相似三角形难题集锦含答案VIP

一 相似三角形中的动点问题一 相似三角形中的动点问题 1 1 如图 在如图 在 Rt ABCRt ABC 中 中 ACB 90 ACB 90 AC 3AC 3 BC 4BC 4 过 过 点点 B B 作射线作射线 BB1 ACBB1 AC 动点 动点 D D 从点从点 A A 出发沿射线出发沿射线 ACAC 方向方向 以每秒以每秒 5 5 个单位的速度运动 同时动点个单位的速度运动 同时动点 E E 从点从点 C C 沿射线沿射线 ACAC 方向以每秒方向以每秒 3 3 个单位的速度运动 过点个单位的速度运动 过点 D D 作作 DH ABDH AB 于于 H H 过点 过点 E E 作作 EF ACEF AC 交射线交射线 BB1BB1 于于 F F G G 是是 EFEF 中点 中点 连接连接 DGDG 设点 设点 D D 运动的时间为运动的时间为 t t 秒 秒 1 1 当 当 t t 为何值时 为何值时 AD ABAD AB 并求出此时 并求出此时 DEDE 的长度 的长度 2 2 当 当 DEG DEG 与与 ACB ACB 相似时 求相似时 求 t t 的值 的值 2 2 如图 在如图 在 ABC ABC 中 中 ABCABC 90 90 AB 6mAB 6m BC 8mBC 8m 动点动点 P P 以以 2m s2m s 的速度从的速度从 A A 点出发 沿点出发 沿 ACAC 向点向点 C C 移移 动 同时 动点动 同时 动点 Q Q 以以 1m s1m s 的速度从的速度从 C C 点出发 沿点出发 沿 CBCB 向向 点点 B B 移动 当其中有一点到达终点时 它们都停止移移动 当其中有一点到达终点时 它们都停止移 动 设移动的时间为动 设移动的时间为 t t 秒 秒 1 1 当当 t 2 5st 2 5s 时 求时 求 CPQ CPQ 的面积 的面积 求求 CPQ CPQ 的面积的面积 S S 平方米 关于时间 平方米 关于时间 t t 秒 的函数 秒 的函数 解析式 解析式 2 2 在 在 P P Q Q 移动的过程中 当移动的过程中 当 CPQ CPQ 为等腰三角形时 为等腰三角形时 求出求出 t t 的值 的值 3 3 如图如图 1 1 在 在 Rt ABCRt ABC 中 中 ACBACB 90 90 ACAC 6 6 BCBC 8 8 点 点 D D 在边在边 ABAB 上运动 上运动 DEDE 平分平分CDBCDB 交交 边边 BCBC 于点于点 E E EM BDEM BD 垂足为 垂足为 M M EN CDEN CD 垂足为 垂足为 N N 1 1 当 当 ADAD CDCD 时 求证 时 求证 DE ACDE AC 2 2 探究 探究 ADAD 为何值时 为何值时 BME BME 与与 CNE CNE 相似 相似 4 4 如图所示 在如图所示 在 ABC ABC 中 中 BABA BCBC 20cm20cm ACAC 30cm30cm 点 点 P P 从从 A A 点出发 沿着点出发 沿着 ABAB 以每秒以每秒 4cm4cm 的速度向的速度向 B B 点运动 同时点点运动 同时点 Q Q 从从 C C 点出发 沿点出发 沿 CACA 以每秒以每秒 3cm3cm 的速度向的速度向 A A 点运动 当点运动 当 P P 点到达点到达 B B 点时 点时 Q Q 点随之点随之 停止运动 设运动的时间为停止运动 设运动的时间为 x x 1 1 当 当 x x 为何值时 为何值时 PQ BCPQ BC 2 2 APQ APQ 与与 CQB CQB 能否相似 若能 求出能否相似 若能 求出 APAP 的长 的长 若不能说明理由 若不能说明理由 5 5 如图 在矩形如图 在矩形 ABCDABCD 中 中 AB 12cmAB 12cm BC 6cmBC 6cm 点 点 P P 沿沿 ABAB 边从边从 A A 开始向点开始向点 B B 以以 2cm s2cm s 的速度移动 点的速度移动 点 Q Q 沿沿 DADA 边从点边从点 D D 开始向开始向 点点 A A 以以 1cm s1cm s 的速度移的速度移 动 如果动 如果 P P Q Q 同时出发 用同时出发 用 t t s s 表示移动的时间 表示移动的时间 0 0 t t 6 6 1 1 当 当 t t 为何值时 为何值时 QAP QAP 为等腰直角三角形 为等腰直角三角形 2 2 当 当 t t 为何值时 以点为何值时 以点 Q Q A A P P 为顶点的三角形为顶点的三角形 与与 ABC ABC 相似 相似 二 构造相似辅助二 构造相似辅助 线线 双垂直模型双垂直模型 6 6 在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOyxOy 中 点中 点 A A 的坐标为的坐标为 2 2 1 1 正比例函数正比例函数 y kxy kx 的图象与线段的图象与线段 OAOA 的夹角是的夹角是 45 45 求这个正比例函数的表达式 求这个正比例函数的表达式 7 7 在在 ABC ABC 中 中 AB AB AC 4AC 4 BC 2BC 2 以 以 ABAB 为边在为边在 C C 点的异侧作点的异侧作 ABD ABD 使使 ABD ABD 为等腰直角三角形 为等腰直角三角形 