大一高数复习资料【全】

高等数学期末复习资料 第 1 页 共 10 页 高等数学 本科少学时类型 第一章第一章函数与极限函数与极限 第一节第一节函数函数 函数基础 高中函数部分相关知识 邻域 去心邻域 U ax xa 0U axxa 第二节第二节数列的极限数列的极限 数列极限的证明 题型示例 已知数列 证明 n x lim n x xa 证明示例 语言N 1 由化简得 n xa gn Ng 2 即对 当时 始终0 Ng Nn 有不等式成立 n xa axn x lim 第三节第三节函数的极限函数的极限 时函数极限的证明 0 xx 题型示例 已知函数 证明 xf Axf xx 0 lim 证明示例 语言 1 由化简得 f xA 0 0 xxg g 2 即对 当时 0 g 0 0 xx 始终有不等式成立 f xA Axf xx 0 lim 时函数极限的证明 x 题型示例 已知函数 证明 xf Axf x lim 证明示例 语言X 1 由化简得 f xA xg gX 2 即对 当时 始终有0 gX Xx 不等式成立 f xA Axf x lim 第四节第四节无穷小与无穷大无穷小与无穷大 无穷小与无穷大的本质 函数无穷小 xf 0lim xf 函数无穷大 xf xflim 无穷小与无穷大的相关定理与推论 定理三 假设为有界函数 为无穷小 xf xg 则 lim0f xg x 定理四 在自变量的某个变化过程中 若 xf 为无穷大 则为无穷小 反之 若 1 fx 为无穷小 且 则为无穷 xf 0f x xf 1 大 题型示例 计算 或 0 lim xx f xg x x 1 函数在的任一去心 f xM f x 0 xx 邻域内是有界的 0 xU 函数在上有界 f xM f xDx 2 即函数是时的无穷小 0lim 0 xg xx xg 0 xx 即函数是时的无穷小 0lim xg x xg x 3 由定理可知 0 lim0 xx f xg x lim0 x f xg x 第五节第五节极限运算法则极限运算法则 极限的四则运算法则 定理一 加减法则 定理二 乘除法则 关于多项式 商式的极限运算 p x xq 设 n nn m mm bxbxbxq axaxaxp 1 10 1 10 则有 0 lim 0 0 b a xq xp x mn mn mn 0 0 0 lim 0 0 xx f x g x f x g x 0 00 00 0 0 0 0 g x g xf x g xf x 特别地 当 不定型 时 通常 0 0 lim 0 xx f x g x 分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出 极限值 也可以用罗比达法则求解 高等数学期末复习资料 第 2 页 共 10 页 题型示例 求值 2 3 3 lim 9 x x x 求解示例 解 因为 从而可得 所以3 x3 x 原式 2 333 3311 limlimlim 93336 xxx xx xxxx 其中为函数的可去间断点3x 2 3 9 x f x x 倘若运用罗比达法则求解 详见第三章第二节 解 0 0 2 333 2 3311 limlimlim 926 9 xL xx xx xx x 连续函数穿越定理 复合函数的极限求解 定理五 若函数是定义域上的连续函数 那 xf 么 00 limlim xxxx fxfx 题型示例 求值 9 3 lim 2 3 x x x 求解示例 22 33 3316 limlim 9966 xx xx xx 第六节第六节极限存在准则及两个重要极限极限存在准则及两个重要极限 夹迫准则 P53 第一个重要极限 1 sin lim 0 x x x 2 0 xxxxtansin 1 sin lim 0 x x x 0 00 0 lim1 1 limlim1 sinsin sin lim x xx x x xx x xx 特别地 0 0 0 sin lim1 xx xx xx 单调有界收敛准则 P57 第二个重要极限 e x x x 1 1lim 一般地 其中 lim limlim g xg x f xf x 0lim xf 题型示例 求值 1 12 32 lim x x x x 求解示例 2 111 21 2 1 21221 21 1 2212 2121 lim 21 2 21 232122 limlimlim1 212121 22 lim1lim1 2121 2 lim1 21 xxx xxx x xx x x x xx x x xx xxx xx x 解 1 2 lim1 21 21 21 2 1 21 22 lim 121 x x x x x x x x x e eee 第七节第七节无穷小量的阶 无穷小的比较 无穷小量的阶 无穷小的比较 等价无穷小 1 sin tan arcsin arctan ln 1 1 U UUUUUU e 2 UUcos1 2 1 2 乘除可替 加减不行 