数学建模论文 SARS传播模型的分析及对经济的影响.docVIP

洛阳师范学院本科毕业论文 SARS传播模型的分析及对经济的影响静摘 要：本文利用北京SARS疫情官方数据，采用BP神经网络模型进行预测分析，结果表明SARS疫情在5月上旬达到高潮期，大约5月底以后开始缓解，将在7月初得到基本的消除.在疫情爆发阶段，若延后5天后再采取严格的隔离措施，发现增加500个以上的病例，为此卫生部门应尽早采取控制措施.然后，利用北京市接待海外旅游人数采用乘积型季节性模型得出SARS影响北京市接待海外旅游人数大概缩减为正常时候的20%.由此得出对我国旅游产业破坏极大.关键词：SARS；BP神经网络模型；乘积型季节性模型；误差分析；MATLAB1 引言SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome），严重急性呼吸道综合症，俗称非典型肺炎.从2002年11月16日起，SARS在我国广东首先爆发，300人被感染，5人死亡；到2003年4月11日，全球已有2781人被感染，111人死亡，病死率为4.0%，已扩散到五大洲的19个国家(地区)，占全球206个国家(地区)的9.2%1.从历史比较看，SARS相比于其他恶性传染病，更具有发病急、传播快、病死率高、影响大的特点.而迅猛的经济全球化又加速了它的扩散和蔓延.北京大学中国经济研究中心和北京大学卫生政策与管理研究中心的研究报告预测我国对外旅游收入将减少50%-60%，损失为900亿元；全国的国内旅游收入将减少10%，损失500亿元；若再计算间接的经济影响，SARS对经济的影响总额将为2100亿元2.SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性.为此，我们选取北京市SARS疫情官方数据（附录）及北京市对外旅游人数（附录）建立模型进行研究.本文的研究问题的思路和方法也为研究其他的传染病提供了方向.2 数据符号说明根据疾病传播的特点及已给数据，为使模型的描述更为全面和符合实际，将北京市整个人群分为3易感者（健康者），SARS患者，疑似病例，治愈者（包括出院治愈者和因并死亡者），和非控制带菌者.：时刻易感者变为患者的感染率，；：时刻SARS患者的治愈率（包括死亡）；：时刻疑似病例变为确诊病例的转化率，；：疑似排除率，即；时刻易感者变为疑似病例的转化率，即；控制参数：每个非控带菌者被收治前平均每天感染人数；：被控带菌者感染的人中的可控比率；：非控带菌者每天被收治的比率；：神经元的输入；：神经元的输出；：步长调整的因子；3 基于SARS的统计分析我们将人群分为五大类，首先采用计算过程较简便且对疫情传染规律的预测具有较高准确率的BP神经网络模型.最后以北京入境旅游人数所受影响作为出发点采用乘积型季节性模型了解SARS对我国经济影响.3.1 BP神经网络模型理论及构造 神经网络的B-P算法(back-propagation training algorithm)4：多层感知器由输入层、隐含层(内部层)和输出层组成，隐含层可以是一层或多层.BP算法把网络的学习过程分为正向传播和反向传播两种交替过程.如果其中正向传播输出的误差平方和达不到预期的精度，则沿误差的负梯度方向修正各层神经元的权值和阈值，如此反复，直至网络全局误差平方和达到预期精度.输入层中任一神经元的输出为输入模式分量的加权和.设某一层中任一神经元的输入为，输出为，与这一层相邻的低一层中任一神经元的输出为.则有： (1) (2) 式 (1)，(2)中为神经元与神经元之间的连接权，为神经元的输出函数，取为函数，即： (3)式中为神经元的阈值，它影响输出函数水平方向的位置，用来修改输出函数的形状.设输出层第个神经元的实际输出为，输入为，与输出层相邻的隐含层中第个神经元的输出为，和分别为： (4) (5)对于一个输入模式，若输出层中第个神经元的期望输出为实际输出为则输出层的输出方差为： (6)若输入个模式，则网络的系统均方差为： (7)权值的修改应使系统方差最小.因此，应沿的负梯度方向变化.也就是说，当输入时，的修正量，应与成正比，即： (8) (9) 令，由式(5)和式(6)得： (10)又由式(2)和式(3)得： (11)因此有： (12) (13)对于与输出层相邻的阴含层中神经元和比该隐含层低一层中的神经元，权值训的修正量仍应为： (14) (15)如式(12)和式(15)所示，输出层中神经元的输出误差反向传播到前面各层，对各层之间的权值进行修正.B-P的具体算法5：1) 神经元阈值初始化，给所有权值和阈值以在(0，1)上分布的随机数；2) 输入样本模式，指定输出层各神经元的期望输出值；3) 依次计算每层神经元的实际输出，直到计算机输出层各神经元的实际输出，各神经元的实际输出根据式(3)计算；4) 修正每个权值.从输出层开始，逐步向前递推，直到第一隐含层.递推公式如下： (16)式中是步长调整的因子，.如果神经元是输出层一个神经元，则由公式(12)计算；如果神经元是隐含层的一个神经元，则由公式(15)计算.如果权值按式(17)修正，收敛会更快，且权值会平滑的变化，即： (17)式中是平滑因子，.