求线段求线段 CDCD 的长 的长 8 8 在在 ABC ABC 中 中 AC BCAC BC ACB 90 ACB 90 点 点 M M 是是 ACAC 上的一上的一 点 点点 点 N N 是是 BCBC 上的一点 沿着直线上的一点 沿着直线 MNMN 折叠 使得点折叠 使得点 C C 恰好落在边恰好落在边 ABAB 上的上的 P P 点 求证 点 求证 MCMC NC APNC AP PBPB 9 9 如图 在直角坐标系中 矩形如图 在直角坐标系中 矩形 ABCOABCO 的边的边 OAOA 在在 x x 轴上 轴上 边边 OCOC 在在 y y 轴上 点轴上 点 B B 的坐标为 的坐标为 1 1 3 3 将矩形沿对角 将矩形沿对角 线线 ACAC 翻折翻折 B B 点落在点落在 D D 点的位置 且点的位置 且 ADAD 交交 y y 轴于点轴于点 E E 那么 那么 D D 点的坐标为 点的坐标为 A A B B C C D D 10 10 已知 如图 直线已知 如图 直线 y 2xy 2x 2 2 与坐标轴交于与坐标轴交于 A A B B 两点 以两点 以 ABAB 为短边在第一象限做一个矩形为短边在第一象限做一个矩形 ABCDABCD 使得 使得 矩形的两边之比为矩形的两边之比为 1 21 2 求求 C C D D 两点的坐标 两点的坐标 三 构造相似辅助线三 构造相似辅助线 A A X X 字型字型 11 11 如图 如图 ABC ABC 中 中 D D 是是 ABAB 上一点 上一点 AD ACAD AC BCBC 边上的边上的 中线中线 AEAE 交交 CDCD 于于 F F 求证 求证 12 12 四边形四边形 ABCDABCD 中 中 ACAC 为为 ABAB ADAD 的比例中项 且的比例中项 且 ACAC 平分平分 DAB DAB 求证 求证 13 13 在梯形在梯形 ABCDABCD 中 中 AB CDAB CD ABAB b b CDCD a a E E 为为 ADAD 边上的任意一点 边上的任意一点 EF ABEF AB 且 且 EFEF 交交 BCBC 于点于点 F F 某同学在研究这一问题时 发现如下事实 某同学在研究这一问题时 发现如下事实 1 1 当当时 时 EF EF 2 2 当当时 时 EF EF 3 3 当当时 时 EF EF 当 当时 参照上时 参照上 述研究结论 请你猜想用述研究结论 请你猜想用 a a b b 和和 k k 表示表示 EFEF 的一般的一般 结论 并给出证明 结论 并给出证明 14 14 已知 如图 在已知 如图 在 ABC ABC 中 中 M M 是是 ACAC 的中点 的中点 E E F F 是是 BCBC 上的两点 且上的两点 且 BEBE EFEF FCFC 求求 BNBN NQNQ QMQM 15 15 证明 证明 1 1 重心定理 三角形顶点到重心的距 重心定理 三角形顶点到重心的距 离等于该顶点对边上中线长的离等于该顶点对边上中线长的 注 重心是三角 注 重心是三角 形三条中线的交点 形三条中线的交点 2 2 角平分线定理 三角形 角平分线定理 三角形 一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的 两邻边对应成比例 两邻边对应成比例 四 相似类定值问题四 相似类定值问题 16 16 如图 在等边如图 在等边 ABC ABC 中 中 M M N N 分别是边分别是边 ABAB ACAC 的中的中 点 点 D D 为为 MNMN 上任意一点 上任意一点 BDBD CDCD 的延长线分别交的延长线分别交 ACAC ABAB 于点于点 E E F F 求证 求证 17 17 已知 如图 梯形已知 如图 梯形 ABCDABCD 中 中 AB DCAB DC 对角线 对角线 ACAC BDBD 交于交于 O O 过 过 O O 作作 EF ABEF AB 分别交分别交 ADAD BCBC 于于 E E F F 求证 求证 18 18 如图 在如图 在 ABC ABC 中 已知中 已知 CDCD 为边为边 ABAB 上的高 正方形上的高 正方形 EFGHEFGH 的的 四个顶点分别在四个顶点分别在 ABC ABC 上 上 求证 求证 19 19 已知 在已知 在 ABC ABC 中作内接菱形中作内接菱形 CDEFCDEF 设菱形的边 设菱形的边 长为长为 a a 求证 求证 五 相似之共线线段的比例问题五 相似之共线线段的比例问题 20 20 1 1 如图 如图 1 1 点 点在平行四边形在平行四边形 ABCDABCD 的对角线的对角线 BDBD 上 一直线过点上 一直线过点 P P 分别交分别交 BABA BCBC 的延长线于点的延长线于点 Q Q S S 交 交于点于点 求证 求证 2 2 如图 如图 2 2 图 图 3 3 当点 当点在平行四边形在平行四边形 ABCDABCD 的对的对 角线角线或或的延长线上时 的延长线上时 是否仍是否仍 然成立 若成立 试给出证明 若不成立 试说明然成立 若成立 试给出证明 若不成立 试说明 理由 要求仅以图理由 要求仅以图 2 2 为例进行为例进行 证明或说明 证明或说明 21 21 已知 如图 已知 如图 ABC ABC 中 中 ABAB ACAC