关于逆矩阵的结论是否正确：设为阶方阵，（1）可逆（ ）；（2）可逆可以表示成一系列初等矩阵的乘积（ ）；（3）可逆只施行行变换可以化为单位矩阵（ ）；（4）可逆只施行列变换可以化为单位矩阵（ ）；（5）可逆是满秩矩阵（ ）；（6）可逆，且，则（ ）；（7）可逆，且，则（ ）。3已知为阶方阵，且，求 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。解：（1）；（2）；（3） ；（4）；（5）；（6）因为，由此亦可得。4. 利用初等变换求逆矩阵时，我们常利用公式：，试解释此公式，并类似推导以下公式：。解：设矩阵可逆，则矩阵经过一系列初等矩阵变换为单位矩阵，不妨设为，其中均为初等矩阵，由结合律得 （1）， 即= 所以有 （2）。（1），（2）式表明，如果用初等行变换将化为单位矩阵，则用同样的初等行变换可将单位矩阵化为的逆矩阵。即。若 （1）， 即，其中均为初等矩阵，则 （2）。（1），（2）式表明，如果用初等列变换将化为单位矩阵，则用同样的初等列变换可将单位矩阵化为的逆矩阵。即。5设，均为阶可逆矩阵，证明：为可逆矩阵，且写出。证明：因为 ，故可逆；。4设，分别为，阶方阵，且，另：（1）求；（2）求 ；（3）利用(2)小题结论，计算的逆矩阵。解：（1），则；（2）因为，则 ； （3）三、深化与思考1用逆矩阵求下列关于的矩阵方程。设，求使。解：由于，故可逆，则在左右两边都右乘有。有因为，有。2试用克拉默法则及分块矩阵讨论：设，若存在非零矩阵使得，则的值为？ 解：，现将矩阵的每一列看做一个列矩阵，则有， 亦即。又因为为非零矩阵，故必有它的某列不为零，不妨设为，则有即为方程组的非零解，由克拉默法则得，所以。3证明题（1）若n阶矩阵满足，试证：可逆，并求其逆；（2）若矩阵A满足，且，则矩阵A必不可逆。证明：（1）由，得；（2） 解法一、（反证法） 设可逆，其逆矩阵即为。则由，与 矛盾，固矩阵必不可逆。 解法二、设的伴随矩阵为。则由，因为，则，固矩阵必不可逆。 解法三、由，又因为，由本章习题的结论，有，固矩阵必不可逆。4设，其中，求。（提示：存在可逆矩阵，使）解：方法一、设，均为可逆矩阵， 从而有，从而。方法二、， （1）， 记中阶非零子式为，中阶非零子式为，则中必有阶非零子式，从而， （2）。由（1）、（2）两式得 。第三章 线性方程组一、 温习巩固1. 求解齐次线性方程组解： 化系数矩阵为行最简式因此原方程同解于 令，可求得原方程的解为，其中为任意常数。2. 求解非齐次线性方程组解：把增广矩阵化为阶梯形因此，所以原方程组无解。3. 设。求向量，使。解：4. 求向量组的秩和一个极大线性无关组。解：将作为列向量构成矩阵，做初等行变换所以向量组的秩为3，是一个极大线性无关组。二、练习提高 判断题 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。 ( ) 设为矩阵，是非齐次线性方程组的导出组，则（a）若仅有零解，则有唯一解。 ( )（b）若有非零解，则有无穷多解。 ( )（c）若有无穷多解，则有非零解。 ( ) 设为阶矩阵，是维列向量，若，则线性方程组必有非零解。 ( ) 对矩阵施行若干次初等变换，当变为时，相应的变为。() 设向量组线性无关，可由线性表示，而向量不能由线性表示，则对于任意常数，必有，线性相关。() 设维列向量组线性相关，是矩阵，则线性相关。 ( ) 若向量组能由向量组线性表示，和的秩分别为和，则。() 设为矩阵，则的阶子式不能为0。 () 设元齐次线性方程组的一个基础解系为，则, 仍为该齐次线性方程组的基础解系。 ( ) 集合是一个向量空间。 () 填空题 齐次线性方程组有非零解的充要条件是_ _。 若线性方程组有解，则常数应满足的条件是 。 设三阶矩阵，三维列向量，已知与线性相关， 则 。 若能由唯一线性表示，则满足条件 且 。 设阶矩阵的各行元素之和均为0，且的秩为，则线性方程组的通解为 。 由向量组生成的向量空间的维数为 。 计算题 取何值时，方程组有唯一解，无解或有无穷多解？在有无穷多解时求解。解：对此线性方程组的增广矩阵进行初等行变换可得所以 当时，线性方程组有唯一解。当时，线性方程组无解。当时，线性方程组有无穷多解。若，解为若， 解为。 已知线性无关，若线性相关，求的值。解：由题意知存在不全为0的，使得，整理得因为线性无关，从而有齐次线性方程组由不全为0知方程组有非零解，则系数行列式必为0 设向量是齐次方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，即。试证明：向量组线性无关。解： 设有一组数，使得整理该式得 用左乘上式两边，注意，故有因为 将代回式，得到，因为线性无关，故必有，再由式，可得 已知向量组与向量组，具有相同的秩，且可由线性表示，求的值。解：对矩阵做初等行变换，所以，且是一个极大无关组又因为，所以 另一方面，可由线性表示，所以可由线性表示，即 设4元齐次线性方程组（）为，又已知某齐次线性方程组（）的通解为。