若把神经元阈值当成一个权值，相应的输入模式增加一个分量，则阈值可用调整权值的方法调整.5) 从2)循环执行，直到权值稳定为止.首先建立SARS传染病网络模型，图3-1为7个神经元的神经网络模型.采用7个神经元的两层前向神经网络来预测与分析SARS传染病的流行趋势.输入层为一个神经元，输入变量为天，考虑到疫情发展情况与：易感染者变为患者的感染率，：SARS患者的治愈率，：疑似病例变为确诊病例的转化率，：疑似排除率，：易感染者变为疑似病例得转化率，这五个因素有关所以设隐含层为5个神经元，输出层为一个神经元.输出变量为SARS传染病每天的已确诊病例累计、现有疑似病例、死亡累计、治愈出院累计等.1 2 3 4 5 6 7 图3-1 7个神经元的神经网络模型因为神经网络的BP算法的输出函数为函数，因此输出值在0与1之间.所以在用上述神经网络模型对SARS传染病的各参数进行模拟学习时，需先将各参数单位化，然后在用神经网络的BP算法对各参数进行学习，修正权值，直到权值稳定为止.然后，利用MATLAB软件6画出已确诊病例累计数，现有疑似病例数，死亡累计例数和治愈出院累计例数随时间变化图像. 图3-2 已确诊病例累计数随 图3-3 现有疑似病例数随 时间变化图像 时间变化图像 图3-4 死亡累计例数随 图3-5 治愈出院累计例数随时间变化图像 时间变化图像表3-1 北京市疫情各衡量指标随时间变化误差分析日期已确诊病例累计数相对误差现有疑似病例数相对误差死亡累计例数相对误差治愈出院累计例数相对误差4月21日0.03370.08280.08370.13384月23日0.01430.02760.12440.00874月25日0.011360.02260.00260.02724月27日0.01680.05210.01880.01174月29日0.02760.00450.04510.01975月1日0.01810.01870.00830.02565月3日0.00790.01570.01840.01535月5日0.00490.01650.00260.03235月7日0.00340.00140.00110.0110(上表列举了所得结果的部分内容，全部内容见附件）其次，由表3-1（北京市疫情各衡量指标随时间变化误差分析）.可知预测的各类人群数相对误差较小，说明该模型的预测精度较高，预测程度好.最后，预测分析： 由图3-2（已确诊病例累计数随时间变化图像）可见，从5月20号以后曲线趋于平坦，北京累计发病人数最高超过2500.由图3-3（现有疑似病例数随时间变化图像）可见，预测北京市每天疑似病人数高峰期为5月上旬，高峰期人数超过1500，以后下降很快，到6月中旬以后可下降至零.由图3-4（死亡累计例数随时间变化图像）可见，从5月底以后曲线趋于平坦，北京市累计死亡病人数最高可达191左右.为此得到，SARS疫情在5月上旬达到高潮期，即图中曲线上升最快到开始平缓的过渡时期；疫情大约5月底以后开始缓解；因此，北京的SARS疫情将在7月初得到基本的消除，即疫情的最终控制期.若延后5天采取严格的隔离措施，分别画出延后5天采取严格措施的易感者人数预测曲线、疑似病例数预测曲线、感染者数的预测曲线的变动图像.图3-6 易感者人数预测曲线图3-7 疑似病例数预测曲线图3-8 感染者数的预测曲线由此可以看出按照我们提出的模型，提前采取严格的隔离措施：1) 能极大程度的减少感染者人数（600以上）；2) 能有效缩短传染病的持续时间；3) 能有效的控制疫情的发展，这和实际情况是相同的.由实际数据知，在疫情爆发阶段，每隔5天就会增加500个以上的病例，这个数目是很大的，卫生部门应尽早地采取控制措施.3.2 SARS对北京旅游人数的影响3.2.1 乘积型季节性模型理论及应用由季节性因素或其它周期因素引起的周期性变化的时间序列，我们称为季节性时间序列，相应的模型为季节性模型7.设为一正整数.一个时间序列 如果满足下列模型： (1)其中一般不必是白噪声则称是周期为的季节性序列.其中： (2) (3) (4) (5) (6)其中是由原来序列经差分得到的，目的消除原来序列的非平稳性（即趋势性）与季节性（周期性）.则称为乘积型季节性模型8.经过近年经济的发展，中国旅游业得到很大发展.由于其综合经济效益高，产业带动能力强，吸引就业效应大，现已逐步成为中国经济发展中的一大支柱产业.但旅游业对外部环境依赖性强，反应敏感，经济危机、自然灾害、疫情等都有可能引发旅游业危机，随着社会的发展，人们选择旅游目的地时，已经把出游安全作为一项最重要的考察因素.由于疫情通常通过日常生活与人类相关，因此影响游客对自身安全保障的信心，从而对旅游业产生影响.2003年爆发的SARS无疑给中国的旅游业造成重大损失，为了确切了解其影响，为此我们以1997年至2001年北京入境旅游人数为数据源建立模型，预测出2002年人数.如果预测值与真实值在误差允许的范围内成立，则可以预测出在没有疫情影响的情况下2003年SARS爆发以后的旅游人数.表3-2 北京市接待海外旅游人数（单位：万人）年1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月19971998199920002001200220039.