ADAD 是中线 是中线 P P 是是 ADAD 上一点 过上一点 过 C C 作作 CF ABCF AB 延长 延长 BPBP 交交 ACAC 于于 E E 交 交 CFCF 于于 F F 求证 求证 BP2BP2 PE PFPE PF 22 22 如图 已知如图 已知ABCABC 中 中 ADAD BFBF 分别为分别为 BCBC ACAC 边上的高 过边上的高 过 D D 作作 ABAB 的垂线交的垂线交 ABAB 于于 E E 交 交 BFBF 于于 G G 交 交 ACAC 延长线于延长线于 H H 求证 求证 DE2 EG EHDE2 EG EH 23 23 已知如图 已知如图 P P 为平行四为平行四 边形边形 ABCDABCD 的对角线的对角线 ACAC 上一点 过上一点 过 P P 的直线与的直线与 ADAD BCBC CDCD 的延长线 的延长线 ABAB 的延长线分别相交于点的延长线分别相交于点 E E F F G G H H 求证 求证 24 24 已知 如图 锐角已知 如图 锐角 ABC ABC 中 中 AD BCAD BC 于于 D D H H 为垂心为垂心 三角形三条高线的交点 三角形三条高线的交点 在在 ADAD 上有一点上有一点 P P 且 且 BPC BPC 为直角 求证 为直角 求证 PD2PD2 AD DHAD DH 六 相似之等积式类型六 相似之等积式类型 综合综合 25 25 已知如图 已知如图 CDCD 是是 Rt ABCRt ABC 斜斜 边边 ABAB 上的高 上的高 E E 为为 BCBC 的中点 的中点 EDED 的延长线交的延长线交 CACA 于于 F F 求证 求证 2626 如图 在如图 在 Rt ABCRt ABC 中 中 CDCD 是斜边是斜边 ABAB 上的高 点上的高 点 M M 在在 CDCD 上 上 DH BMDH BM 且与且与 ACAC 的延的延 长线交于点长线交于点 E E 求证 求证 1 1 AED CBM AED CBM 2 2 27 27 如图 如图 ABC ABC 是直角三角形 是直角三角形 ACB 90 ACB 90 CD ABCD AB 于于 D D E E 是是 ACAC 的中点 的中点 EDED 的延长线与的延长线与 CBCB 的延长线交于的延长线交于 点点 F F 1 1 求证 求证 2 2 若 若 G G 是是 BCBC 的中点 连接的中点 连接 GDGD GDGD 与与 EFEF 垂直吗 并垂直吗 并 说明理由说明理由 28 28 如图 四边形如图 四边形 ABCDABCD DEFGDEFG 都是正方形 连接都是正方形 连接 AEAE CG AECG AE 与与 CGCG 相交于点相交于点 M M CGCG 与与 ADAD 相交于点相交于点 N N 求 求 证 证 29 29 如图 如图 BDBD CECE 分别是分别是 ABC ABC 的两边上的高 过的两边上的高 过 D D 作作 DG BCDG BC 于于 G G 分别交 分别交 CECE 及及 BABA 的延长线于的延长线于 F F H H 求证 求证 1 1 DG2DG2 BG CGBG CG 2 2 BG CGBG CG GF GHGF GH 七 七 相似基本模型应用相似基本模型应用 30 ABC30 ABC 和和 DEF DEF 是两个等腰直角三角形 是两个等腰直角三角形 A D 90 A D 90 DEF DEF 的顶点的顶点 E E 位于边位于边 BCBC 的中点上 的中点上 1 1 如图 如图 1 1 设 设 DEDE 与与 ABAB 交于点交于点 M M EFEF 与与 ACAC 交于点交于点 N N 求证 求证 BEM CNE BEM CNE 2 2 如图 如图 2 2 将 将 DEF DEF 绕点绕点 E E 旋转 使得旋转 使得 DEDE 与与 BABA 的延长线交于点的延长线交于点 M M EFEF 与与 ACAC 交于点交于点 N N 于是 除 于是 除 1 1 中的一对相似三角形 中的一对相似三角形 外 能否再找出一对相似外 能否再找出一对相似 三角形并证明你的结论 三角形并证明你的结论 31 31 如图 四边形如图 四边形 ABCDABCD 和四边形和四边形 ACEDACED 都是平都是平 行四边形 点行四边形 点 R R 为为 DEDE 的中点 的中点 BRBR 分别交分别交 ACAC CDCD 于点于点 P P Q Q 1 1 请写出图中各对 请写出图中各对 相似三角形 相似比为相似三角形 相似比为 1 1 除外 除外 2 2 求 求 BPBP PQPQ QRQR 32 32 如图 在如图 在 ABC ABC 中 中 AD BCAD BC 于于 D D DE ABDE AB 于于 E E DF ACDF AC 于于 F F 求证 求证 答案 答案 1 1 答案 解 答案 解 1 1 ACB 90 ACB 90 AC 3AC 3 BC 4BC 4 AB 5 AB 5 又又 AD AB AD AB AD 5tAD 5t t 1 t 1 此时 此时 CE 3CE 3 DE 3 3 5 1 DE 3 3 5 1 2 2 如图当点如图当点 D D 在点在点 E E 左侧 即 左侧 即 0 t 0 t 时 时 DE 3t 3 DE 3t 3 5t 3 2t5t 3 