2012高考数学二轮复习 专题11 高考中填空题的解题方法与技巧

用心 爱心 专心 1 20122012 届高考数学二轮复习届高考数学二轮复习 专题十一专题十一 高考中填空题的解题方法与技巧高考中填空题的解题方法与技巧 重点知识回顾 填空题是将一个数学真命题 写成其中缺少一些语句的不完整形式 要求学生在指定的 空位上 将缺少的语句填写清楚 准确 它是一个不完整的陈述句形式 填写的可以是一 个词语 数字 符号 数学语句等 填空题的主要作用是考查学生的基础知识 基本技能及思维能力和分析问题 解决问题的 能力 填空题的结果必须是数值准确 形式规范 表达式 数 最简 结果稍有毛病 便得 零分 填空题的基本特点 1 方法灵活 答案唯一 2 答案简短 具体明确 学生在解答填空题时注意以下几点 1 对于计算型填空题要运算到底 结果要规范 2 填空题所填结果要完整 不可缺少一些限制条件 3 填空题所填结论要符合高中数学教材要求 4 解答填空题平均每小题 3 分钟 解题时间应控制在 12 分钟左右 总之 解填空题的基本原则是 小题小做 要 准 活 灵 快 典型例题 一 直接法 直接法求解就是从题设条件出发 运用定义 定理 公式 性质 法则等知识 通过变形 推理 计算等 得出正确的结论 例 1 不等式的解集是 0 1 1 xx 解析 当时 原不等式等价于 0 x0 1 1 xx 此时应有 11 x10 x 当时 原不等式等价于 0 x0 1 2 x 此时应有 1 x011 xx或 不等式的解集是 0 1 1 xx 11 xxx且 例 2 在等差数列中 则数列的前 n 项和 Sn的最小值 n a135 3 851 anaa n a 用心 爱心 专心 2 为 解析 设公差为 d 则 13 73 5 43 11 dd 数列为递增数列 9 5 d n a 令 0 n a0 9 5 1 3 n 5 2 6 n 前 6 项和均为负值 Nn 7 n Sn的最小值为 3 29 6 S 题后反思 由于填空题不需要解题材过程 因此可以透过现象看本质 自觉地 有意识地采用灵活 简洁的解法 省去某些步骤 大跨度前进 也可配合心算 速算 力求快速 辟免 小题大 做 二 特殊值法 当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时 我们只需把题材中的参 变量用特殊值代替之 即可得到结论 例 3 函数在 0 2 上是一增函数 函数是偶函数 则 xfy 2 xfy 的大小关系为 用 号连接 2 7 2 5 1 fff 解析 取 则 2 2 xxf 2 5 1 2 7 fff 例 4 椭圆的焦点为 点 P 为其上的动点 当为钝角时 点 P1 49 22 yx 21 F F 21PF F 横坐标的取值范围是 解析 设 P x y 则当时 点 P 的轨迹方程为 由此可得 90 21 PFF5 22 yx 点 P 的横坐标 又当点 P 在 x 轴上时 点 P 在 y 轴上时 5 3 x 0 21 PFF 为钝角 由此可得点 P 横坐标的取值范围是 21PF F 5 53 5 53 x 题后反思 特殊值法一般可取特殊值 特殊函数 特殊角 特殊数列 图形的特殊位置 特殊性点 特殊方程 特殊模型等 三 数形结合法 用心 爱心 专心 3 根据题目条件 画出符合题意的图形 以形助数 通过对图形的直观分析 判断 往往可 以简捷地得出正确的结果 它既是方法 也是技巧 更是基本的数学思想 例 5 已知直线与函数的图像有两个mxy 2 1xy 不同的交点 则实数 m 的取值范围是 解析 函数的图像如图所示 2 1xy 由图可知 21 m 例 6 设函数 若当时 可取得极大值 当cbxaxxxf 2 2 1 3 1 23 1 0 x xf 时 可取得极小值 则的取值范围是 2 1 x xf 1 2 a b 解析 由条件知 的一个baxxxf2 2 0 xf 根在 0 1 上 另一个根在 1 2 上 即 0 2 0 0 0 1 f f f 02 0 012 ba b ba 如图所示 在平面直角坐标系 xOy 中作出上述区域 得点 P a b 在图中的阴影区域内 而的几何意义是过两点 P a b 与 A 1 2 的直线的斜率 易知 