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.69.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.910.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6 16.511.4 26.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.8 18.511.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.713.7 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.9 15.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2图3-9 旅游人数时序图图3-10 样本观测值的自相关和偏自相关表3-3 旅游人数单位根检验结果Null Hypothesis: SER01 has a unit rootExogenous: ConstantLag Length: 11 (Automatic based on AIC， MAXLAG=11)t-StatisticProb.*Augmented Dickey-Fuller test statistic0.5851120.9882Test critical values:1% level-3.5440635% level-2.91086010% level-2.593090通过时序图3-9和从样本观测值的自相关和偏自相关图3-10中不难发现在2003年SARS爆发以前每年的5月至10月旅游人数比其他月份人数多并且是经过=12个基本时间间隔后呈现出相似性，就说序列表现出以为周期的周期特性.所以可以认为其序列为季节时间性序列，其中为周期长度，一个周期所包含的时间点称为周期点.季节变动的存在，一定程度上会掩盖时间序列短期的基本变动，可能会造成深入研究和正确解释时间序列变动规律的困难.从表3-3北京对外旅游人数单位根检验结果中可以得出单位根统计量ADF=0.585112，1% level临界-3.544063，5% level临界值为-2.910860，10% level临界值为-2.593090.ADF都大于EVIEWS软件给出的显著性水平1%-10%的ADF临界值，所以接受原假设，该序列是非平稳的.为此采用乘积型季节性模型.首先，建立时间序列并且用单位根检验方法来检验序列的平稳性.为此先对原数据进行取对数，再进行对，差分运算，来消除原来序列的非平稳性（即趋势性）与季节性（周期性），接着利用EVIEWS软件检验序列.表3-4 单位根检验结果t-StatisticProb.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-8.0703190.0000Test critical values:1% level-3.5348685% level-2.90692310% level-2.591006Adjusted R-squared0.548117S.D. dependent var0.510880Sum squared resid7.312337Schwarz criterion0.845717Log likelihood-21.22421Hannan-Quinn criter.0.784957F-statistic39.81480Durbin-Watson stat2.040998Prob(F-statistic)0.000000利用EVIEWS软件得到表3-4单位根检验结果中可知，单位根统计量ADF为-8.070319，1% level临界值为-3.534868，5% level临界值为-2.906923，10% level临界值为-2.591006.ADF都小于EVIEWS软件给出的显著性水平1%-10%的ADF临界值，所以拒绝原假设，故可以认为差分的序列具有平稳性.图3-11 差分后样本观测值的自相关和偏自相关然后，考察时间序列的自相关图和偏自相关图的性质确定模型类型和阶数并估计参数.如果样本（偏）自相关系数在最初的阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎95的自相关系数都落在2倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然.这时，通常视为（偏）自相关系数截尾，截尾阶数为阶.由图3-11（的自相关和偏自相关图）可知的自相关图显示除了延迟2阶的自相关系数显著大于2倍标准差之外，其它的自相关系数都在2倍标准差范围内作小值随机波动，而且由非零相关系数衰减为小值波动的过程非常突然，所以该自相关系数可视为2阶截尾.偏自相关图显示延迟2阶之后，偏相关系数全部衰减到2倍标准差范围内波动，这表明序列明显地短期相关.但序列由显著非零的相关系数衰减为小值波动的过程相当连续，相当缓慢，该偏自相关系数可视为不截尾.