2t 若若 DEG DEG 与与 ACB ACB 相似 有两种情况 相似 有两种情况 DEG ACB DEG ACB 此时 此时 即 即 求得 求得 t t DEG BCA DEG BCA 此时 此时 即 即 求得 求得 t t 如图 当点如图 当点 D D 在点在点 E E 右侧 即 右侧 即 t t 时 时 DE 5t DE 5t 3t 3 2t 3 3t 3 2t 3 若若 DEG DEG 与与 ACB ACB 相似 有两种情况 相似 有两种情况 DEG ACB DEG ACB 此时 此时 即 即 求得 求得 t t DEG BCA DEG BCA 此时 此时 即 即 求得 求得 t t 综上 综上 t t 的值为的值为或或或或或或 3 3 答案 解 答案 解 1 1 证明 证明 AD CD AD CD A ACD A ACD DE DE 平分平分CDBCDB 交边交边 BCBC 于点于点 E E CDE BDE CDE BDE CDB CDB 为为 CDB CDB 的一个外角的一个外角 CDB A ACD 2 ACD CDB A ACD 2 ACD CDB CDE BDE 2 CDE CDB CDE BDE 2 CDE ACD CDE ACD CDE DE AC DE AC 2 2 NCE MBE NCE MBE EM BD EM BD EN CDEN CD BME CNE BME CNE 如图 如图 NCE MBE NCE MBE BD CD BD CD 又又 NCE ACD MBE A 90 NCE ACD MBE A 90 ACD A ACD A AD CD AD CD AD BD AD BD ABAB 在在 Rt ABCRt ABC 中 中 ACBACB 90 90 ACAC 6 6 BCBC 8 8 AB 10 AB 10 AD 5 AD 5 NCE MEB NCE MEB EM BD EM BD EN CDEN CD BME ENC BME ENC 如图 如图 NCE MEB NCE MEB EM CD EM CD CD AB CD AB 在在 Rt ABCRt ABC 中 中 ACBACB 90 90 ACAC 6 6 BCBC 8 8 AB 10 AB 10 A A A A ADC ACB ADC ACB ACD ABC ACD ABC 综上 综上 AD 5AD 5 或或时 时 BME BME 与与 CNE CNE 相似 相似 4 4 答案 解 答案 解 1 1 由题意 由题意 AP 4xAP 4x CQ 3xCQ 3x AQ 30 3xAQ 30 3x 当当 PQ BCPQ BC 时 时 即 即 解得 解得 2 2 能 能 AP AP cmcm 或或 AP 20cmAP 20cm APQ CBQ APQ CBQ 则 则 即 即 解得 解得 或或 舍 舍 此时 此时 AP AP cmcm APQ CQB APQ CQB 则 则 即 即 解得 解得 符合题意 符合题意 此时 此时 AP AP cmcm 故故 AP AP cmcm 或或 20cm20cm 时 时 APQ APQ 与与 CQB CQB 能相似 能相似 5 5 答案 解 设运动时间为答案 解 设运动时间为 t t 则 则 DQ tDQ t AQ 6 AQ 6 t t AP 2tAP 2t BP 12 2tBP 12 2t 1 1 若 若 QAP QAP 为等腰直角三角形 则为等腰直角三角形 则 AQ APAQ AP 即 即 6 6 t 2tt 2t t 2t 2 符合题意 符合题意 t 2 t 2 时 时 QAP QAP 为等腰直角三角形 为等腰直角三角形 2 2 B QAP 90 B QAP 90 当当 QAP ABC QAP ABC 时 时 即 即 解得 解得 符合题意 符合题意 当当 PAQ ABC PAQ ABC 时 时 即 即 解得 解得 符合题意 符合题意 当当或或时 以点时 以点 Q Q A A P P 为顶点的三为顶点的三 角形与角形与 ABC ABC 相似 相似 6 6 答案 解 分两种情况答案 解 分两种情况 第一种情况 图象经过第一 三象限第一种情况 图象经过第一 三象限 过点过点 A A 作作 AB OAAB OA 交待求直线于点 交待求直线于点 B B 过点 过点 A A 作作 平行于平行于 y y 轴的直线交轴的直线交 x x 轴于点轴于点 C C 过点 过点 B B 作作 BD ACBD AC 则由上可知 则由上可知 90 90 由双垂直模型知 由双垂直模型知 OCA ADB OCA ADB A A 2 2 1 1 45 45 OC OC 2 2 ACAC 1 1 AOAO ABAB AD AD OCOC 2 2 BDBD ACAC 1 1 D D 点坐标为 点坐标为 2 2 3 3 B B 点坐标为 点坐标为 1 1 3 3 此时正比例函数表达式为 此时正比例函数表达式为 y y 3x3x 第二种情况 图象经过第二 四象限第二种情况 图象经过第二 四象限 过点过点 A A 作作 AB OAAB OA 交待求直线于点 交待求直线于点 B B 过点 过点 A A 作作 平行于平行于 x x 轴的直线交轴的直线交 y y 轴于点轴于点 C C 过点 过点 B B 作作 BD ACBD AC 则由上可知 则由上可知 90 90 