题型示例 求值 xx xxx x 3 1ln1ln lim 2 0 求解示例 3 1 3 1 lim 3 1 lim 3 1ln1 lim 3 1ln1ln lim 0 0 000 2 0 x x xx xx xx xx xx xxx xx xxx x 所以原式即解 因为 第八节第八节函数的连续性函数的连续性 函数连续的定义 00 0 limlim xxxx f xf xf x 间断点的分类 P67 无穷间断点 极限为 第二类间断点 可去间断点 相等 跳越间断点 不等 限存在 第一类间断点 左右极 特别地 可去间断点能在分式中约去相应公因式 题型示例 设函数 应该怎样 xa e xf x2 0 0 x x 选择数 使得成为在上的连续函数 a xfR 求解示例 1 2 01 0 00 0 feee faa fa 2 由连续函数定义 efxfxf xx 0limlim 00 高等数学期末复习资料 第 3 页 共 10 页 ea 第九节第九节闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 零点定理 题型示例 证明 方程至少有一个 f xg xC 根介于与之间ab 证明示例 1 建立辅助函数 函数在 xf xg xC 闭区间上连续 a b 2 端点异号 0ab 3 由零点定理 在开区间内至少有一点 ba 使得 即 0 0fgC 10 4 这等式说明方程在开区间 f xg xC 内至少有一个根 ba 第二章第二章导数与微分导数与微分 第一节第一节导数概念导数概念 高等数学中导数的定义及几何意义 P83 题型示例 已知函数 在 bax e xf x 1 0 0 x x 处可导 求 0 xab 求解示例 1 0 01 0 fe fa 00 0 0112 0 012 fee fb fe 2 由函数可导定义 001 0002 ffa fffb 1 2ab 题型示例 求在处的切线与法线方程 xfy ax 或 过图像上点处的切线与法线 xfy a f a 方程 求解示例 1 xfy afy ax 2 切线方程 yf afaxa 法线方程 1 yf axa fa 第二节第二节函数的和 差 函数的和 差 积与商的求导法则 积与商的求导法则 函数和 差 积与商的求导法则 1 线性组合 定理一 uvuv 特别地 当时 有1 uvuv 2 函数积的求导法则 定理二 uvu vuv 3 函数商的求导法则 定理三 2 uu vuv vv 第三节第三节反函数和复合函数的求导法则反函数和复合函数的求导法则 反函数的求导法则 题型示例 求函数的导数 xf 1 求解示例 由题可得为直接函数 其在定于域 xf 上单调 可导 且 D 0 x f 1 1 fx fx 复合函数的求导法则 题型示例 设 求 2 arcsin122 ln x yexa y 求解示例 2 2 2 2 2 2 2 arcsin122 arcsin122 2 22 arcsin1 22 2arcsin122 2 arcsin1 222 arcsin122 arcsi arcsin122 1 1 1 211 2 12 21 22 1 x x x x x x x yexa exa x xa e xax exa x x x e xxa exa e exa 解 2 n1 2222 12 x xx xxxa 第四节第四节高阶导数高阶导数 或 1nn fxfx 1 1 nn nn d ydy dxdx 题型示例 求函数的阶导数 xy 1lnn 求解示例 11 1 1 yx x 12 111yxx 23 11121yxx 1 1 1 1 nnn ynx 第五节第五节隐函数及参数方程型函数的导数隐函数及参数方程型函数的导数 隐函数的求导 等式两边对求导 x 题型示例 试求 方程所给定的曲线 y exy C 高等数学期末复习资料 第 4 页 共 10 页 在点的切线方程与法线方程 xyy 1 1e 求解示例 由两边对求导 y exy x 即化简得 y yxe 1 y yey ee y 1 1 1 1 1 切线方程 ex e y 1 1 1 1 法线方程 exey 111 参数方程型函数的求导 题型示例 设参数方程 求 ty tx 2 2 dx yd 求解示例 1 2 t t dx dy 2 2 dy d ydx dxt 第六节第六节变化率问题举例及相关变化率 不作要求 变化率问题举例及相关变化率 不作要求 第七节第七节函数的微分函数的微分 基本初等函数微分公式与微分运算法则 dxxfdy 第三章第三章中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用 第一节第一节中值定理中值定理 引理 费马引理 罗尔定理 题型示例 现假设函数在上连续 在 f x 0 上可导 试证明 0 0 使得成立 cossin0ff 证明示例 1 建立辅助函数 令 sinxf xx 显然函数在闭区间上连续 在开区间 