所以由表3-5模型定阶，我们可以采用MA(2)的模型：.由表3-6参数估计，我们可以得到.它们所对应的统计量的检验的值小于5%，所以拒绝原假设，参数估计显著.表3-5 模型定阶自相关系数偏自相关系数模型定阶拖尾阶截尾AR（）阶截尾拖尾MA（）拖尾拖尾ARMA（，）表3-6 参数估计Dependent Variable: SER01Method: Least SquaresMA Backcast: 1996M11 1996M12VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C0.0024580.0040070.6133330.0001MA(1)-0.6992220.133001-5.2572650.0030MA(2)-0.1025830.134127-0.7648180.0006R-squared0.343629Mean dependent var0.001346Adjusted R-squared0.320187S.D. dependent var0.171144S.E. of regression0.141109Akaike info criterion-1.02905最后检验，统计量=0.2853，的临界值为3.7882，小于临界值所以模型通过.因此，我们进行模型预测2002年数据.表3-7 预测结果时间真值（万）预测值（万）残差2002年1月13.711.565802002年2月29.726.541-0.09762002年3月23.120.5013-0.00322002年4月28.926.2198-0.05512002年5月2929.0218-0.05472002年6月27.428.1074-0.14912002年7月2625.2872-0.01662002年8月32.230.895-0.10082002年9月31.428.77780.07732002年10月32.628.16560.07422002年11月29.222.2435-0.13442002年12月22.920.73280.1183对比发现误差较小故可以以此预测出在没有SARS影响下2003年每月旅游人数，并与真实值进行对比.得到5月北京市接待海外旅游人数受SARS影响最大，大概减少26万人，与经过我们统计分析5月SARS达到高峰期吻合.而其它月份最低减少大概13万.旅游人数大概减少93万，知SARS影响北京市接待海外旅游人数大概缩减为正常时候的20%.由此得出对我国旅游产业破坏极大.表3-8 没有SARS影响下预测值与真实值对比时间真值（万）预测值（万）残差2003年4月11.625.380813.78082003年5月1.7828.082626.30262003年6月2.6127.187624.57762003年7月8.824.450515.65052003年8月16.229.861613.66164 结论通过统计分析，我们可以清晰地了解到SARS病情是如何开始并发展的，找到疫情的发展规律，预测出疫情的发展趋势，使得政府和卫生部门不再盲目行动，直接面对问题的根本，从传染的源头着手，对带菌者进行及时的隔离治疗，必要时采取强制性措施，控制疾病的传播，尽早的消除传染病情对各方面的影响，恢复群众正常的生活秩序.也使得人们对传染病有了深刻认识，加强人们对传染病的自我防范意识.事实证明，我们应该依靠这样的方法，面对更多的困难，接受更多的挑战.经过这次与SARS的战斗，我们得到了大量的经验与教训，在遇到其他传染疾病的时候，通过科学有效的数学分析，沉稳应对各类传染病.所以我们应该要相信科学，依靠科学，并且要拥有一颗战胜一切的决心，与传染病抗争，与自然抗争.参考文献1 任淑敏.非典型肺炎的研究现状与进展J.济宁医学院学报，2003，10(1)：1-2. 2 胡鞍钢.正确认识SARS危机J.民主与科学，2003，1(3)：4-5.3 郭清.SARS防制策略实证分析突发公共卫生事件防制策略研究之一J.中国初级卫生保健，2003，6(3)：5-6.4 周建春.采用BP神经网络反演隧道围岩力学参数J.岩石力学与工程学报，2004，23(6)：941-945.5 马锐.人工神经的原理M.北京：机械工业出版社，2010.6 刘卫国.MATLAB程序设计教程（第二版）M.北京：中国水利水电出版社，2009.7 杨位钦.时间序列分析与动态数据建模M.北京：北京工业学院出版社，1986.8 王文昌.季节性时间序列资料预测的半参数回归模型J.