2012高考数学二轮 不等式的应用名师精编精析（13）

用心 爱心 专心1 第十三讲第十三讲 不等式的应用不等式的应用 高考在考什么高考在考什么 考题回放考题回放 1 北京 若不等式组表示的平面区域是一个三角形 则的取值范围是 22 0 xy xy y xya a D 或 4 3 a 01a 4 1 3 a 01a 4 3 a 2 福建 已知为 R 上的减函数 则满足的实数的取值范围是 f x 1 1 ff x x C A 1 1 B 0 1 C 1 0 0 1 D 1 1 3 陕西 已知不等式对任意正实数恒成立 则正实数的最小值 1 9 a xy xy x ya 为 B 8 6 C 4 D 2 4 重庆 若动点 在曲线上变化 则的最大值为 yx 0 1 4 2 22 b b yx yx2 2 A A B 4 2 40 4 4 2 bb b b 2 2 20 4 4 2 bb b b C D 24 4 2 b b 5 重庆 一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条 2 210 0 axxa 件是 C A B C D 0a 0a 1a 1a 6 浙江卷 已知则不等式 5 的解集是 0 1 0 1 x x xf 2 2 xfxx 2 3 高考要考什么高考要考什么 不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一 作为解决问题的工具 与其他知识 综合运用的特点比较突出 不等式的应用大致可分为两类 一类是建立不等式求参数的取值 用心 爱心 专心2 范围或解决一些实际应用问题 另一类是建立函数关系 利用均值不等式求最值问题 本 难点提供相关的思想方法 使考生能够运用不等式的性质 定理和方法解决函数 方程 实际应用等方面的问题 突突 破破 重重 难难 点点 范例范例 1 1 已知函数的图象与轴分别相交于点 A B bkxxf yx 分别是与轴正半轴同方向的单位向量 函数 jiAB22 ji yx 6 2 xxxg 1 求的值 bk 2 当满足时 求函数的最小值 x xgxf 1 xf xg 解 1 由已知得 0 0 b k b ABbB k b A 则 于是 2 1 2 2 b k b k b 2 由 62 2 xxxxgxf得 即 42 0 4 2 xxx得 5 2 1 2 2 5 1 2 x x x xx xf xg 由于 其中等号当且仅当x 2 1 即x 1 时成立 3 1 02 xf xg x则 时的最小值是 3 1 xf xg 范例范例 2 2 已知a b c是实数 函数f x ax2 bx c g x ax b 当 1 x 1 时 f x 1 1 证明 c 1 2 证明 当 1 x 1 时 g x 2 3 设a 0 有 1 x 1 时 g x 的最大值为 2 求f x 命题意图 本题主要考查二次函数的性质 含有绝对值不等式的性质 以及综合应用 数学知识分析问题和解决问题的能力 属较难题目 知识依托 二次函数的有关性质 函数的单调性是药引 而绝对值不等式的性质灵活 运用是本题的灵魂 错解分析 本题综合性较强 其解答的关键是对函数f x 的单调性的深刻理解 以及 用心 爱心 专心3 对条件 1 x 1 时 f x 1 的运用 绝对值不等式的性质使用不当 会使解题过程 空洞 缺乏严密 从而使题目陷于僵局 技巧与方法 本题 2 问有三种证法 证法一利用g x 的单调性 证法二利用绝对值 不等式 a b a b a b 而证法三则是整体处理g x 与f x 的关系 1 证明 由条件当 1 x 1 时 f x 1 取x 0 得 c f 0 1 即 c 1 2 证法一 依题设 f 0 1 而f 0 c 所以 c 1 当a 0 时 g x ax b在 1 1 上是增函数 于是 g 1 g x g 1 1 x 1 f x 1 1 x 1 c 1 g 1 a b f 1 c f 1 c 2 g 1 a b f 1 c f 2 c 2 因此得 g x 2 1 x 1 当a 0 时 g x ax b在 1 1 上是减函数 于是g 1 g x g 1 1 x 1 f x 1 1 x 1 c 1 g x f 1 c f 1 c 2 综合以上结果 当 1 x 1 时 都有 g x 2 证法二 f x 1 1 x 1 f 1 1 f 1 1 f 0 1 f x ax2 bx c a b c 1 a b c 1 c 1 因此 根据绝对值不等式性质得 a b a b c c a b c c 2 a b a b c c a b c c 2 g x ax b g 1 a b a b 2 函数g x ax b的图象是一条直线 因此 g x 在 1 1 上的最大值只能在区间 的端点x 1 或x 1 处取得 于是由 g 1 2 得 g x 2 1 x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 1 22 22 22 22 x f x f c x b x ac x b x a xx b xx abaxxg xxxx x 证法三 当 1 x 1 时 有 0 1 1 0 2 1 x 2 1 x f x 1 1 x 1 f 1 f 1 2 1 x 2 1 x 因此当 1 x 1 时 g x f f 2 2 1 x 2 1 x 3 解 因为a 0 g x 在 1 1 上是增函数 当x 1 时取得最大值 2 即 g 1 a b f 1 f 0 2 1 f 0 f 1 2 1 2 1 c f 0 1 用心 爱心 专心4 因为当 1 x 1 时 f x 1 即f x f 0 根据二次函数的性质 直线x 0 为f x 的图象的对称轴 由此得 0 即b 0 a b 2 由 得a 2 所以f x 2x2 1 范例范例 3 3 已知二次函数的图像经过坐标原点 其导函数为 数列 xfy 26 xxf 的前项和为 点均在函数的图像上 n an n S NnSn n xfy 求数列的通项公式 n a 设 是数列的前项和 求使得对所有都 1 3 nn n aa b n T n bn 20 m Tn Nn 成立的最小正整数 m 点评 本小题考查二次函数 等差数列 数列求和 不等式等基础知识和基本的运算 技能 考查分析问题的能力和推理能力 解 设这二次函数f x ax2 bx a 0 则 f x 2ax b 由于f x 6x 2 得 a 3 b 2 所以 f x 3x2 2x 又因为点均在函数的图像上 所以 3n2 2n n n SnN yf x n S 当n 2时 an Sn Sn 1 3n2 2n 6n 5 1 2 13 2 nn 当n 1时 a1 S1 3 12 2 6 1 5 所以 an 6n 5 nN 由 得知 1 3 nn n aa b 5 1 6 56 3 nn 16 1 56 1