由双垂直模型知 由双垂直模型知 OCA ADB OCA ADB A A 2 2 1 1 45 45 OC OC 1 1 ACAC 2 2 AOAO ABAB AD AD OCOC 1 1 BDBD ACAC 2 2 D D 点坐标为 点坐标为 3 3 1 1 B B 点坐标为 点坐标为 3 3 1 1 此时正比例函数表达式为 此时正比例函数表达式为 y y x x 7 7 答案 解 情形一 答案 解 情形一 情形二 情形二 情形三 情形三 8 8 答案 证明 方法一 答案 证明 方法一 连接连接 PCPC 过点 过点 P P 作作 PD ACPD AC 于于 D D 则 则 PD BCPD BC 根据折叠可知根据折叠可知 MN CPMN CP 2 PCN 90 2 PCN 90 PCN CNM 90 PCN CNM 90 2 CNM 2 CNM CDP NCM 90 CDP NCM 90 PDC MCN PDC MCN MC MC CN PDCN PD DCDC PD DA PD DA MC MC CN DACN DA DCDC PD BC PD BC DA DA DC PADC PA PBPB MC MC CN PACN PA PBPB 方法二 如图 方法二 如图 过过 M M 作作 MD ABMD AB 于于 D D 过 过 N N 作作 NE ABNE AB 于于 E E 由双垂直模型 可以推知由双垂直模型 可以推知 PMD NPE PMD NPE 则 则 根据等比性质可知根据等比性质可知 而 而 MD DAMD DA NE EBNE EB PM CMPM CM PN CNPN CN MC MC CN PACN PA PBPB 9 9 答案 答案 A A 解题思路 如图解题思路 如图 过点过点 D D 作作 ABAB 的平行线交的平行线交 BCBC 的延长线于点的延长线于点 M M 交 交 x x 轴于轴于 点点 N N 则 则 M DNA 90 M DNA 90 由于折叠 可以得到由于折叠 可以得到 ABC ADC ABC ADC 又由又由 B B 1 1 3 3 BC DC 1 BC DC 1 AB AD MN 3AB AD MN 3 CDA B 90 CDA B 90 1 2 90 1 2 90 DNA 90 DNA 90 3 2 90 3 2 90 1 3 1 3 DMC AND DMC AND 设设 CM xCM x 则 则 DN 3xDN 3x AN 1AN 1 x x DMDM 3x 3x 3 3 x x 则 则 答案为答案为 A A 10 10 答案 解 答案 解 过点过点 C C 作作 x x 轴的平行线交轴的平行线交 y y 轴于轴于 G G 过点 过点 D D 作作 y y 轴的轴的 平行线交平行线交 x x 轴于轴于 F F 交 交 GCGC 的延长线于的延长线于 E E 直线直线 y 2xy 2x 2 2 与坐标轴交于与坐标轴交于 A A B B 两点两点 A A 1 01 0 B B 0 20 2 OA 1 OA 1 OB 2OB 2 AB AB AB AB BC 1 2BC 1 2 BC AD BC AD ABO CBG 90 ABO CBG 90 ABO BAO 90 ABO BAO 90 CBG BAO CBG BAO 又又 CGB BOA 90 CGB BOA 90 OAB GBC OAB GBC GB 2 GB 2 GC 4GC 4 GO 4 GO 4 C C 4 44 4 同理可得同理可得 ADF BAO ADF BAO 得 得 DF 2 DF 2 AF 4AF 4 OF 5 OF 5 D D 5 25 2 11 11 答案 证明 方法一 如图答案 证明 方法一 如图 延长延长 AEAE 到到 M M 使得使得 EM AEEM AE 连接 连接 CMCM BE CE BE CE AEB MEC AEB MEC BEA CEM BEA CEM CM AB CM AB 1 B 1 B AB CM AB CM M MAD M MAD MCF ADF MCF ADF MCF ADF MCF ADF CM AB CM AB AD ACAD AC 方法二 方法二 过过 D D 作作 DG BCDG BC 交交 AEAE 于于 G G 则则 ABE ADG ABE ADG CEF DGF CEF DGF AD AC AD AC BE CEBE CE 12 12 答案 证明 答案 证明 过点过点 D D 作作 DF ABDF AB 交交 ACAC 的延长线于点的延长线于点 F F 则 则 2 3 2 3 AC AC 平分平分 DAB DAB 1 2 1 2 1 3 1 3 AD DF AD DF DEF BEA DEF BEA 2 3 2 3 BEA DEF BEA DEF AD DF AD DF AC AC 为为 ABAB ADAD 的比例中项的比例中项 即即 又又 1 2 1 2 ACD ABC ACD ABC 13 13 答案 解 答案 解 证明 证明 过点过点 E E 作作 PQ BCPQ BC 分别交分别交 BABA 延长线和延长线和 DCDC 于点于点 P P 和点和点 Q Q AB CD AB CD PQ BCPQ BC 四边形四边形 PQCBPQCB 和四边形和四边形 EQCFEQCF 是平行四边形是平行四边形 