求：方程组（）的基础解系；方程组（）和（）是否有非零公共解？若有则求出所有的非零公共解。的系数矩阵为，故的基础解系含有个解向量，可取为和的通解为，代入可得所以当时，与有非零公共解，非零公共解为 设有向量组（）：和向量组（）：。试问：当为何值时，向量组（）与（）等价？当为何值时，向量组（）与（）不等价？解：对构成的矩阵做初等行变换，所以，当时，另外，所以故，向量组等价当时，所以，即不能由线性表示，向量组不等价。 设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解。方程组和方程的公共解即下述联力方程组的解对该方程组的增广矩阵做初等行变换，得到，因方程组有解，故当时，因此公共解为，为任意常数。当时，因此公共解为。三、思考与深化如果可以被向量线性表出，证明表示法唯一的充分必要条件是 线性无关。证明：略。 研究下图中各个符号所代表的数，使得每一横行、竖行、和对角线上的数字之和都是22。Xb237X462b374bX第一行的符号依次为3 7 4 6 2 。3. 下面的加法算式中，不同的字母表示不同的数字，相同字母表示相同的数字。请求出具体数字。分析方法，先确定M的值是1，然后按S+G的和讨论。注意S，G可以互换，R，L可以互换。共28组解。 第四章 答案一、温习巩固（1），得特征值解，得，为属于的所有的特征向量。解，得，为属于的所有的特征向量。（2），得特征值解，得，为属于的所有的特征向量。解，得，为属于的所有的特征向量。（3），得特征值解，得，为所有特征向量。解，得为所有特征向量。（4），得特征值解，得，为所有特征向量。解，得，、和不全为0.2.填空题（1）相似，-1，-1，2；（2），；（3）；（4）0；（5）3.判断题6、7、9、13、14、15、17、19，2028，30对，其余题错二、练习提高1、选择题 DBDDC2、解：A为3阶方阵，有三个不同的特征值1，0和-1，所以A可相似对角化，即存在可逆阵P，使得，可得3、（1） 可相似对角化，对应特征向量分别为相似变换矩阵， 可相似对角化，对应特征向量分别为相似变换矩阵， 无两个线性无关的特征向量，不可相似对角化， (2) 解 (1) 有3个互异特征值 可对角化 对应于的特征向量依次为 , , 构造矩阵 , 则有 （3）求 的特征值与特征向量 解 求的特征向量： , 求的特征向量： , 不可以对角化，只有两个线性无关的特征向量。（4）求 的特征值与特征向量 解 求的特征向量： , 求的特征向量： , , （不同时为0）可以相似对角化。，4、设的一个特征向量为, 求数及的 全体特征值与特征向量 解 ： 由此可得：对应特征值只有1个线性无关的特征向量, 而特征 方程的基础解系为, 全体特征向量为5、设实对称矩阵的特征值, 属于的 特征向量依次为, , 求 解 设, 由 , 可得 该齐次方程组的一个非零解为 令 , 则有 6. 设的一个特征向量为, 求的全体 特征值与特征向量 解 ：, , 对应只有1个线性无关的特征向量 全体特征向量为 7、已知可对角化, 是的2重特征值, 求可逆矩阵, 使得 解 可对角化对应有两个线性无关的特征向量 设, 则有 此时 , 求得 , , 令 , 则有8.证明：（1）设为的特征值，即. 则为的特征值，即. 又,则, . （2）由可得无关 假设是的特征值，即 整理得 由无关知 推出矛盾，假设不成立，所以不是的特征值. 同理不是的特征值。 ，所以无关.9. 解：所以两个矩阵不相似。10. 证： （1）设矩阵的分别为相应矩阵的第行第列的元素。则（2）若与相似，可以设，从而三、思考与深化1. 设, 求 解 例4求得 , , 使得 ： 故 （）2、去掉，此题目有问题。345.解：（1） （2） （3） 若，则。又由 （a） 得，即，所以 （b）若由（a）式就得到，若由（b）式亦得到。6 关于求最大特征值的计算方法（1） 求最大特征值及对应的特征向量；（2） 设计算,填到下面表里, 并观察；（3） 求证：解：参考书174页选讲内容。矩阵的最大特征值为2，对应的特征向量为 对应用特征值1的特征向量为，对本题因为第五章 二次型一、 温习巩固1、写出下列二次型的矩阵 1） 解：2）解： 3） 解： 4） 解： 5） 解： 6） 解：1. 写出下列矩阵对应的二次型 1） 解： 2） 解：3） 解：4） 解：2. 判定下列二次型的正定性1）二次型是否正定？解：的矩阵为，所以为正定2）二次型是否正定?解: 此二次型的矩阵为顺序主子式所以此二次型不是正定二次型. 3），当取何值时，二次型为正定解的矩阵为，故当时，二次型为正定二、 练习提高1.求一正交变换，把二次型化为标准型。解：此二次型的矩阵为，特征多项式，对应有特征向量 对应有特征向量取并令，则二次型可化为。2.求一个正交变换，把二次型化为标准形。解：此二次型的矩阵为，特征多项式，对应有特征向量对应有特征向量对应有特征向量取并令，则二次型可化为。3. 确定