浙江省杭州市2012届高三数学第十次月考试题 理 新人教A版

用心 爱心 专心1 20112011 学年杭州学军中学第十次月考学年杭州学军中学第十次月考 数学 理科 试题卷数学 理科 试题卷 注意事项 1 本科考试分试题卷和答题卷 考生须在答题卷上作答 答题前 请在答题卷的密封线内填写学校 班级 学号 姓名 2 本试卷分为第 I 卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 全卷满分 150 分 考试时间 120 分 钟 参考公式 球的表面积公式柱体体积公式 2 4 RS Vsh 球的体积公式其中 S 表示柱体的底面积 h 表示柱体的高 台体的体积公式 3 4 3 VR 1122 1 3 Vh SS SS 锥体体积公式 其中分别表示台体的上 下底面积 h 表示台体的高 12 S S 如果事件 A B 互斥 ShV 3 1 其中 S 表示锥体的底面积 h 表示锥体的高 那么 P A B P A P B 第第 卷 共卷 共 5050 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 题目要求的 1 设 则图中阴影部分表示的集合为 1 03 2 xxBxxxARU A 0 xx B 13 xx C 03 xx D 1 xx 2 已知 则等于 1zi 2 1z 1z A B i C i D 43 55 i 43 55 i 3 在的展开式中 的幂指数是整数的项共有 24 3 1 x xx A 3 项 B 4 项 C 5 项 D 6 项 4 下列命题正确的是 A 若两个平面分别经过两条平行直线 则这两个平面平行 B 若平面 则平面 C 平行四边形的平面投影可能是正方形 D 若一条直线上的两个点到平面的距离相等 则这条直线平行于平面 用心 爱心 专心2 5 设甲 函数的值域为 乙 函数有四个单调区间 那 log 2 2 cbxxxf Rcbxxxg 2 么甲是乙的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 6 已知函数 当 x a 时 取得最小值 b 则函数 的图象为 bx a x g 1 7 如图 在 ABC 中 ADAB 3BC BD 1AD 则AC AD A 2 3 B 3 2 C 3 3 D 3 8 由 1 2 3 4 5 6 7 七个数字排列成 7 位数 则相邻数互质的排法种数有 种 A 576 B 720 C 864 D 900 9 已知抛物线与双曲线有相同的焦点 点是两曲线的 02 2 ppxy 0 01 2 2 2 2 ba b y a x FA 交点 且轴 则双曲线的离心率为 xAF A 12 B 13 C 2 15 D 2 122 10 已知函数若存在 使得关于的方程有三个不相等的 2 xaxxxf 4 4 ax atfxf 实数根 则实数 的取值范围是 t A B C D 8 9 1 2 3 1 2 3 8 9 4 5 1 用心 爱心 专心3 第第 卷 共卷 共 100100 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2828 分 分 11 如果函数在区间上有且仅有一条平行于 sin 0 4 f xx 1 0 轴的对称轴 则的取值范围是 y 12 如右图 如果执行右面的程序框图 输入正整数 那么输出410 m n 的等于 P 13 盒中装有 5 个零件 其中 2 个是使用过的 另外个未经使用 从盒中随3 机抽取个零件 使用后放回盒中 记此时盒中使用过的零件个数为X 则X的数学期望E X 3 14 已知一个三棱锥的三视图如图2 所示 其中俯视图是顶角为的等腰三角形 120 则该三棱锥的体积为 15 函数 2 1 0 log 0 xx f x x x 则函数 1yf f x 的 所有零点所构成的集合为 16 底面边长为 侧棱长为的正四棱柱的个顶点12 1111 ABCDABC D 8 都在球的表面上 是侧棱的中点 是正方形的中心 则OE 1 AAFABCD 直线被球所截得的线段长为 EFO 17 定义在 R 上的函数是增函数 且函数的图像关于 3 0 成中心对称 若 s t yf x 3 yf x 满足不等式 当时 则的取值范围是 22 2 2 f ssftt 14s 22 2tss 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 5 小题 共小题 共 7272 分 分 18 已知函数 2 1 cos 1sin2 2 f xx g xx 1 若点 为函数与的图象的公共点 试求实数的值 A y 0 4 f x g x 2 设是函数的图象的一条对称轴 求的值 0 xx yf x 0 2 gx 3 求函数的值域 0 4 h xf xg x x 19 已知数列 n a中 1 1a 且 2 1 23 1 n nn n aan n 2 nnN 1 求数列 n a的通项公式 俯视图 左视图 主视图 1 2 2 3 图 2 用心 爱心 专心4 2 令 1 3n n n b a nN 数列 n b的前n项和为 n S 试比较 2n S与n的大小 并证明 用心 爱心 专心5 D C B A C1 B1 A1 20 如图 直三棱柱中 111 CBAABC BCAB 为的中点 DAC 1 2AAAB 1 求证 平面 1 AB 1 BC D 2 若四棱锥的体积为 2 求二面角 11 BDAAC 的正切值 1 CBCD 21 已知抛物线 0 2 2 ppyxC的焦点为F 抛物线上一点A的横坐标为 1 x 0 1 x 过点A作抛 物线C的切线 1 l交x轴于点D 交y轴于点Q 交直线 2 p l y 于点M 当2 FD时 60 AFD 1 求证 AFQ 为等腰三角形 并求抛物线C的方程 2 若B位于y轴左侧的抛物线C上 过点B作抛物线C的切线 2 l交直线 1 l于点P 交直线l于点N 求PMN 面积的最小值 并求取到最小值时的 1 x值 22 设 x eaaaxxxxf 1ln 2 2 a 1 若0 a 求 xf的单调区间 2 讨论 xf在区间 1 e 上的极值点个数 3 是否存在a 使得 xf在区间 1 e 上与x轴相切 若存在 