PB PB EFEF CQCQ 又又 AB AB b b CDCD a a AP AP PB ABPB AB EF bEF b DQDQ DC QCDC QC a EFa EF 14 14 答案 解 答案 解 连接连接 MFMF M M 是是 ACAC 的中点 的中点 EFEF FCFC MF AE MF AE 且且 MFMF AEAE BEN BFM BEN BFM BN BN BMBM BEBE BFBF NENE MFMF BE BE EFEF BN BN BMBM NENE MFMF 1 21 2 BN BN NMNM 1 11 1 设设 NENE x x 则 则 MFMF 2x2x AEAE 4x4x AN AN 3x3x MF AE MF AE NAQ MFQ NAQ MFQ NQ NQ QMQM ANAN MFMF 3 23 2 BN BN NMNM 1 11 1 NQNQ QMQM 3 23 2 BN BN NQNQ QMQM 5 3 25 3 2 15 15 答案 证明 答案 证明 1 1 如图如图 1 1 ADAD BEBE 为为 ABC ABC 的中线 且的中线 且 ADAD BEBE 交于交于 点点 O O 过点过点 C C 作作 CF BECF BE 交 交 ADAD 的延长线于点的延长线于点 F F CF BE CF BE 且且 E E 为为 ACAC 中点中点 AEO AEO ACF ACF OBD OBD FCD FCD ACAC 2AE2AE EAO EAO CAF CAF AEO ACF AEO ACF D D 为为 BCBC 的中点 的中点 ODB ODB FDC FDC BOD CFD BOD CFD BO BO CFCF 同理 可证另外两条中线同理 可证另外两条中线 三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中 线长的线长的 2 2 如图如图 2 2 ADAD 为为 ABC ABC 的角平分线的角平分线 过点过点 C C 作作 ABAB 的平行线的平行线 CECE 交交 ADAD 的延长线于的延长线于 E E 则则 BAD E BAD E AD AD 为为 ABC ABC 的角平分线的角平分线 BAD CAD BAD CAD E CAD E CAD AC AC CECE CE AB CE AB BAD CED BAD CED 16 16 答案 证明 答案 证明 如图 作如图 作 DP ABDP AB DQ ACDQ AC 则四边形则四边形 MDPBMDPB 和四边形和四边形 NDQCNDQC 均为平行四边形且均为平行四边形且 DPQDPQ 是等边三角形是等边三角形 BP CQ BP CQ MNMN DPDP DQDQ PQPQ M M N N 分别是边分别是边 ABAB ACAC 的中点的中点 MN MN BCBC PQPQ DP AB DP AB DQ ACDQ AC CDP CFB CDP CFB BDQ BEC BDQ BEC DP DP DQDQ PQPQ BCBC ABAB ABAB 17 17 答案 证明 答案 证明 EF AB EF AB AB DCAB DC EF DC EF DC AOE ACD AOE ACD DOE DBA DOE DBA 18 18 答案 证明 答案 证明 EF CD EF CD EH ABEH AB AFE ADC AFE ADC CEH CAB CEH CAB EF EF EHEH 19 19 答案 证明 答案 证明 EF AC EF AC DE BCDE BC BFE BCA BFE BCA AED ABC AED ABC EF EF DEDE a a 20 20 答案 答案 1 1 证明 在平行四边形 证明 在平行四边形 ABCDABCD 中 中 AD BCAD BC DRP S DRP S RDB DBS RDB DBS DRP BSP DRP BSP 同理由同理由 AB CDAB CD 可证可证 PTD PQB PTD PQB 2 2 证明 成立 理由如下 证明 成立 理由如下 在平行四边形在平行四边形 ABCDABCD 中 中 AD BCAD BC PRD S PRD S RDP DBS RDP DBS DRP BSP DRP BSP 同理由同理由 AB CDAB CD 可证可证 PTD PQB PTD PQB 21 21 答案 证明答案 证明 AB AB ACAC ADAD 是中线 是中线 AD BC BP CP AD BC BP CP 1 2 1 2 又又 ABC ACB ABC ACB 3 4 3 4 CF AB CF AB 3 F 4 F 3 F 4 F 又又 EPC CPF EPC CPF EPC CPF EPC CPF BP2 BP2 PE PFPE PF 即证所求即证所求 22 22 答案 证明 答案 证明 DE AB DE AB 90 90 90 90 ADE DBE ADE DBE DE2 DE2 BF AC BF AC 90 90 90 90 且且 BEG HEA BEG HEA DE2 EGEH DE2 EGEH 23 23 答案 证明 答案 证明 四边形四边形 ABCDABCD 为平行四边形为平行四边形 AB CD AB CD AD BCAD