1 2 a b 1 4 1 1 2 PA k a b 题后反思 数形结合法 常用的有 Venn 图 三角函数线 函数图像及方程的曲线等 另一面 有些图 形问题转化为数量关系 如直线垂直可转化为斜率关系或向量积等 四 等价转化法 通过 化复杂为简单 化陌生为熟悉 将问题等价转化为便于解决的问题 从而等到正确 的结果 例 7 若不论 k 为何实数 直线与圆恒有交点 1 kxy0422 222 aaaxyx 则实数 a 的取值范围是 解析 题设条件等价于直线上的定点 0 1 在圆内或圆上 或等价于点 0 1 到圆 心 a 0 的距离小于或等到于圆的半径 所以42 a31 a 例 8 计算 33 257257 解析 分别求这两个二重根式的值显然不是那么容易 不妨从整体考虑 通过解方程求 x y 1 1 2 xy xy 1 xy 1 xy x y A 1 2 3 1 2 1 2 a 2b 1 0 a b 1 0 用心 爱心 专心 4 之 设 两边同时立方得 即 x 33 2572570143 3 xx 0 72 2 2 xxx 即2 因此应填 2 072 2 xx2 x 33 257257 题后反思 在研究解决数学问题时 常采用转化的手段将问题向有利于解答的方面转化 从而使问题 转化为熟悉的 规范的 甚至模式的问题 把复杂的问题转化为简单的问题 五 构造法 根据题设条件与结论的特殊性 构造出一些新的数学形式 并借助于它来认识和解决问 题 例 9 如果 那么角的取值范围是 2 0 cos cos1 sin sin1 44 解析 设函数 则 所以是增函数 由题设 xxxf 4 1 051 4 xxf xf 得出 得 所以 cos sin ff cossin 4 5 4 例 10 P 是正方体 ABCD A1B1C1D1的上底面 A1B1C1D1内任意一点 AP 与三条棱 AA1 AB1 AD 的夹角分别为 则 222 coscoscos 解析 如上图 过 P 作平面 PQQ P 使它们分别与平面 B1C1CB 和平面 C1D1DC 平行 则构造一个长方体 AQ P R A1QPR 故 1coscoscos 222 题后反思 凡解题时需要根据题目的具体情况来设计新模式的的问题 通常要用构造法解决 六 分析法 根据题设条件的特征进行观察 分析 从而得出正确的结论 例 11 以双曲线的左焦点 F 和左准线为相应的焦点和准线的椭圆截直线1 3 2 2 y x 所得的弦恰好被 x 轴平分 则 k 的取值范围是 3 kxy 解析 双曲线的左焦点为 F 2 0 左准线为 因为椭圆截直线所得的弦恰好 2 3 x 被 x 轴平分 故根据椭圆的对称性 知椭圆的中心即为直线与 x 轴的交点 3 kxy A B C D C1 A1 B1 D1 P R Q Q R P 用心 爱心 专心 5 故 得 0 3 k 2 3 k2 3 0 k 例 12 2007 福建 某射手射击 1 次 击中目标的概率为 0 9 他连续射击 4 次 且各次 射击是否击中目标相互之间没有影响 有下列结论 他第 3 次击中目标的概率是 0 9 他恰好击中目标 3 次的概率是 他至少1 09 0 3 击中目标 1 次的概率是 4 1 01 解析 第 3 次击中目标意味着 1 2 4 次可击中 也可不击中 从而第 3 次击中目标 的概率为 恰好击中目标 3 次的概率是独9 0 1 09 0 9 0 1 09 0 1 09 0 立重复试验 故概率为 运用对立事件 4 次射击 一次也没有击中的概率1 09 0 33 4 C 为 从而至少击中目标一次的概率为 故正确结论的序号为 4 1 0 4 1 01 题后反思 分析法是解答问题的常用方法 该方法需要我们从题设出发 对条件进行观察 分析 找 到相应的解决方法 七 归纳法 例 13 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师 单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形 如图为一组蜂 巢的截面图 其中第一个图有 1 个蜂巢 第二个图 有 7 个蜂巢 第三个图有 19 个蜂巢 按此规律 以 f n表示第n幅图的蜂巢总数 