湖北省公安县博雅中学高三数学《数列求和》方法小结

用心 爱心 专心1 数列求和方法小结数列求和方法小结 1 1 公式法 公式法 必须记住几个常见数列前 n 项和 等差数列 1 2 n n n aa S 等比数列 1 1 1 1 n n na S q q q 1 q 1 a 例例 1 1 已知数列 为等差数列 且 2 log 1 a nN 1 3 a 3 9a 1 求数列的通项公式 2 证明 n a 21 1 aa 32 1 aa 1 1 nn aa 1 1 2n 2 2 裂项法裂项法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 裂项法的实质是将数列中的每项 通项 分解 然后重新组合 使之能消去一些项 最终达到求和的目的通项分解 裂项 常用的裂项 1 11 1 1 nnnn 2 11 2 1 2 1 nnnn 1 1 1 nn nn 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 nnnnnnn 例例 2 2 求和 321 1 4321 1 321 1 21 1 1 Nn n 2 在数列中 又 求数列的前项的和 n a 12 1 1 1 n n a nnn 1 2 n nn b aa n bn 3 3 错位相错位相减法 减法 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法 这种方法主要用于求数列 an bn 的前 n 项和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 例例 3 3 求数列 1 3a 5a2 7a3 2n 1 an 1的前 n 项和 用心 爱心 专心2 练习 数列的前 n 项和 23 2n n n S 4 4 分组求和分组求和 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几个等 差 等比或常见的数列 然后分别求和 再将其合并即可 例例 4 4 1 求数列 2 的前 n 项之和 2 1 8 1 4 4 1 3 2 1 2 1 n n n S 2 数列 an 中 其前 n 项和 则 1 1 43 n n an n S 2211 SS 5 5 倒序求和 倒序求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法 就是将一个数列倒过来排列 反序 再把它与原数列相加 就可以得到 n 个具有相同因式的代数式 等差数列的求和公式就是用这种方法推 导出来的 例例 5 5 设 求和 x x 4 f x 4 2 122001 200220022002 Sfff 6 6 分段求和法求和例 分段求和法求和例 6 6 数列中 且满足 n a2 8 41 aa nnn aaa 12 2 Nn 求数列的通项公式 设 求 n a 12 nn Saaa n S 用心 爱心 专心3 设 是否存在最大的整数 使得 1 nN 12 n n b na 123 nN nn Tbbbb m 均有成立 若存在 求出的值 若不存在 说明理由 nN 32 n m T m 7 7 奇偶分析法求和 奇偶分析法求和 例 7 已知数列是由非负整数组成的数列 满足 n a 1 0a 2 3a n 3 4 5 112 2 2 nnnn aaaa 1 求 2 若 n 3 4 5 求数列的通项公式以及前 n 项和 3 a 2 2 nn aa n a n S 分析 抓住数列是由非负整数组成的数