珠海市2011年5月高三二模考试

1 珠海市 2011 年 5 月高三二模考试 理科数学试题答案 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 请在答题卡上填涂相应选项 1 已知 2 log1 Axx 函数 1 3 f x x 的定义域为B则 AB C A B 3 C 2 3 D 2 2 设正项等比数列 n a lg n a 成等差数列 公差 lg3d 且 lg n a 的前三项和为6lg3 则 n a 的通项为 B A lg3n B 3 n C 3n D 1 3n 3 已知直线 a b 和平面 M 则 ab的一个必要不充分条件是 D A aMbM B a MbM C aMbM D a b 与平面 M 成等角 4 函数 x xa y x 01 a 的图象的大致形状是 D 5 长方体 1111 ABCDABC D 中 E为 11 BC 的中点 AB a AD b DE c 则 1 BD A A 3 2 2 abc B 1 2 abc C a bc D 1 2 abc 6 如果实数 yx 满足 01 02 01 x yx yx 则目标函数 yxz 4 的最大值为 C A 2 B 3 C 2 7 D 4 7 台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动 离台风中心 30 千米内的地区为危险区 城市 B 在 A 的正东 40 千米处 B 城市处于危险区内的时间为 B A 0 5 小时 B 1 小时 C 1 5 小时 D 2 小时 8 对于任意实数x 符号 x 表示x的整数部分 即 x 是不超过x的最大整数 例如 2 2 1 2 2 2 2 3 这个函数 x 叫做 取整函数 它在数学本身和生产实践中有广泛的应用 那么 64 log 4 log 3 log 2 log 1 log 22222 的值为 C A 21B 76C 264D 642 x y O 1 1 B x y O 1 1 A x y O 1 1 C x y O 1 1 D 2 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 5 分 满分 30 分 其中 14 15 题是选做题 考生只能选做一题 两题全答的 只计算前一题得分 请将答案填在答题卡相应位置 9 ABC 中 2 2AB 5BC 0 45A B 为 ABC 中最大角 D为AC上一点 1 2 ADDC 则BD 5 10 调查某养殖场某段时间内幼崽出生的时间与性别的关系 得到下面的数据表 晚上白天 雄性2010 雌性921 从中可以得出幼崽出生的时间与性别有关系的把握有 99 参考公式 2 2 n adbc K ab cd ac bd 其中n abcd 11 3 0 2 9x 的值等于 4 9 12 阅读右图所示的程序框图 运行相应的程序 输出的结果是 cosx 13 用红 黄 蓝三种颜色之一去涂图中标号为 9 2 1 的9个小正方形 如右图 使得任意相邻 有公共边的 小正方形所涂颜色都不相同 且标号为 1 5 9 的小正方形涂相同的颜色 则符合条件的所有涂法共有 种 108 14 几何证明选讲选做题 如图所示 AB 是半径等于 3 的圆 O 的直径 CD 是圆 O 的弦 BA DC 的 延长线交于点 P 若 PA 4 PC 5 则 CBD 6 15 坐标系与参数方程选做题 圆心的极坐标 为 3 6 C 半径为 3 的圆的极坐标方程是 0 2 kKP 25 0 15 0 10 005 0 025 0 010 0 0 k 323 1 072 2 706 2 841 3 024 5 635 6 123 456 789 A O D C PB 开始 sinf xx 0k 2011k xf x f 1kk f x输出 结束 是 否 3 6cos 6 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 12 分 已知函 sin 0 f xx 的部分图象如图所示 1 求 的值 2 设 g 2 2 1 228 xx xff 当 0 2 x 时 求函数 g x 