中国卫生统计，1997，14(6)：4-6.Analysis of SARS Propagation Model and the Impact on the EconomyNIE Wen-JingCollege of Mathematics Science No：100444019 Tutor: NIE Shu-YuanAbstract: This paper takes advantage of the official date of SARS epidemic in Beijing, and uses the BP neural network model for forecasting and analysis. The result shows that the SARS epidemic reaches climax in early May. The situation begins to be alleviated. Then the SARS epidemic will get the basic elimination in early July. On the outbreak period, if the delay of 5 days and then take isolation measures, it will add more than 500 cases. Healthy department should take measures to control this epidemic as early as possible. Then, when the Product seasonal model is taken, by analyzing the number of overseas visitors reception, it can be concluded that the number of overseas tourism arrivals are reducing to 20% of the normal time affected by the SARS. The conclusion shows that SARS has a serious damage to the tourism industry of our country.Key Words：SARS; BP neural network model; Product seasonal model; error analysis; MATLAB附录表1 北京SARS疫情官方数据北京临床诊断病例 出院人数 死亡人数 疑似病例时间新增累计新增累计新增累计新增排除合计5月3日114174161155961043114935月4日69180331184100902015375月5日98189731213103653415105月6日701960131344107803015235月7日97204971413110974915145月8日942136111522112805114865月9日482177161682114548714255月10日54222771752116454913975月11日422265111864120511614115月12日482304172039129484213785月13日482347412445134354113385月14日39237082525139516313085月15日27238852571140412013175月16日282405162731141437312655月17日192420343074145414312505月18日172434253322147322412505月19日72437173493150272412495月20日122444463954154173112255月21日82444524472156343112215月22日152456815282158222712055月23日152465545822160172911795月24日262490856673163194011345月25日132499377044167163511055月26日52504437471168205210695月27日92512818284172116810055月28日3251438866317515799415月29日3251762928117661418035月30日6252078100611776447605月31日1252181108741816187476月1日1252237112401814117396月2日0252233115701816117346月3日2252232118901812107246月4日025227412630181287186月5日025225813210181137166月6日025228214032183257136月7日125234314460183247668（缺省值表示暂无数据）表3-1北京市疫情各衡量指标随时间变化误差分析 日期已确诊病例累计数相对误差现有疑似病例数相对误差死亡累计例数相对误差治愈出院累计例数相对误差4月21日0.03370.08280.08370.13384月23日0.01430.02760.12440.00874月25日0.011360.02260.00260.02724月27日0.01680.05210.01880.01174月29日0.02760.00450.04510.01975月1日0.01810.01870.00830.02565月3日0.00790.01570.01840.01535月5日0.00490.01650.00260.03235月7日0.00340.00140.00110.01105月9日0.00090.00790.00580.02895月11日0.00050.02010