BC 1 2 1 2 G H G H 5 6 5 6 PAH PCG PAH PCG 又又 3 4 3 4 APE CPF APE CPF 24 24 答案 证明 如图 连接答案 证明 如图 连接 BHBH 交交 ACAC 于点于点 E E H H 为垂心为垂心 BE AC BE AC EBC BCA 90 EBC BCA 90 AD BC AD BC 于于 D D DAC BCA 90 DAC BCA 90 EBC DAC EBC DAC 又又 BDH ADC 90 BDH ADC 90 BDH ADC BDH ADC 即 即 BPC BPC 为直角 为直角 AD BCAD BC PD2 PD2 BDDCBDDC PD2 PD2 ADDHADDH 25 25 答案 证明 答案 证明 CD CD 是是 Rt ABCRt ABC 斜边斜边 ABAB 上的高 上的高 E E 为为 BCBC 的中点的中点 CE EB DE CE EB DE B BDE FDA B BDE FDA B CAB 90 B CAB 90 ACD CAB 90 ACD CAB 90 B ACD B ACD FDA ACD FDA ACD F F F F FDA FCD FDA FCD ADC CDB 90 ADC CDB 90 B ACD B ACD ACD CBD ACD CBD 即即 26 26 答案 证明 答案 证明 1 1 ACB ACB ADC ADC 90 90 A A ACD ACD 90 90 BCM BCM ACD ACD 90 90 A A BCM BCM 同理可得 同理可得 MDH MDH MBD MBD CMB CMB CDB CDB MBD MBD 90 90 MBD MBD ADE ADE ADC ADC MDH MDH 90 90 MDH MDH ADE ADE CMB CMB AED CBM AED CBM 2 2 由上问可知 由上问可知 即 即 故只需证明故只需证明即可即可 A A A A ACD ACD ABC ABC ACD ABC ACD ABC 即 即 27 27 答案 答案 1 1 将结论写成比例的形式 将结论写成比例的形式 可以考虑证明可以考虑证明 FDB FCD FDB FCD 已经有一个公共角 已经有一个公共角 F F Rt ACDRt ACD 中 中 E E 是是 ACAC 的中点的中点 DE AE DE AE A ADE A ADE ADE FDB ADE FDB A FDB A FDB 而而 A ACD 90 A ACD 90 FCD ACD 90 FCD ACD 90 A FCD A FCD FCD FDB FCD FDB 而而 F F F F FBD FDC FBD FDC 2 2 判断 判断 GDGD 与与 EFEF 垂直垂直 Rt CDBRt CDB 中 中 G G 是是 BCBC 的中点 的中点 GD GD GBGB GDB GBD GDB GBD 而而 GBD FCD 90 GBD FCD 90 又又 FCD FDB FCD FDB 1 1 的结论 的结论 GDB FDB 90 GDB FDB 90 GD EF GD EF 28 28 答案 证明 由四边形答案 证明 由四边形 ABCDABCD DEFGDEFG 都是正方形可知 都是正方形可知 ADC GDE 90 ADC GDE 90 则 则 CDG ADE ADG 90 CDG ADE ADG 90 在在和和中中 则则 DAM DCN DAM DCN 又又 ANM CND ANM CND ANM CND ANM CND 则则 29 29 答案 证明 找模型 答案 证明 找模型 1 1 BCD BCD BDG BDG CDG CDG 构成母子型相似 构成母子型相似 BDG DCGBDG DCG DG2 DG2 BGCGBGCG 2 2 分析 将等积式转化为比例式 分析 将等积式转化为比例式 BGCGBGCG GFGHGFGH GFC EFH GFC EFH 而 而 EFH H 90 EFH H 90 GFC FCG 90 GFC FCG 90 H FCG H FCG 而而 HGB CGF 90 HGB CGF 90 HBG CFG HBG CFG BGCG BGCG GFGHGFGH 30 30 答案 答案 1 1 证明 证明 MEB MEB NEC NEC 180 180 45 45 135 135 MEB MEB EMB EMB NEC NEC EMB EMB 又又 B C B C BEM CNE BEM CNE 2 2 COE EONCOE EON 证明 证明 OEN C OEN C 45 45 COE COE EON EON COE EON COE EON 31 31 答案 解 答案 解 1 1 BCP BER BCP BER CQP DQR CQP DQR ABP CQP ABP CQP DQR ABP DQR ABP 2 2 AC DE AC DE BCP BER BCP BER 四边形四边形 ABCDABCD 和四边形和四边形 ACEDACED 都是平行四边形都是平行四边形 AD BC AD BC AD CEAD CE BC CE BC CE 即点 即点 C C 为为 BEBE 的中点的中点 又又 AC DE AC DE CQP DQR