的值域 16 解 1 由图象知 4 24 T 则 2 2 T 2 分 由 0 1f 得 sin 1 即 2 kkz 4 分 2 6 分 2 由 1 知 sin 2 cos2 2 f xxx 7 分 g 2 2 12 2 cos cos 1 2284 xx xffxx 2 2 2 2cos cossin 12cos2sin cos1 2 xxxxxx cos2sin22sin 2 4 xxx 10 分 当 0 2 x 时 5 2 444 x 则 2 sin 2 1 42 x g x 的值域为 1 2 12 分 17 12 分 有 个大小重量相同的球 其中有 个红球 个蓝球 现在有放回地每次抽取一球 抽到一 个红球记 分 抽到一个蓝球记 1 分 1 表示某人抽取 次的得分数 写出 的分布列 并计算 的期望和方差 2 若甲乙两人各抽取 次 求甲得分数恰好领先乙 分的概率 17 解 3 113 其分布列为 311 3 P27 125 54 125 36 125 8 125 的期望是 2754368 31 1 3 125125125125 E 3 5 5 分 的方差是 2222 32735433638 3 1 1 3 5125512551255125 D 4 72 25 6 分 答 的期望是 3 5 的方差是 72 25 7 分 若 甲得分数恰好领先乙 分 为事件A 包含以下三个基本事件 即甲得 3 分乙得 1 分 甲得 1 分乙得 1 分或甲得 1 分乙得 3 分 9 分 则 27545436368738 1251251251251251253125 P A 11 分 答 甲得分数恰好领先乙 分的概率是 738 3125 12 分 18 14 分 在平面直角坐标系中 点 1 0 A 1 0 B 已知 2 2CA BC的垂直平分线l交 AC于D 当点C动点时 D点的轨迹图形设为E 1 求E的标准方程 2 2 1 2 x y 2 点P为E上一动点 点O为坐标原点 设 22 1POPA 求 的最大值 18 解 设 D xy l是BC的垂直平分线 DBDC 2 22 DBDAACAB D点的轨迹图形E是A B 为焦点的椭圆 3 分 其中2 2 2a 1c 2a 222 1bac 5 分 D点的轨迹图形E 2 2 1 2 x y 7 分 设 2 2 xyxP 则 22 2 yxPO 8 分 22 2 1 yxPF 9 分 2222 22 22 22 2 2 2 1 21 1 1 yx x yx yxx yx yx PO PA 10 分 点 yxP 满足 2 2 1 2 x y 2 1 2 2 x y 11 分 2 4 1 1 2 2 1 22 x x x x 12 分 当 0 x 时 1 当 0 x 时 设 xt 则 2 0 t t t t t 2 4 1 2 4 1 2 13 分 5 因为 22 2 t t 所以 21 当且仅当 2 t 时 即 2 x 时 取得最大值 21 14 分 19 14 分 如图 1 C是直径 2AB 的 OA 上一点 AD为 OA 的切线 A为切点 ACD 为等 边三角形 连接DO交AC于E 以AC为折痕将 ACD 翻折到图 的 ACP 位置 1 求证异面直线AC和PO互相垂直 2 若三棱锥P ABC 的体积为 6 6 求二面角A PCB 的正弦值 19 1 证明 等边三角形 ACD 中AD DC AD为 OA 的切线 A为切点 DO AC 且E为 AC中点 以AC为折痕将 ACD 翻折到图 的 ACP 位置时 仍有PE AC OE AC 2 分 AC 平面PEO 4 分 ACPO 5 分 2 解 在图 2 中 过P作PK EO 于K 连接 KAKBKC AC 平面PEO ACPK PK 平面 OA 7 分 PA PC KAKC 图 1 中 0 60DAC 2AB 为 OA 的直径 AD为 OA 的切线 A为切点 t RACB 中 AC ADDC 3APPC 1BC 1 136 3 266 P ABC VAC BC PKPK 8 分 2PK 1KAKC K O 重合 PO 平面 OA 10 分 3PAPBPC 1OAOBOCBC 过B作BF 平面PAC于F 过B作BG PC 于G 