x 0 上可导 0 2 又 00 sin00f sin0f 即 00 3 由罗尔定理知 使得成 0 cossin0ff 立 拉格朗日中值定理 题型示例 证明不等式 当时 1x x ee x 证明示例 1 建立辅助函数 令函数 则对 x f xe 1x 显然函数在闭区间上连续 在开区间 f x 1 x 上可导 并且 1 x x fxe 2 由拉格朗日中值定理可得 使得等式 1 x 成立 1 1 x eexe 又 1 ee 11 1 x eexee xe 化简得 即证得 当时 x ee x 1x x ee x 题型示例 证明不等式 当时 0 x ln 1xx 证明示例 1 建立辅助函数 令函数 则对 ln 1f xx 函数在闭区间上连续 在开0 x f x 0 x 区间上可导 并且 0 1 1 fx x 2 由拉格朗日中值定理可得 使得等式 0 x 成立 1 ln 1ln 1 00 1 xx 化简得 又 1 ln 1 1 xx 0 x 1 1 1 f ln 11xxx 即证得 当时 1x x ee x 第二节第二节罗比达法则罗比达法则 运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤 1 等价无穷小的替换 以简化运算 2 判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比 达法则的三个前提条件 A 属于两大基本不定型 且满足条件 0 0 则进行运算 limlim xaxa f xfx g xgx 再进行 1 2 步骤 反复直到结果得出 B 不属于两大基本不定型 转化为基本不定 型 型 转乘为除 构造分式 0 题型示例 求值 0 limln x xx 求解示例 1 0000 2 0 1 lnln limlnlimlimlim 1 1 1 lim0 xxL xx x xx x xx x x x x x a 解 高等数学期末复习资料 第 5 页 共 10 页 一般地 其中 0 limln0 x xx R 型 通分构造分式 观察分母 题型示例 求值 0 11 lim sin x xx 求解示例 2 000 11sinsin limlimlim sinsin xxx xxxx xxxxx 解 00 00 0000 2 sin1 cos1 cossin limlimlimlim0 22 2 L xxL xx xxxxx x x x 型 对数求极限法 0 0 题型示例 求值 0 lim x x x 求解示例 0 000 limln ln0 0000 2 ln lnlnln 1 lnln 0lim lnlimlim 1 1 1 limlim0limlim1 1 x xx xxL x y y xxxx x yxyxxx x xx xy x x x xyeee x 解 设两边取对数得 对对数取时的极限 从而有 型 对数求极限法 1 题型示例 求值 1 0 lim cossin x x xx 求解示例 0 1 00 0 0 00 limln ln1 00 ln cossin cossin ln ln cossin ln0limlnlim ln cossin cossin1 0 limlim1 cossin1 0 lim lim x x xx L xx y y xx xx yxxy x xx yxy x xx xx xx x yeeee 解 令两边取对数得 对求时的极限 从而可得 型 对数求极限法 0 题型示例 求值 tan 0 1 lim x x x 求解示例 tan 00 2 000 2 0 2 2 0 00 11 lntanln 1 ln0limlnlim tanln 1 lnln limlimlim 1sec 1 tantan tan sin sin limlimli x xx xLxx xL x yyx xx yxyx x xx x x xx x x x xx 解 令两边取对数得 对求时的极限 0 0 limln ln0 00 2sincos m0 1 lim lim1 x x y y xx xx yeee 从而可得 运用罗比达法则进行极限运算的基本思路 0 0 0 0 0 01 1 2 3 通分获得分式 通常伴有等价无穷小的替换 取倒数获得分式 将乘积形式转化为分式形式 取对数获得乘积式 通过对数运算将指数提前 第三节第三节泰勒中值定理 不作要求 泰勒中值定理 不作要求 第四节第四节函数的单调性和曲线的凹凸性函数的单调性和曲线的凹凸性 连续函数单调性 单调区间 题型示例 试确定函数的 32 29123f xxxx 单调区间 求解示例 1 函数在其定义域上连续 且可导 f xR 2 61812fxxx 2 令 解得 6120fxxx 12 1 2xx 3 三行表 x 1 1 1 2 2 2 fx 0 0 f xA极大值A极小值A 4 函数的单调递增区间为 f x 1 2 单调递减区间为 1 2 题型示例 证明 当时 