.01390.01435月13日0.00580.02430.02250.05305月15日0.00240.04160.00340.02825月17日0.00120.00600.00370.05795月19日0.00180.00420.00450.04895月21日0.00590.00360.00660.00215月23日0.00210.00810.00640.04645月25日0.00300.00120.00110.00435月27日0.00000.02860.00120.03585月29日0.00040.02900.00200.00965月31日0.00100.00010.01430.01436月2日0.00060.00520.00360.00146月4日0.00020.00430.00360.01016月6日0.00010.01330.00210.02076月8日0.00030.05230.00260.00036月10日0.00030.02130.00700.00056月12日0.00020.03550.00350.00776月14日0.00000.79100.00420.00806月16日0.00020.12290.00180.00456月18日0.00000.38330.00270.0195模型B-P神经网络模型程序：n1 =n(1:2:65); x1 =x(1:2:65); n2 =n(2:2:64); x2 = x(2:2:64); xn_train = n1; % 训练样本，每一列为一个样本 dn_train = x1; % 训练目标，行向量 xn_test = n2; % 测试样本，每一列为一个样本 dn_test = x2; % 测试目标，行向量 %- % 函数接口赋值 NodeNum = 5; % 隐层节点数 TypeNum = 1; % 输出维数 p1 = xn_train; % 训练输入 t1 = dn_train; % 训练输出 Epochs = 1000; % 训练次数 P = xn_test; % 测试输入 T = dn_test; % 测试输出(真实值) %- % 设置网络参数 %TF1 = tansig;TF2 = purelin; % 缺省值 %TF1 = tansig;TF2 = logsig; TF1 = logsig;TF2 = purelin; %TF1 = tansig;TF2 = tansig; %TF1 = logsig;TF2 = logsig; % TF1 = purelin;TF2 = purelin; net = newff(minmax(p1),NodeNum TypeNum,TF1 TF2,trainlm); % 指定训练参数 %net.trainFcn = trainlm; % 内存使用最多（快） %net.trainFcn = trainbfg; %net.trainFcn = trainrp; % 内存使用最少（慢） %net.trainFcn = traingda; % 变学习率 %net.trainFcn = traingdx; net.trainParam.epochs = Epochs; % 最大训练次数 net.trainParam.goal = 1e-8; % 最小均方误差 net.trainParam.min_grad = 1e-20; % 最小梯度 net.trainParam.show = 200; % 训练显示间隔 net.trainParam.time = inf; % 最大训练时间 %- % 训练与测试 net = train(net,p1,t1); % 训练 X0 = sim(net,P); % 测试 - 输出为预测值 X=postmnmx(X0,mint,maxt); X2=postmnmx(x2,mint,maxt);n2=postmnmx(n2,minp,maxp);%-%- % 产生训练样本与测试样本 m1 =n(1:2:65); y1 = x(1:2:65); m2 =n(2:2:64); y2 = x(2:2:64); xn_train = m1; % 训练样本，每一列为一个样本 dn_train = y1; % 训练目标，行向量 xn_test = m2; % 测试样本，每一列为一个样本 dn_test = y2; % 测试目标，行向量 %- % 函数接口赋值 NodeNum = 5; % 隐层节点数 TypeNum = 1; % 输出维数 p1 = xn_train; % 训练输入 t1 = dn_train; % 训练输出 Epochs = 1000; % 训练次数 P = xn_test; % 测试输入 T = dn_test; % 测试输出(真实值) %- % 设置网络参数 %TF1 = tansig;TF2 = purelin; % 缺省值 %TF1 = tansig;TF2 = logsig; TF1 = logsig;TF2 = purelin; %TF1 = tansig;TF2 = tansig; %TF1 = logsig;TF2 = logsig; % TF1 = purelin;TF2 =