连接FG则PC 平面BFG FGPC BGF 就是二面角A PCB 的平面角 11 分 6 由三棱锥P ABC 的体积 2 6113 3 6334 P ABCPAC VBF SBF 得 2 2 3 BF 12 分 等腰三角形PBC中 33 6 BG 2 2 4 66 3 sin 3333 6 BF BGF BG 二面角APCB 的正弦值的正弦值为 4 66 33 14 分 20 14 分 设数列 an 为前 n 项和为 Sn 数列 bn 满足 bn nan 且数列 bn 的前 n 项和为 n 1 Sn 2n n N 1 求 a1 a2 的值 2 求证 数列 Sn 2 是等比数列 3 抽去数列 an 中的第 1 项 第 4 项 第 7 项 第 3n 2 项 余下的项顺序不变 组成一个新数列 cn 若 cn 的前 n 项和为 Tn 求证 12 5 Tn 1 Tn 11 3 20 解 1 由题意得 a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n 当 n 1 时 则有 a1 1 1 S1 2 解得 a1 2 当 n 2 时 则有 a1 2a2 2 1 S2 4 即 2 2a2 2 a2 4 解得 a2 4 3 分 2 由 a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n 得 a1 2a2 3a3 nan n 1 an 1 n Sn 1 2 n 1 得 n 1 an 1 nSn 1 n 1 Sn 2 4 分 即 n 1 Sn 1 Sn nSn 1 n 1 Sn 2 得 Sn 1 2Sn 2 Sn 1 2 2 Sn 2 5 分 由 S1 2 a1 2 4 0 知数列 Sn 2 是以 4 为首项 2 为公比的等比数列 6 3 由 2 知 Sn 2 4 2n 1 2 2n 1 2 当 n 2 时 an Sn Sn 1 2n 1 2 2n 2 2n 对 n 1 也成立 即 an 2n 数列 cn 为 22 23 25 26 28 29 它的奇数项组成以 4 为首项 公比为 8 的等比数列 偶 数项组成以 8 为首项 公比为 8 的等比数列 8 分 当 n 2k 1 k N 时 Tn c1 c3 c2k 1 c2 c4 c2k 2 22 25 23k 1 23 26 23k 3 1 8 1 8 1 8 k 8k 4 1 8k 1 8 5 7 12 7 Tn 1 Tn cn 1 8k 23k 8k 9 分 5 7 12 7 12 7 12 7 10 分 5 8k 12 28 3 11 分 Tn 1 Tn 12 8k 12 5 8k 12 12 5 84 5 5 8k 12 12 5 Tn 1 Tn 当 n 2k k N 时 Tn c1 c3 c2k 1 c2 c4 c2k 22 25 23k 1 23 26 23k 8k 12 分 4 1 8k 1 8 8 1 8k 1 8 12 7 12 7 Tn 1 Tn cn 1 8k 23k 2 8k 13 分 12 7 12 7 40 7 12 7 8k 1 7 Tn 1 Tn 40 8k 12 12 8k 12 10 3 7 3 8k 1 10 3 Tn 1 Tn 11 3 12 5 Tn 1 Tn 11 3 21 14 分 函数 2 2 111 1 ln 2 f xxxx aaa aR 7 1 当 1a 时 求 f x 的单调区间 2 当 0a 时 讨论 f x 的单调性 3 22 1 3ln2 2 g xb xx 当 2a 1 3x 时 g xf x 恒有解 求b的取值范围 21 解 2 111 1fxx aaax 2 11 1 xax axa 11 xa x axa 3 分 由题设知 0 x 1 1 1 aa a aa 1a 时 0fx 则 f x 的单减区间是 0 4 分 0 1a 时 1 0a a 即 1 0a a 则 f x 在 0 a 和 1 a 上单增 在 1 a a 上单减 5 分 1a 时 1 1a a 0fx 则 f x 在 0 上单增 6 分 1a 时 1 0a a 即 1 0a a 则 f x 在 1 0 a 和 a 上单增