0 x 1 x ex 证明示例 1 构建辅助函数 设 1 x xex 0 x 2 10 x xe 0 x 高等数学期末复习资料 第 6 页 共 10 页 00 x 3 既证 当时 0 x 1 x ex 题型示例 证明 当时 0 x ln 1xx 证明示例 1 构建辅助函数 设 ln 1xxx 0 x 2 1 10 1 x x 0 x 00 x 3 既证 当时 0 x ln 1xx 连续函数凹凸性 题型示例 试讨论函数的单调性 极 23 1 3yxx 值 凹凸性及拐点 证明示例 1 2 3632 6661 yxxx x yxx 2 令解得 320 610 yx x yx 12 0 2 1 xx x 3 四行表 x 0 0 0 1 1 1 2 2 2 y 0 0 y y 1 1 3 5 4 函数单调递增区间为 23 1 3yxx 0 1 单调递增区间为 1 2 0 2 函数的极小值在时取到 23 1 3yxx 0 x 为 01f 极大值在时取到 为 2x 25f 函数在区间 上凹 23 1 3yxx 0 0 1 在区间 上凸 1 2 2 函数的拐点坐标为 23 1 3yxx 1 3 第五节第五节函数的极值和最大 最小值函数的极值和最大 最小值 函数的极值与最值的关系 设函数的定义域为 如果的某个邻 f xD M x 域 使得对 都适合不 M U xD M xU x 等式 M f xf x 我们则称函数在点处有极大 f x MM xf x 值 M f x 令 123 MMMMMn xxxxx 则函数在闭区间上的最大值满足 f x a bM 123 max MMMMn Mf axxxxf b 设函数的定义域为 如果的某个邻 f xD m x 域 使得对 都适合不 m U xD m xU x 等式 m f xf x 我们则称函数在点处有极小值 f x mm xf x m f x 令 123 mmmmmn xxxxx 则函数在闭区间上的最小值满足 f x a bm 123 min mmmmn mf axxxxf b 题型示例 求函数在上的最值 3 3f xxx 1 3 求解示例 1 函数在其定义域上连续 且可导 f x 1 3 2 33fxx 2 令 3110fxxx 解得 12 1 1xx 3 三行表 x 1 1 1 1 1 3 fx 0 0 f x极小值A极大值A 4 又 12 12 318fff maxmin 12 318f xff xf 第六节第六节函数图形的描绘 不作要求 函数图形的描绘 不作要求 第七节第七节曲率 不作要求 曲率 不作要求 第八节第八节方程的近似解 不作要求 方程的近似解 不作要求 第四章第四章不定积分不定积分 第一节第一节不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 原函数的概念 假设在定义区间上 可导函数的导函I F x 数为 即当自变量时 有 Fx xI 或成立 则称 Fxf x dF xf xdx 为的一个原函数 F x f x 原函数存在定理 高等数学期末复习资料 第 7 页 共 10 页 如果函数在定义区间上连续 则在 f xI 上必存在可导函数使得 也I F x Fxf x 就是说 连续函数一定存在原函数 可导必连续 不定积分的概念 在定义区间上 函数的带有任意常数I f x 项的原函数称为在定义区间上的不定积C f xI 分 即表示为 f x dxF xC 称为积分号 称为被积函数 f x 称为积分表达式 则称为积分变量 f x dxx 基本积分表 不定积分的线性性质 分项积分公式 1212 k f xk g xdxkf x dxkg x dx 第二节第二节换元积分法换元积分法 第一类换元法 凑微分 的逆向应用 dxxfdy fxx dxfxdx 题型示例 求 22 1 dx ax 求解示例 2222 11111 arctan 11 xx dxdxdC axaaaa xx aa 解 题型示例 求 1 21dxx 求解示例 1111 2121 221212 21 21 dxdxdx xxx xC 解 第二类换元法 去根式 的正向应用 dxxfdy 对于一次根式 0 abR 令 于是 axb taxb 2 tb x a 则原式可化为t 对于根号下平方和的形式 0a 令 22 ax tanxat 22 t 于是 则原式可化为 arctan x t a secat 对于根号下平方差的形式 0a a 令 22 ax sinxat 22 t 于是 则原式可化为 arcsin x t a cosat b 令 22 xa secxat 0 2 t 于是 则原式可化为 arccos a t x tanat 题型示例 求 一次根式 1 21dxx 求解示例 2 21 11 22 11 21 21 tx xt dx tdt dxtdtdttCxC tx 解 题型示例 求 三角换元 22 ax dx 求解示例 2 sin 2222 22 