求出所有a的值 若不存在 说明 理由 用心 爱心 专心6 杭州学军中学第十次月考数学 理 答案 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给也的四个选项中 只有一项是符合分 在每小题给也的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 题目要求的 题号题号 1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 答案答案 B BD DC CC CB BB BD DC CA AA A 二 填空题 本大题共填空题 本大题共 7 7 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2828 分 分 11 12 5040 4 5 4 1 13 14 5 19 3 32 15 16 2 2 1 4 1 3 3 42 17 24 2 1 三 解答题三 解答题 本大题共 5 小题 共 72 分 18 18 1 1 0 2 1 2 1 3 3 2 23 2 19 19 解 解 由题 2 1 23 1 n nn n aan n 知 2 1 2 3 1 n nn aa nn 由累加法 当时 2n 22 1 22 32 32 3 1 n n aa n 代入得 时 1 1a 2n 1 1 2 1 3 13 1 3 n n n a n 又 故 1 1a 1 3 n n annN II 时 则 nN 1 31 n n n b an 2 111 1 232 n n S 记函数 2 111 1 232 n n f nSnn 所以 1 111 1 1 1 232n f nn 则 1 1112 1 110 2122221 n nnnn f nf n 用心 爱心 专心7 所以 1 f nf n 由于 此时 1 2 1 1 1 1 10 2 fS 1 2 1S 此时 2 2 2S 2 2 111 2 2 1 20 234 fS 此时 3 2 1111111 3 3 1 30 2345678 fS 3 2 3S 由于 故3n 时 此时 2n Sn 1 f nf n 3 0f nf 综上所述 当时 当 时 2n Sn 1 2n 2n Sn 3 nnN 20 20 1 1 略 略 2 2 如图建系 如图建系 则 0 2 0 B 1 2 0 0 C 0 2 2 A 1 2 1 D 1 2 2 0 BC 1 0 1 BD 设平面的法向量为 1 BC D nx y z 由及 1 0n BC 0n BD 得 取 220 0 xy xz 1x 1 1 1 n 又平面的一个法向量 1 BC C 0 0 1 m 3 cos 3 m n 所求二面角的平面角为锐角 二面角的正切值为 1 CBCD 2 21 21 解 1 设 则处的切线方程为 p x xA 2 2 1 1 A p x x p x yl 2 2 11 1 所以 0 2 1 x D p x Q 2 0 2 1 所以 即AFQ 为等腰三角形AF p xp FQ 22 2 1 又为线段的中点 所以 得 DAQ4 AF 用心 爱心 专心8 所以 16 4 22 22 1 2 1 px p xp 2 p 4 2 yxC 2 设 0 222 xyxB 则B处的切线方程为 42 2 22 x x x y 由 4 2 42 42 2121 2 22 2 11 xxxx P x x x y x x x y 1 2 2 1 42 1 1 2 11 x x M y x x x y 同理 1 2 2 2 2 x x N 所以面积 21 2 211221 2 2 1 1 16 4 4 1 2 2 2 2 2 1 xx xxxxxx x x x x S 设AB的方程为bkxy 则0 b由044 4 2 2 bkxx yx bkxy 得 bxx kxx 4 4 21 21 代入 得 b bkb b bbk S 2222 1 64 44 1616 使面积最小 则0 k得到 b bb S 2 1 令tb 得 t tt t t tS 1 2 1 3 22 2 22 1 13 t tt tS 所以当 3 3 0 t时 tS单 调递减 当 3 3 t tS单调递增 所以当 3 3 t时 S取到最小值为 9 316 此时 3 1 2 tb 0 k 所以 3 1 1 y 即 3 32 1 x 22 22 解 1 当0 a时 x exxxf 1ln 0 x 故 x exxxxf 1ln1 ln x exx 1 ln 2 分 当1 x时 0 xf 当1 x时 0 xf 当1 x时 0 xf 故 xf的减区间为 1 0 增区间为 1 4 分 2 x eaaxxxxxf ln ln 2 令 xg 2 lnlnaaxxxx 故ax x xg 1ln 1 xx xg 11 2 6 分 显然0 1 g 又当1 x时 0 xg 当1 x时 0 xg 故 min xgag 2 1 2 a 02 min axgxg 故 xg在区间 1 e 上单调递增 7 分 注意到 当 x时 xg 故 xg在 1 e 上的零点个数由 用心 爱心 专心9 1 1 1 1 e aa e g 的符号决定 8 分 当0 1 e g 即 e a 1 12 或1 a时 xg在区间 1 e 上无零点 即 xf无极值点 当0 1 e g 即 1 1 1 a e 时 xg在区间 1 e 上有唯一零点 即 xf有唯一极值点 综上 当 e a 1 12 或1 a时 xf在 1 e 上无极值点 当1 1 1 a e 时 xf在 1 e 上有唯一极值点 10 分 3 假设存在a 使得 xf在区间 1 e 上与x轴相切 则 xf必与x轴相切于极值点处 由 2 可知 1 1 1 a e 不妨设极值点为 0 x 则有 0 1ln 0 ln ln 0 0 2 0000 2 00000 x x eaaaxxxxf eaaxxxxxf 同时成立 11 分 联立得 01ln 0 ax 即 1 0 a ex代入 可得0 1 2 1 aae a 令 1 2 1 e tat 2 1 tteth t 12 分 则32 teth t 2 t eth 当 1 2 e t 时02 1 1 e e e hth e e 1 2 1