CQP DQR 点点 R R 为为 DEDE 的中点的中点 DR RE DR RE 综上 综上 BPBP PQPQ QRQR 3 3 1 1 2 2 32 32 答案 证明 答案 证明 AD BC AD BC DE ABDE AB ADB AED ADB AED AD AD AEAE ABAB 同理可证 同理可证 AD AD AFAF ACAC AE AE ABAB AFAF ACAC 反比例函数典型例题反比例函数典型例题 1 1 2011 2011 宁波 正方形的宁波 正方形的 A1B1P1P2A1B1P1P2 顶点顶点 P1P1 P2P2 在反在反 比例函数比例函数 y y x 2 x x 0 0 的图象上 顶点 的图象上 顶点 A1A1 B1B1 分别分别 在在 x x 轴 轴 y y 轴的正半轴上 再在其右侧作正方形轴的正半轴上 再在其右侧作正方形 P2P3A2B2P2P3A2B2 顶点 顶点 P3P3 在反比例函数在反比例函数 y y x 2 x x 0 0 的图 的图 象上 顶点象上 顶点 A2A2 在在 x x 轴的正半轴上 则轴的正半轴上 则 P2P2 点的坐标点的坐标 为为 则点 则点 P3P3 的坐标为的坐标为 答案 答案 P2P2 2 2 1 1 P2P2 3 1 1 3 1 1 2 2 已知关于 已知关于 x x 的方程的方程 x2 3x a 0 x2 3x a 0 的两个实数根的倒的两个实数根的倒 数和等于数和等于 3 3 且关于 且关于 x x 的方程 的方程 k 1k 1 x2 3x 2a 0 x2 3x 2a 0 有有 实根 且实根 且 k k 为正整数 正方形为正整数 正方形 ABP1P2ABP1P2 的顶点的顶点 P1P1 P2P2 在反比例函数在反比例函数 y y x 1k x x 0 0 图象上 顶点 图象上 顶点 A A B B 分别在分别在 x x 轴和轴和 y y 轴的正半轴上 求点轴的正半轴上 求点 P2P2 的坐标 的坐标 答案 答案 2 2 1 1 或 或 6 2 6 3 3 如图 正方形 如图 正方形 OABCOABC 和正方形和正方形 AEDFAEDF 各有一个顶点在各有一个顶点在 一反比例函数图象上 且正方形一反比例函数图象上 且正方形 OABCOABC 的边长为的边长为 2 2 1 1 求反比例函数的解析式 求反比例函数的解析式 2 2 求点 求点 D D 的坐标 的坐标 答案 答案 1 1 y y x 4 2 2 15 1 5 4 4 两个反比例函数 两个反比例函数 y y x 3 y y x 6 在第一象限内的图象如在第一象限内的图象如 图所示 点图所示 点 P1P1 P2P2 在反比例函数图象上 过点在反比例函数图象上 过点 P1P1 作作 x x 轴的平行线与过点轴的平行线与过点 P2P2 作作 y y 轴的平行线相交于点轴的平行线相交于点 N N 若点 若点 N N m m n n 恰好在 恰好在 y y x 3 的图象上 则的图象上 则 NP1NP1 与与 NP2NP2 的乘积的乘积 是是 答案 答案 3 3 答案 答案 3 3 2007 2007 泰安 已知三点泰安 已知三点 P1P1 x1x1 y1y1 P2P2 x2x2 y2y2 P3P3 1 1 2 2 都在反比例函数 都在反比例函数 y y x k 的图象上 若的图象上 若 x1x1 0 0 x2x2 0 0 则下列式子正确的是 则下列式子正确的是 答案 答案 D D A A y1y1 y2y2 0 0B B y1y1 0 0 y2y2C C y1y1 y2y2 0 0D D y1y1 0 0 y2y2 如图 已知反比例函数如图 已知反比例函数 y y x 1 的图象上有点的图象上有点 P P 过 过 P P 点分点分 别作别作 x x 轴和轴和 y y 轴的垂线 垂足分别为轴的垂线 垂足分别为 A A B B 使四边形 使四边形 OAPBOAPB 为正方形 又在反比例函数图象上有点为正方形 又在反比例函数图象上有点 P1P1 过点 过点 P1P1 分别作分别作 BPBP 和和 y y 轴的垂线 垂足分别为轴的垂线 垂足分别为 A1A1 B1B1 使四 使四 边形边形 BA1P1B1BA1P1B1 为正方形 则点为正方形 则点 P1P1 的坐标是的坐标是 答案 答案 2 1 5 2 15 在反比例函数在反比例函数 y y x 1 x x 0 0 的图象上 有一系列点 的图象上 有一系列点 P1P1 P2P2 P3P3 PnPn 若 若 P1P1 的横坐标为的横坐标为 2 2 且以后 且以后 每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为 2 2 现 现 分别过点分别过点 P1P1 P2P2 P3P3 PnPn 作作 x x 轴与轴与 y y 轴的垂线轴的垂线 段 构成若干个长方形如图所示 将图中阴影部分段 构成若干个长方形如图所示 将图中阴影部分 的面积从左到右依次记为的面积从左到右依次记为 S1S1 S2S2 S3S3 SnSn 则 则 S1 S2 S3 S2010 S1 S2 S3 S2010 答案 答案 1 1 如图 四边形如图 四边形 ABCDABCD 为正方形 点为正方形 点 A A 在在 x x 轴上 点轴上 点 B B 在在 y y