arcsin cos 22 cos1 cos2 2 1 sin2sin cos 222 x att x t a dx at a ax dxatdtt dt aa ttCtttC 解 第三节第三节分部积分法分部积分法 分部积分法 设函数 具有连续导数 则 uf x vg x 其分部积分公式可表示为 udvuvvdu 分部积分法函数排序次序 反 对 幂 三 指 运用分部积分法计算不定积分的基本步骤 遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序 就近凑微分 v dxdv 使用分部积分公式 udvuvvdu 展开尾项 判断vduv u dx a 若是容易求解的不定积分 则直接计v u dx 算出答案 容易表示使用基本积分表 换元法 与有理函数积分可以轻易求解出结果 b 若依旧是相当复杂 无法通过 a 中方v u dx 法求解的不定积分 则重复 直至出现 容易求解的不定积分 若重复过程中出现循环 则联立方程求解 但是最后要注意添上常数 C 题型示例 求 2x ex dx 求解示例 高等数学期末复习资料 第 8 页 共 10 页 22222 22 22 22 2222 xxxxx xxxx xxxxxx ex dxx e dxx dex ee d x x ex e dxx ex d e x exee dxx exeeC 解 题型示例 求sin x exdx 求解示例 sincoscoscos coscoscossin cossinsin cossinsin xxxx xxxx xxx xxx exdxe dxexxd e exexdxexe dx exexxd e exexexdx 解 sincossinsin xxxx exdxexexxd e 即 1 sinsincos 2 xx exdxexxC 第四节第四节有理函数的不定积分有理函数的不定积分 有理函数 设 1 01 1 01 mm m nn n P xp xa xa xa Q xq xb xb xb 对于有理函数 当的次数小于的 P x Q x P x Q x 次数时 有理函数是真分式 当的次 P x Q x P x 数大于的次数时 有理函数是假分式 Q x P x Q x 有理函数 真分式 不定积分的求解思路 将有理函数的分母分拆成两个没有 P x Q x Q x 公因式的多项式的乘积 其中一个多项式可以表 示为一次因式 而另一个多项式可以表 k xa 示为二次质因式 2 l xpxq 2 40pq 即 12 Q xQxQx 一般地 则参数 n mxnm x m n a m 22 bc axbxca xx aa 则参数 bc pq aa 则设有理函数的分拆和式为 P x Q x 12 2 kl P xP xP x Q x xa xpxq 其中 1 12 2 k kk P xAAA xa xaxaxa 2 1122 22 22 2 l ll l P xM xNM xN xpxq xpxqxpxq M xN xpxq 参数由待定系 12 12 12 l k l MMM A AA NNN 数法 比较法 求出 得到分拆式后分项积分即可求解 题型示例 求 构造法 2 1 x dx x 求解示例 2 2 1111 1 111 11 ln1 12 xxxx dxdxxdx xxx xdxdxdxxxxC x 第五节第五节积分表的使用 不作要求 积分表的使用 不作要求 第五章第五章定积分极其应用定积分极其应用 第一节第一节定积分的概念与性质定积分的概念与性质 定积分的定义 0 1 lim n b ii a i f x dxfxI 称为被积函数 称为被积表达式 f x f x dx 则称为积分变量 称为积分下限 称为积分xab 上限 称为积分区间 a b 定积分的性质 bb aa f x dxf u du 0 a a f x dx bb aa kf xdxkf x dx 线性性质 1212 bbb aaa k f xk g xdxkf x dxkg x dx 积分区间的可加性 bcb aac f x dxf x dxf x dx 高等数学期末复习资料 第 9 页 共 10 页 若函数在积分区间上满足 f x a b 0f x 则 0 b a f x dx 推论一 若函数 函数在积分区间上满 f x g x a b 足 则 f xg x bb aa f x dxg x dx 推论二 bb aa f x dxf x dx 积分中值定理 不作要求 第二节第二节微积分基本公式微积分基本公式 牛顿 莱布尼兹公式 定理三 若果函数是连续函数在区间 F x f x 上的一个原函数 则 a b b a f x dxF bF a 变限积分的导数公式 上上导 下下导 x x d f t dtfxxfxx dx 题型示例 求 21 cos 2 0 lim t x x edt x 求解示例 2 2 1 10 0 cos cos 2 00 2 lim