则 4 f f n 解析 找出 1 nfnf的关系式 解析 1261 3 61 2 1 1 fff37181261 4 f 133 1 6181261 2 nnnnf 题后反思 处理 递推型 问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 1 先猜后证是一种常见题型 2 归纳推理的一些常见形式 一是 具有共同特征型 二是 递推型 三是 循环型 周期性 八 类比法 例 14 已知正三角形内切圆的半径是高的 1 3 把这个结论推广到空间正四面体 类似的结论 用心 爱心 专心 6 是 解析 从方法的类比入手 解析 原问题的解法为等面积法 即hrarahS 3 1 2 1 3 2 1 类比问题的解法应为 等体积法 hrSrShV 4 1 3 1 4 3 1 即正四面体的内切球的半径是高 4 1 题后反思 1 不仅要注意形式的类比 还要注意方法的类比 2 类比推理常见的情形有 平面向 空间类比 低维向高维类比 等差数列与等比数列类比 实数集的性质向复数集的性质类比 圆锥曲线间的类比等 九 推理法 例 15 某校对文明班的评选设计了edcba 五个方面的多元评价指标 并通过经验公式样 ed c b a S 1 来计算各班的综合得分 S的值越高则评价效果越好 若某班在自测过程中 各项指标显示出abedc 0 则下阶段要把其中一个指标的值增加 1 个单位 而 使得S的值增加最多 那么该指标应为 填入edcba 中的某个字母 解析 从分式的性质中寻找 S 值的变化规律 解析 因edcba 都为正数 故分子越大或分母越小时 S 的值越大 而在分子都增加 1 的前提下 分母越小时 S 的值增长越多 abedc 0 所以 c 增大 1 个单位 会使得S的值增加最多 题后反思 此题的大前提是隐含的 需要经过思考才能得到 模拟演练 1 已知函数在上单调递减 在上单调递增 且52 3 xxxf 1 3 2 1 的导数记为 则下列结论中 正确的是 xf xf 是方程的根 1 是方程的根 有极小值 3 2 0 xf0 xf 1 f 有极大值 3 2 f5 0 a 2 设 m n 是异面直线 则 一定存在平面 使且 一定存在平面 m n 用心 爱心 专心 7 使且 一定存在平面 使 m n 到的距离相等 一定存在无数对平面 m n 和 使 上述四个命题中 正确命题的序号是 且nm 3 是虚单位 用的形式表示 i i 43 105 Rbabia 4 设 则的大小关系是 1 babba abab log log log 5 x y 中至少有一个小于 0 是 的 条件 0 yx 6 若记符号 表示求两个实数 a 与 b 的算术平均数的运算 即 则两边 2 ba ba 均含有运算符号 和 且对于任意 3 个实数 a b c 都能成立的一个等式可以是 7 设椭圆的右焦点为 F1 右准线为 若过 F1且垂直于 x 轴的 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 l 弦长等于点 F1到直线的距离 则椭圆的离心率是 1 l 8 设 其中为互相垂直的单位向量 又jima3 1 jmib 1 ji 则实数 m baba 9 如果函数对任意实数 t 都有 那么cbxxxf 2 2 2 tftf 的大小关系是 4 2 1 fff 10 过抛物线的焦点 F 作一直线与抛物线交于 P Q 两点 若线段 PF FQ 0 2 aaxy 的长分别为 p q 则 qp 11 11 椭圆的长轴的两端点为 M N 点 P 在椭圆上 则 PM 与 PN 的斜率之积为 1 34 22 yx 12 方程的实数解的个数是 xx 4 1 4 sin 13 不等式的解集为 4 b 则 a b 2 3 axx 14 已知函数在 3 3 上的最大值与最小值分别为 M m 812 3 xxxf 则 M m 15 已知集合 如 2 2 ymxxyxA 20 01 xyxyxB 用心 爱心 专心 8 果 则实数 m 的取值范围是 BA 16 定义在 R 上的函数是奇函数 且满足 则 xf 1 1 xf xf 7 6 5 4 3 2 1 fffffff 17 设 F1 F